例題精講例題精講考點一：一次函數中等腰三角形存在性問題【例1】．如果一次函數y＝﹣x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，M點在x軸上，并且使得以點A、B、M為定點的三角形是等腰三角形，則M點的坐標為．變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，直線MN的函數解析式為y＝﹣x+3，點A在線段MN上且滿足AN＝2AM，B點是x軸上一點，當△AOB是以OA為腰的等腰三角形時，則B點的坐標為．【變1-2】．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣2x+12與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y＝x交于點C．（1）求點C的坐標．（2）若P是x軸上的一個動點，直接寫出當△OPC是等腰三角形時P的坐標．考點二：一次函數中直角三角形存在性問題【例2】．已知點A、B的坐標分別為（2，2）、（5，1），試在x軸上找一點C，使△ABC為直角三角形．【變2-1】．如圖，一次函數y＝kx+1的圖象過點A（1，2），且與x軸相交于點B．若點P是x軸上的一點，且滿足△ABP是直角三角形，則點P的坐標是．【變2-2】．如圖，已知一次函數y＝x﹣2的圖象與y軸交于點A，一次函數y＝4x+b的圖象與y軸交于點B，且與x軸以及一次函數y＝x﹣2的圖象分別交于點C、D，點D的坐標為（﹣2，﹣4）．（1）關于x、y的方程組的解為．（2）求△ABD的面積；（3）在x軸上是否存在點E，使得以點C，D，E為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．考點三：一次函數中平行四邊形存在性問題【例3】．如圖，已知一次函數y＝kx+b的圖象經過A（1，3），B（﹣2，﹣1）兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D．（1）求該一次函數的表達式；（2）求△AOB的面積；（3）平面內是否存在一點M，使以點M、C、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由．變式訓練【變3-1】．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上，過點D作DE⊥x軸于點E．（1）求證：△BOC≌△CED；（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當B'C'經過點D時，求△BCD平移的距離及點D的坐標；（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．考點四：一次函數中矩形存在性問題【例4】．如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點C過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．（1）求線段AB的長；（2）求直線CE的解析式；（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標平面內是否存在點P，使以A、B、M、P為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．變式訓練【變4-1】．如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標軸上，△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H，線段BC、OC的長是方程x2﹣4x+3＝0的兩個根，且OC＞BC．（1）求直線BD的解析式；（2）求點H到x軸的距離；（3）點M在坐標軸上，平面內是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．考點五：一次函數中菱形存在性問題【例5】．如圖1，直線y＝x+6與x，y軸分別交于A，B兩點，∠ABO的角平分線與x軸相交于點C．（1）求點C的坐標；（2）在直線BC上有兩點M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求點M的坐標；（3）點P在y軸上，在平面上是否存在點Q，使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．變式訓練【變5-1】．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點D、C，直線AB與y軸交于點B（0，﹣2），與直線CD交于點A（m，2）．（1）求直線AB的解析式；（2）點E是射線CD上一動點，過點E作EF∥y軸，交直線AB于點F，若以O、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點E的坐標；（3）設P是射線CD上一點，在平面內是否存在點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．