5.5三角形內角和定理第5章幾何證明初步逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2三角形內角和定理三角形內角和定理的推論直角三角形的性質定理和判定定理知識點三角形內角和定理知1－講11.定理三角形三個內角的和等于180°.表示方法：在△ABC

中，∠

A＋

∠B＋

∠C=180°.在三角形中已知兩個角的度數，可以求出第三個角的度數.知1－講2.三角形內角和定理的證明思路思路一：利用“兩直線平行，內錯角及同位角相等”將三角形的三個內角轉化為一個平角.如圖5.5－1①②.知1－講思路二：利用“兩直線平行，內錯角相等”將三角形的三個內角轉化為兩平行線間的一組同旁內角.如圖5.5－2①②.知1－講圖例：知1－講特別解讀1.三角形的三個內角中至少有兩個銳角，最多有一個鈍角或直角，三角形的最大的內角不小于60°.2.證明三角形內角和定理的思路方法：平行線是轉化角的重要橋梁，將三個內角“轉移”集中成一個角或兩個角，再說明這個角或兩個角的和是180°即可.知1－練例1[中考·邵陽]如圖5.5－3，在△

ABC中，∠B=46°，∠C=54°，AD

平分∠

BAC，交BC

于點D，DE∥AB，交AC

于點E，則∠ADE

的大小是()A.45°

B.54°C.40°D.50°知1－練解題秘方：根據三角形內角和定理求出∠BAC的度數，再根據角平分線的定義求出∠BAD

的度數，然后根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADE=∠BAD，從而得到∠ADE的度數.知1－練

答案：C知1－練1－1.如圖，四邊形ABCD

中，對角線AC，BD

交于點O，AB=AC，點E

是BD上一點，且∠ABD=∠ACD，∠

EAD=∠BAC.知1－練(1)求證：AE=AD；知1－練(2)若∠

ACB=65°，求∠BDC的度數．解：∵∠ACB＝65°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝65°.∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－65°－65°＝50°.∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB＝∠COD，∴∠BDC＝∠BAC＝50°.知1－練如圖5.5－4，在△

ABC中，AD

是高，AE

是∠BAC

的平分線，∠B=20°,∠C=60°.求∠DAE的度數.例2解題秘方：由∠

DAE=∠BAD－

∠BAE

知，要求∠DAE的度數，需先求出∠BAD和∠

BAE的度數.知1－練

知1－練2－1.[期中·長春]如圖，在△ABC

中，CD是AB

邊上的高，BE為∠ABC

的平分線，若∠BFC=114°，求∠BCF的度數.知1－練解：∵CD是AB邊上的高，∠BFC＝114°，∴∠BDF＝90°，∠BFD＝66°.∴∠ABE＝180°－∠BFD－∠BDF＝180°－66°－90°＝24°.∵BE為∠ABC的平分線，∴∠CBF＝∠ABE＝24°.∴∠BCF＝180°－∠BFC－∠CBF＝180°－114°－24°＝42°.知2－講知識點三角形內角和定理的推論21.推論由基本事實或定理直接推出的真命題叫做推論.2.三角形內角和定理的推論(1)推論1：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；(2)推論2：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任意一個內角.知2－講特別解讀利用推論1可以證明一個角等于另兩個角的和或差；也可以作為中間關系證明兩個角相等.知2－練[母題教材P175習題T7]如圖5.5－5，在△ABC

中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC

和∠ACF

的平分線交于點E，則∠AEC=______.66.5°例3知2－練解題秘方：要求∠AEC，根據三角形內角和定理，需求∠EAC

與∠

ECA，而這兩個角的大小不確定，因此可利用整體思想求∠EAC

與∠ECA的和，而它們和的2倍，即∠DAC＋∠FCA是△ABC

的兩個外角的和.知2－練

知2－練3－1.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=50°，CD

平分∠ACB，則∠ADC的度數是()A.80°B.90°C.100°D.110°C知2－練3－2.如圖，在△ABC中，∠A=∠DBC=36°，∠C=72°．求∠1，∠2的度數.解：∵∠DBC＝36°，∠C＝72°，∴在△BCD中，∠1＝180°－∠DBC－∠C＝180°－36°－72°＝72°.∵∠1是△ABD的外角，∠A＝36°，∴∠2＝∠1－∠A＝72°－36°＝36°.知2－練[中考·威海]將一副直角三角尺如圖5.5－6擺放，點C在EF上，AC

