2023~2024學年度第一學期期中學業水平診斷高一數學一、單項選擇題1.若集合，且，則m的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣12.命題“”的否定為（）A. B.C. D.3.已知，且，則（）A. B. C. D.4.某地民用燃氣執行“階梯氣價”，按照用氣量收費，具體計費方法如下表所示．若某戶居民去年繳納的燃氣費為868元，則該戶居民去年的用氣量為（）每戶每年用氣量單價不超過的部分超過但不超過的部分超過的部分A. B. C. D.5.在同一坐標系內，函數和的圖象可能是（）A. B.C. D.6.若函數的圖象恒在圖象的上方，則（）A. B. C. D.7.若在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.8.已知是定義在上奇函數，且在上單調遞增，若，則的解集是（）A. B.C. D.二、多項選擇題9.以下各組函數中，表示同一函數的有（）A.， B.，C.， D.，10.給定集合，定義且，若，，則（）A. B.C. D.11.已知，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為6C.的最大值為0 D.的最小值為12.德國數學家康托爾是集合論的創立者，為現代數學的發展作出了重要貢獻．某數學小組類比拓撲學中的康托爾三等分集，定義了區間上的函數，且滿足：①任意，；②；③，則（）A.在上單調遞增 B.的圖象關于點對稱C.當時， D.當時，三、填空題13.已知為奇函數，則實數a的值為______．14.若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍為______．15.已知命題，為真命題，則實數的取值范圍為______．16.設，，用表示，中較小者，記為，則______；若方程恰有三個不同的實數解，則實數c的取值范圍為______.四、解答題17.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．18.已知是定義在上的奇函數，當時，．（1）求在上的解析式；（2）根據函數單調性定義，證明在區間上單調遞減．19.某工廠擬建造一個深為2.5米的長方體無蓋貯水池，如果池底每平方米的造價為200元，池壁每平方米的造價為100元，總造價不超過3萬元，怎樣設計水池，才能使其容積最大?最大容積是多少?20.已知冪函數的圖象經過點．（1）求的解析式；（2）若存在，使得，求實數a的取值范圍．21.已知函數滿足：，．令．（1）求值，并證明為偶函數；（2）當時，．(i)判斷在上的單調性，并說明理由；(ii)若，求不等式的解集．22.已知函數，，（1）解關于x的不等式；（2）從①，②]這兩個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線處，并給出問題的解答．問題：是否存在正數t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．

2023~2024學年度第一學期期中學業水平診斷高一數學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若集合，且，則m的值為（）A.0 B.1 C.0或1 D.0或﹣1【答案】B【解析】【分析】根據集合的元素不重復可解得.【詳解】因為，所以或，解得，或或，當時，，又集合中不能有相同的元素，所以故選：B2.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據全稱命題的否定是特稱命題即可判斷．【詳解】根據全稱命題的否定是特稱命題，命題“”的否定為“”.故選：A.3.已知，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用特值法及作差法判斷.【詳解】對于A，取，則，此時，故A錯誤；對于B，取，則，此時，故B錯誤；對于C，取，則，此時，故C錯誤；對于D，∵，且，∴，且，則，即，故D正確.故選：D.4.某地民用燃氣執行“階梯氣價”，按照用氣量收費，具體計費方法如下表所示．若某戶居民去年繳納的燃氣費為868元，則該戶居民去年的用氣量為（）每戶每年用氣量單價不超過的部分超過但不超過的部分超過的部分A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，分段討論列方程求解.【詳解】該戶居民去年的用氣量為，繳納的燃氣費為元，當時，，令，解得，不合題意；當時，，令，解得，符合題意；當時，，令，解得，不合題意，綜上，.