1．一次函數y＝x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，在x軸上取一點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的點C的坐標為．2．如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（2，1），連接OA，點P是x軸上的一動點，如果△OAP是等腰三角形，請你寫出符合條件的點P坐標．3．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（4，0），點C在y的正半軸上，且OB＝2OC，在直角坐標平面內確定點D，使得以點D、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出點D的坐標為．4．如圖，一次函數y＝k2x+b的圖象與y軸交于點B，與正比例函數y＝k1x的圖象相交于點A（3，4），且OA＝OB．（1）分別求出這兩個函數的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）點P在x軸上，且△POA是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．5．直線l1交x軸于點A（6，0），交y軸于B（0，6）．（1）如圖，折疊△AOB，使BA落在y軸上，折痕所在直線為l2，直線l2與x軸交于C點，求C點坐標及l2的解析式；（2）在直線l1上找點M，使得以M、A、C為頂點的三角形是等腰三角形，求出所有滿足條件的M點的坐標．6．在平面直角坐標系中，直線y＝kx+8k（k是常數，k≠0）與坐標軸分別交于點A，點B，且點B的坐標為（0，6）．（1）求點A的坐標；（2）如圖1，將直線AB繞點B逆時針旋轉45°交x軸于點C，求直線BC的解析式；（3）在（2）的條件下，直線BC上有一點M，坐標平面內有一點P，若以A、B、M、P為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點P的坐標．7．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點B，且與正比例函數y＝x的圖象交于點C（m，6）．（1）求一次函數的解析式；（2）求△BOC的面積；（3）在x軸上是否存在一點P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．8．如圖，已知一次函數y＝x+m的圖象與x軸交于點A（﹣6，0），交y軸于點B．（1）求m的值與點B的坐標（2）問在x軸上是否存在點C，使得△ABC的面積為16？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由．（3）問在x軸是否存在點P，使得△ABP為等腰三角形，求出點P坐標．（4）一條經過點D（0，2）和直線AB上的一點的直線將△AOB分成面積相等的兩部分，請求出這條直線的函數表達式．9．在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+2的圖象交x軸、y軸分別于A、B兩點，交直線y＝kx于P（2，a）．（1）求點A、B的坐標；（2）若Q為x軸上一動點，△APQ為等腰三角形，直接寫出Q點坐標；（3）點C在直線AB上，過C作CE⊥x軸于E，交直線OP于D，我們規定若C，D，E中恰好有一點是其他兩點所連線段的中點，則稱C，D，E三點為“和諧點”，求出C，D，E三點為“和諧點”時C點的坐標．10．如圖所示，直線l：y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，在y軸上有一點C（0，4）．（1）求△AOB的面積；（2）動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動，求△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數關系式；（3）當動點M在x軸上移動的過程中，在平面直角坐標系中是否存在點N，使以點A，C，N，M為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．11．如圖，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點，連接BC，且OC＝OB．（1）求點A的坐標及直線BC的函數關系式；（2）點M在x軸上，連接MB，當∠MBA+∠CBO＝45°時，求點M的坐標；（3）若點P在x軸上，平面內是否存在點Q，使點B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．12．已知，一次函數y＝的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，與直線y＝相交于點C．過點B作x軸的平行線l．點P是直線l上的一個動點．