經過點D.已知∠

A=∠EDF=90°，∠

E=30

°，∠BCE=40°，則∠CDF=_____.例425°知2－練解題秘方：要求∠

CDF，則需求其余角∠2的度數.∠2=180°－∠1－∠ACB,其中∠1的度數可利用三角形內角和定理的推論1求出，∠ACB

為三角尺的內角.知2－練解：如圖5.5－6，由三角形內角和定理的推論1，知∠1=∠E＋∠BCE=30°＋40°=70°，由三角形內角和定理知∠2=180°－∠1－∠ACB=180°－70°－45°=65°，∴∠CDF=∠EDF－

∠2=90°－65°=25°.知2－練4－1.[中考·淄博]將含30°角的直角三角板按如圖所示放置到一組平行線中，若∠1=70°，則∠2等于()A.60°B.50°C.40°D.30°C知2－練如圖5.5－7，請確定∠1與∠2的大小關系，并說明理由.例5解題秘方：由于∠1與∠2沒有直接聯系，要判斷這兩個角的大小關系,則需找出一個角作為橋梁將這兩個角聯系起來.知2－練解：∠1>∠2.理由如下：因為∠1是△ABC

的一個外角，所以∠1>∠3.因為∠3是△FGC

的一個外角，所以∠3>∠2.所以∠1>∠2.知2－練5－1.如圖，∠C，∠1，∠2之間的大小關系是()A.∠1<∠2<∠CB.∠2>∠1>∠CC.∠C>∠1>∠2D.∠1>∠2>∠CD知3－講知識點直角三角形的性質定理和判定定理31.性質定理直角三角形的兩個銳角互余.幾何語言：如圖5.5－8，在Rt△ABC

中，因為∠C=90°，所以∠A＋

∠B=90°.2.判定定理兩個銳角互余的三角形是直角三角形.幾何語言：如圖5.5－8，在△ABC

中，因為∠A＋

∠B=90°，所以∠C=90°.說明：在判定一個三角形是直角三角形時，除利用直角三角形的定義外，還可找兩個銳角互余，從而直接判定其為直角三角形.知3－講知3－講特別解讀1.直角三角形的性質定理和判定定理都可以利用三角形內角和定理推導出來.2.利用直角三角形兩銳角互余的性質求一個銳角的度數時，不需要再利用三角形內角和定理.知3－練如圖5.5－9，在△ABC

中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于點D，DF⊥CE

于點F.例6知3－練(1)試說明：∠BCD=∠ECD；解題秘方：根據直角三角形的兩個銳角互余求出∠BCD

的度數，然后利用三角形內角和定理求出∠ACB

的度數，再根據角平分線的定義求出∠BCE

的度數，從而可以求出∠ECD的度數，進而得到結論；知3－練

知3－練(2)請找出圖中所有與∠B

相等的角.解題秘方：根據三角形的角之間的數量關系，找出度數是70°的角即可.知3－練解：∵CD⊥AB

于點D，DF⊥CE于點F，∴∠ADC=90°，∠DFC=90°.∴∠CED=90°－∠ECD=90°－20°=70°，∠CDF=90°－∠ECD=90°－20°=70°.因此與∠B相等的角有∠CED

和∠CDF.知3－練6－1.如圖，在△

ABC中，AD⊥BC

于點D，AE

平分∠BAC，若∠BAE=30°，∠CAD=20°，求∠B的度數.知3－練解：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE＝30°.∴∠EAD＝∠EAC－∠DAC＝10°.∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，∴∠AED＝90°－∠EAD＝80°.∵∠AED＝∠B＋∠BAE，∴∠B＝80°－30°＝50°.知3－練6－2.如圖，在△ABC中，BD⊥AC，垂足為點D，∠C=∠ABC=2∠A.求∠DBC

的度數.知3－練解：在△ABC中，∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，∴2∠A＋2∠A＋∠A＝180°，∴∠A＝36°.∴∠C＝2∠A＝2×36°＝72°.∵BD⊥AC，垂足為點D，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC＝90°－∠C＝90°－72°＝18°.知3－練[母題教材P173練習T1]如圖5.5－10，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于點E，F，∠BEF

的平分線與∠

DFE的平分線相交于點P.試說明：△EFP為直角三角形.例7知3－練解題秘方：判斷△EFP

為直角三角形，即要找到有一個角是直角或兩個銳角互余，即要說明∠EPF=90°