故選：C.5.在同一坐標系內，函數和的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用一次函數與冪函數的性質進行判斷.【詳解】對于A，由函數的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故A錯誤；對于B，由函數的圖象可知，由的圖象可知且，相符，故B正確；對于C，由函數的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故C錯誤；對于D，由函數的圖象可知，由的圖象可知且，互相矛盾，故D錯誤.故選：B.6.若函數的圖象恒在圖象的上方，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意，可轉化為恒成立問題來求解.【詳解】函數的圖象恒在圖象的上方，則恒成立，即恒成立，因為，所以，解得，故選：A.7.若在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據分段函數是減函數，則由每一段是減函數，且左側的函數值不小于右側函數值求解.【詳解】由題意得在上單調遞減，當時，的開口向上，對稱軸，當時，，得，所以得：，解得：，故D項正確.故選：D.8.已知是定義在上奇函數，且在上單調遞增，若，則的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題中條件結合函數奇偶性與單調性的性質，判斷出的值的正負情況，所求不等式等價變形為或，求解即可.【詳解】是定義在上的奇函數，則，又在上單調遞增，，則在上單調遞增，，，所以，當時，；當時，，可化為，可得或，即或，解得.故選：C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.以下各組函數中，表示同一函數的有（）A.， B.，C.， D.，【答案】AC【解析】【分析】根據同一函數的概念判斷即可.【詳解】與的定義域，對應關系均相同，是同一函數，故A正確；由解得，則的定義域為，由解得或，則的定義域為或則與的定義域不同，不是同一函數，故B錯誤；與的定義域，對應關系均相同，是同一函數，故C正確；的定義域為，的定義域為，定義域不同，不是同一函數，故D錯誤.故選：AC.10.給定集合，定義且，若，，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式求得集合，根據新定義進行求解判斷即可.【詳解】∵，∴，∴，當且僅當時取等號，則，故A正確；∵，，由新定義可知，，故B正確；，故C錯誤；，故D正確.故選：ABD.11.已知，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為6C.的最大值為0 D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】根據均值不等式和不等式的性質判斷AB，消元思想和函數性質的應用判斷CD即可.【詳解】對于A：，當且僅當時取到等號，A正確；對于B：，當且僅當時取到等號，B錯誤；對于C：，所以，所以，因為，所以，當且僅當取到等號，C正確；對于D：，由函數性質易知在單調遞增，所以，所以，故D錯誤，故選：AC12.德國數學家康托爾是集合論的創立者，為現代數學的發展作出了重要貢獻．某數學小組類比拓撲學中的康托爾三等分集，定義了區間上的函數，且滿足：①任意，；②；③，則（）A.在上單調遞增 B.的圖象關于點對稱C.當時， D.當時，【答案】BCD【解析】【分析】利用賦值法，求得，由單調性定義可判斷A；由③得，利用對稱性性質可判斷B；求得，，進而得，可判斷C；求得，進而得，即，即可判斷D.【詳解】由②得，即，得，而，得，∴，故A錯誤；由③可知，，即，則的圖象關于點對稱，故B正確；由②得，則，由③得，即，由，得，故C正確；由，得，則，∵任意，，∴當時，，即，∴，即，則，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知為奇函數，則實數a的值為______．【答案】1【解析】【分析】由列等式求解即可.【詳解】因為為奇函數，所以，得，得，得.故答案為：114.若“”是“”的充分不必要條件，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據一元二次不等式的解法，以及充分不必要條件的定義即可得到結論.