（1）求點A，點B的坐標．（2）求點C到直線l的距離．（3）若S△AOC＝S△BCP，求點P的坐標．（4）若點E是直線y＝上的一個動點，當△APE是以AP為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出點E的坐標．13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+與y＝x相交于點A，與x軸交于點B．（1）求點A，B的坐標；（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在一點C，使得以O，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，試求出所有符合條件的點C的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）在直線OA上，是否存在一點D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，試求出所有符合條件的點D的坐標，如果不存在，請說明理由．14．如圖，經過點B（0，2）的直線y＝kx+b與x軸交于點C，與正比例函數y＝ax的圖象交于點A（﹣1，3）（1）求直線AB的函數的表達式；（2）直接寫出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面積；（4）點P是直線AB上的一點，且知△OCP是等腰三角形，寫出所有符合條件的點P的坐標．15．如圖1，已知直線l1：y＝kx+4交x軸于A（4，0），交y軸于B．（1）直接寫出k的值為；（2）如圖2，C為x軸負半軸上一點，過C點的直線l2：經過AB的中點P，點Q（t，0）為x軸上一動點，過Q作QM⊥x軸分別交直線l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如圖3，已知點M（﹣1，0），點N（5m，3m+2）為直線AB右側一點，且滿足∠OBM＝∠ABN，求點N坐標．16．如圖，平面直角坐標系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點（OA＜OB）且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的兩個根，點C在x軸負半軸上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C兩點的坐標；（2）若點M從C點出發，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關于t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內是否存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．17．如圖1，在平面直角坐標系中．直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，動點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上時，過點D作DE⊥x軸于點E．（1）求證：△BOC≌△CED；（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當直線B′C′經過點D時，求點D的坐標；（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上．是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．18．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，點C在y軸的負半軸上，若將△CAB沿直線AC折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點D處．（1）點A的坐標是，點B的坐標是，AB的長為；（2）求點C的坐標；（3）點M是y軸上一動點，若S△MAB＝S△OCD，直接寫出點M的坐標．（4）在第一象限內是否存在點P，使△PAB為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．19．如圖，直角坐標系中，直線y＝kx+b分別與x軸、y軸交于點A（3，0），點B（0，﹣4），過D（0，8）作平行x軸的直線CD，交AB于點C，點E（0，m）在線段OD上，延長CE交x軸于點F，點G在x軸正半軸上，且AG＝AF．（1）求直線AB的函數表達式．（2）當點E恰好是OD中點時，求△ACG的面積．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．20．如圖直線l：y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點B、C兩點，點B的坐標是（﹣8，0），點A的坐標為（﹣6，0）．（1）求k的值．（2）若點P是直線l在第二象限內一個動點，當點P運動到什么位置時，△PAC的面積為3，求出此時直線AP的解析式．（3）在x軸上是否存在一點M，使得△BCM為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．21．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線l：y＝﹣x+m與x、y軸的正半軸分別相交于點A、B，過點C（﹣4，﹣4）畫平行于y軸的直線交直線AB于點D，CD＝10（1）求點D的坐標和直線l的解析式；（2）求證：△ABC是等腰直角三角形；（3）如圖2，將直線l沿y軸負方向平移，當平移適當的距離時，直線l與x、y軸分別相交于點A′、B′，在直線CD上存在點P，使得△A′B′P是等腰直角三角形．請直接寫出所有符合條件的點P的坐標．（不必書寫解題過程）22．直線y＝kx﹣4與x軸、y軸分別交于B、C兩點，且＝．（1）求點B的坐標和k的值；（2）若點A時第一象限內的直線y＝kx﹣4上的一動點，則當點A運動到什么位置時，△AOB的面積是6？（3）在（2）成立的情況下，x軸上是否存在點P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．23．如圖，一次函數y1＝x+n與x軸交于點B，一次函數y2＝﹣x+m與y軸交于點C，且它們的圖象都經過點D（1，﹣）．（1）則點B的坐標為，點C的坐標為；（2）在x軸上有一點P（t，0），且t＞，如果△BDP和△CDP的面積相等，求t的值；（3）在（2）的條件下，在y軸的右側，以CP為腰作等腰直角△CPM，直接寫出滿足條件的點M的坐標．24．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b的圖象與y軸交于點A（0，4），與直線y＝﹣x﹣1在第四象限相交于點B，連接OB，△AOB的面積為6．（1）求點B的坐標及直線AB的解析式；（2）已知點M在直線AB右側，且△MAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出符合條件的點M的坐標．25．綜合與探究：如圖，直線l1：y＝x+3與過點A（3，0）的直線l2：y＝kx+b（k≠0）交于點C（1，m）與x軸交于點B．（1）求直線l2對應的函數解析式；（2）請直接寫出不等式kx+b＜x+3的解集；（3）若點N在平面直角坐標系內，則在直線l1上是否存在點F使以A，B，F，N為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．26．一次函數y＝kx+（k≠0）的圖象與x軸、y軸分別交于A（1，0）、B（0，m）兩點．（1）求一次函數解析式和m的值；（2）將線段AB繞著點A旋轉，點B落在x軸負半軸上的點C處．點P在直線AB上，直線CP把△ABC分成面積之比為2：1的兩部分．求直線CP的解析式；（3）在第二象限是否存在點D，使△BCD是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由．27．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝k1x+b的圖象與x軸交于點A（﹣3，0），與y軸交于點B，且與正比例函數y＝k2x的圖象交點為C（3，4）．（1）求正比例函數與一次函數的關系式．（2）若點D在第二象限，△DAB是以AB為直角邊的等腰直角三角形，請求出點D的坐標．（3）在y軸上是否存在一點P使△POC為等腰三角形，若存在，求出所有符合條件的點P的坐標．28．在學習一元一次不等式與一次函數的過程中，小新在同一個坐標系中發現直線l1：y1＝﹣x+3與坐標軸相交于A，B兩點，直線l2：y2＝kx+b（k≠0）與坐標軸相交于C，D兩點，兩直線相交于點E，且點E的橫坐標為2．已知OC＝，點P是直線l2上的動點．（1）求直線l2的函數表達式；（2）過點P作x軸的垂線與直線l1和x軸分別相交于M，N兩點，當點N是線段PM的三等分點時，求P點的坐標；（3）若點Q是x軸上的動點，是否存在以A，E，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有滿足條件的P點坐標；若不存在，請說明理由．29．（1）認識模型：如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E．求證：△BEC≌△CDA；（2）應用模型：①已知直線y＝﹣2x+4與y軸交于A點，與x軸交于B點，將線段AB繞點B順時針旋轉90度，得到線段CB，求點C的坐標；②如圖3，矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（5，4），A，C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，已知點D在第一象限，且是直線y＝2x﹣3上的一點，點Q是平面內任意一點．若四邊形ADPQ是正方形，請直接寫出所有符合條件的點D的坐標．30．如圖，四邊形OABC為矩形，其中O為原點，A、C兩點分別在x軸和y軸上，點B的坐標是（4，6），將矩形沿直線DE折疊，使點C落在AB邊上點F處，折痕分別交OC、BC于點E、D，且點D的坐標是（，6）．（1）求BF的長度；（2）如圖2，點P在第二象限，且△PDE≌△CED，求直線PE的解析式；（3）若點M為直線DE上一動點，在x軸上是否存在點N，使以M、N、D、F為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