【詳解】不等式的解集記為，不等式，解得或，解集記為或，若“”是“”的充分不必要條件，則，所以.故答案：.15.已知命題，為真命題，則實數的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】根據題意可知，需對二次項系數進行分類討論，并結合判別式即可求出實數的取值范圍【詳解】由題意得：當時，，不符題意；當時，的對稱軸為，所以，只需，解得：，當時，顯然滿足題意，綜上，的取值范圍為，故答案為：16.設，，用表示，中較小者，記為，則______；若方程恰有三個不同的實數解，則實數c的取值范圍為______.【答案】①.2②.【解析】【分析】計算與，比較大小可得；結合解不等式，得出的解析式，作出圖象，將方程恰有三個不同的實數解，轉化為直線與函數的圖象有三個交點，數形結合可得答案.【詳解】，，則；由，解得，由，解得或，則，作出圖象，如圖，由圖可知，當時，直線與函數的圖象有三個交點，此時方程恰有三個不同的實數解，則實數c的取值范圍為.故答案為：2；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知集合，．（1）當時，求；（2）若，求實數的取值范圍．【答案】17.18.【解析】【分析】（1）當時，，然后利用集合的并集運算求解；（2）先求出，然后利用并集運算，求出的取值范圍.【小問1詳解】當時，，所以.【小問2詳解】因為，，所以，解得：.故的取值范圍為：.18.已知是定義在上的奇函數，當時，．（1）求在上的解析式；（2）根據函數單調性定義，證明在區間上單調遞減．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據奇函數的性質進行求解即可；（2）根據函數的單調性的定義進行證明即可.【小問1詳解】因為是定義在R上的奇函數，所以，當時，．當時，，又為奇函數，所以，即．綜上，，，【小問2詳解】任取，且，，因為，且所以，，且，所以，即，所以，函數在區間上單調遞減．19.某工廠擬建造一個深為2.5米的長方體無蓋貯水池，如果池底每平方米的造價為200元，池壁每平方米的造價為100元，總造價不超過3萬元，怎樣設計水池，才能使其容積最大?最大容積是多少?【答案】當池底的長和寬均為10米時，其容積最大，最大容積為立方米【解析】【分析】設池底的長為x米，寬為y米，則水池的容積為，由題意得，結合基本不等式進行轉化整理，解不等式即可得出結果．【詳解】設池底長為x米，寬為y米，則水池的容積為，由題意得，因為，當且僅當時取“＝”，所以，即，解得，即．所以，當，即池底的長和寬均為10米時，其容積最大．此時，最大容積為立方米.20.已知冪函數的圖象經過點．（1）求的解析式；（2）若存在，使得，求實數a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設，由條件可得，得到的值即可；（2）令，由條件得，且．令，，由題意可得，利用二次函數的性質求解即可.【小問1詳解】設的解析式為，則，解得，因此．【小問2詳解】因為，所以．令，則，且．令，，因為在單調遞增，在單調遞減，所以．因為存在，使得，所以．所以．又因為，所以的取值范圍為.21.已知函數滿足：，．令．（1）求值，并證明為偶函數；（2）當時，．(i)判斷在上的單調性，并說明理由；(ii)若，求不等式的解集．【答案】（1），證明見解析；（2）(i)在上單調遞增，理由見解析；(ii)或【解析】【分析】（1）利用賦值法，根據函數的奇偶性的定義證明即可；（2）（i）根據函數的單調性的定義證明即可；(ii)根據函數單調性和奇偶性的性質得到關于的不等式，解出即可．【小問1詳解】因為，所以定義域為，因為，令，則，所以．令，則，所以．令，則，所以，，所以為偶函數.【小問2詳解】(i)因為，兩邊同除以得，即．任取，且，則，，因為當時，，所以，即，所以在上單調遞增．(ii)因為，所以，所以原不等式可化為．又為偶函數，且在上單調遞增，所以，解得或，所以原不等式的解集為或．22.已知函數，，（1）解關于x的不等式；（2）從①，②]這兩個條件中任選一個，補充在下面問題的橫線處，并給出問題的解答．問題：是否存在正數t，使得?若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）先代入，再進行因式分解，最后根據參數的取值不同分別得到解集即可；（2）先將題目意思理解為定義域和值域問題，然后對二次函數對稱軸的分布分類討論，根據不同情況分別求出和的值，再逐一驗證是否符合要求即可.【小問1詳解】由，則，即，①當時，不等式的解集為；②當時，不等式解集為；③當時，不等式的解集為，綜上，當