例題精講例題精講考點一：一次函數中等腰三角形存在性問題【例1】．如果一次函數y＝﹣x+6的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點，M點在x軸上，并且使得以點A、B、M為定點的三角形是等腰三角形，則M點的坐標為（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（﹣，0）．解：一次函數y＝﹣x+6中令x＝0，解得y＝6；令y＝0，解得x＝8，∴A（8，0），B（0，6），即OA＝8，OB＝6，在直角三角形AOB中，根據勾股定理得：AB＝10，分四種情況考慮，當BM＝BA時，由BO⊥AM，根據三線合一得到O為MA的中點，此時M1（﹣8，0）；當AB＝AM時，由AB＝10，得到OM＝﹣2或18，此時M2（﹣2，0），M3（18，0）；當MA＝MB時，∵A（8，0），B（0，6），∴AB的中點的坐標為（4，3），設直線AB的垂直平分線的解析式為y＝x+b，代入（4，3）得3＝+b，解得b＝﹣，∴直線AB的垂直平分線的解析式為y＝x﹣，令y＝0，解得x＝，此時M4（，0）．綜上，這樣的M點有4個，分別為（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．故答案為（﹣8，0）或（﹣2，0）或（18，0）或（，0）．變式訓練【變1-1】．如圖，在平面直角坐標系中，直線MN的函數解析式為y＝﹣x+3，點A在線段MN上且滿足AN＝2AM，B點是x軸上一點，當△AOB是以OA為腰的等腰三角形時，則B點的坐標為（2，0）或（，0）或（，0）．解：∵在y＝﹣x+3中，令x＝0，則y＝3；令y＝0，則﹣x+3＝0，解得x＝3，∴N（3，0），M（0，3），∴OM＝ON＝3，∵AN＝2AM，∴A（1，2），∴OA＝＝，當AO＝OB時，則OB＝，∴點B的坐標為（﹣，0）或（，0）；②當AO＝AB時，設點B的坐標為（m，0），則＝，整理得，（1﹣m）2＝1，解得m＝2或m＝0（舍去），∴點B的坐標為（2，0）．綜上所述：點B的坐標為（2，0）或（，0）或（，0）．【變1-2】．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣2x+12與x軸交于點A，與y軸交于點B，與直線y＝x交于點C．（1）求點C的坐標．（2）若P是x軸上的一個動點，直接寫出當△OPC是等腰三角形時P的坐標．解：（1）聯立兩直線解析式成方程組，得，解得：，∴點C的坐標為（4，4）；（2）設點P（m，0），而點C（4，4），點O（0，0）；PC2＝（m﹣4）2+16，PO2＝m2，OC2＝42+42＝32；當PC＝PO時，（m﹣4）2+16＝m2，解得：m＝4；當PC＝OC時，同理可得：m＝0（舍去）或8；當PO＝OC時，同理可得：m＝±4；故點P的坐標為（4，0）或（8，0）或（4，0）或（﹣4，0）．考點二：一次函數中直角三角形存在性問題【例2】．已知點A、B的坐標分別為（2，2）、（5，1），試在x軸上找一點C，使△ABC為直角三角形．解：當△ABC為直角三角形時，設點C坐標為（x，0），分三種情況：①如果A為直角頂點，則AB2+AC2＝BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（2﹣x）2+22＝（5﹣x）2+1，解得：x＝，②如果B為直角頂點，那么AB2+BC2＝AC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2+（5﹣x）2+1＝（2﹣x）2+22，解得x＝，③如果C為直角頂點，那么AB2＝AC2+BC2，即（2﹣5）2+（2﹣1）2＝（2﹣x）2+22+（5﹣x）2+1，解得x＝3或4，綜上可知，使△PAB為直角三角形的點C坐標為（，0）或（，0）或（3，0）或（4，0）．變式訓練【變2-1】．如圖，一次函數y＝kx+1的圖象過點A（1，2），且與x軸相交于點B．若點P是x軸上的一點，且滿足△ABP是直角三角形，則點P的坐標是（1，0）或（3，0）．解：∵一次函數y＝kx+1的圖象過點A（1，2），∴2＝k+1，解得k＝1，∴一次函數的解析式為y＝x+1．∴當∠APB＝90°時，P1（1，0）；當∠BAP＝90°時，∵一次函數的解析式為y＝x+1，∴設直線AP的解析式為y＝﹣x+b，∵A（1，2），∴2＝﹣1+b，解得b＝3，∴直線AP的解析式為y＝﹣x+3，∴當y＝0時，x＝3，∴P2（3，0）．綜上所述，點P的坐標是（1，0）或（3，0）．【變2-2】．如圖，已知一次函數y＝x﹣2的圖象與y軸交于點A，一次函數y＝4x+b的圖象與y軸交于點B，且與x軸以及一次函數y＝x﹣2的圖象分別交于點C、D，點D的坐標為（﹣2，﹣4）．（1）關于x、y的方程組的解為．（2）求△ABD的面積；（3）在x軸上是否存在點E，使得以點C，D，E為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵一次函數y＝x﹣2的圖象與一次函數y＝4x+b的圖象交于點D，且點D的坐標為（﹣2，﹣4），∴關于x、y的方程組的解是，∴關于x、y的方程組的解是，故答案為：；（2）把點D的坐標代入一次函數y＝4x+b中得：﹣8+b＝﹣4，解得：b＝4，∴B（0，4），∵A（0，﹣2），∴AB＝4﹣（﹣2）＝6，∴S△ABD＝＝6；（3）存在，如圖1，當點E為直角頂點時，過點D作DE⊥x軸于E，∵D（﹣2，﹣4），∴E（﹣2，0）；當點C為直角頂點時，x軸上不存在點E；當點D為直角頂點時，過點D作DE⊥CD交x軸于點E，作DF⊥x軸于F，設E（t，0），當y＝0時，4x+4＝0，∴x＝﹣1，∴C（﹣1，0），∵F（﹣2，0），∴CE＝﹣1﹣t，EF＝﹣2﹣t，∵D（﹣2，﹣4），∴DF＝4，CF＝﹣1﹣（﹣2）＝1，在Rt△DEF中，DE2＝EF2+DF2＝42+（﹣2﹣t）2＝t2+4t+20，在Rt△CDF中，CD2＝12+42＝17，在Rt△CDE中，CE2＝DE2+CD2，∴（﹣1﹣t）2＝t2+4t+20+17，解得t＝﹣18，∴E（﹣18，0），綜上，點E的坐標為：（﹣2，0）或（﹣18，0）．考點三：一次函數中平行四邊形存在性問題【例3】．如圖，已知一次函數y＝kx+b的圖象經過A（1，3），B（﹣2，﹣1）兩點，并且交x軸于點C，交y軸于點D．（1）求該一次函數的表達式；（2）求△AOB的面積；（3）平面內是否存在一點M，使以點M、C、O、B為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，請直接寫出點M的坐標，若不存在，請說明理由．解：（1）將A（1，3）、B（﹣2，﹣1），代入y＝kx+b得：，解得，∴一次函數的表達式為y＝x+；（2）在y＝x+中，令x＝0得y＝，∴OD＝，∴S△AOD＝OD?|xA|＝××1＝，S△BOD＝OD?|xB|＝××2＝，∴△AOB的面積S△AOB＝S△BOD+S△AOD＝；（3）存在，理由如下：在y＝x+中，令y＝0得y＝﹣，∴C（﹣，0），設M（m，n），而B（﹣2，﹣1），O（0，0），①以OB、CM為對角線，則OB的中點即是CM的中點，如圖：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；②以BC、OM為對角線，則BC的中點即是OM的中點，如圖：∴，解得，∴M（﹣，﹣1）；③以BM、CO為對角線，則BM的中點即是CO的中點，如圖：∴，解得，∴M（，1）；綜上所述，M的坐標為：（﹣，﹣1）或（﹣，﹣1）；或（，1）．變式訓練【變3-1】．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上，過點D作DE⊥x軸于點E．（1）求證：△BOC≌△CED；（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當B'C'經過點D時，求△BCD平移的距離及點D的坐標；（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的P點的坐標；若不存在，請說明理由．（1）證明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠OBC＝90°，∠OCB+∠ECD＝90°，∴∠OBC＝∠ECD．∵將線段CB繞著點C順時針旋轉90°得到CD，∴BC＝CD．在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS）．（2）解：∵直線y＝﹣x+3與x軸、y軸相交于A、B兩點，∴點B的坐標為（0，3），點A的坐標為（6，0）．設OC＝m，∵△BOC≌△CED，∴OC＝ED＝m，BO＝CE＝3，∴點D的坐標為（m+3，m）．∵點D在直線y＝﹣x+3上，∴m＝﹣（m+3）+3，解得：m＝1，∴點D的坐標為（4，1），點C的坐標為（1，0）．∵點B的坐標為（0，3），點C的坐標為（1，0），∴直線BC的解析式為y＝﹣3x+3．設直線B′C′的解析式為y＝﹣3x+b，將D（4，1）代入y＝﹣3x+b，得：1＝﹣3×4+b，解得：b＝13，∴直線B′C′的解析式為y＝﹣3x+13，∴點C′的坐標為（，0），∴CC′＝﹣1＝，∴△BCD平移的距離為．（3）解：設點P的坐標為（0，m），點Q的坐標為（n，﹣n+3）．分兩種情況考慮，如圖3所示：①若CD為邊，當四邊形CDQP為平行四邊形時，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴點P1的坐標為（0，）；當四邊形CDPQ為平行四邊形時，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴點P2的坐標為（0，）；②若CD為對角線，∵C（1，0），D（4，1），P（0，m），Q（n，﹣n+3），∴，解得：，∴點P的坐標為（0，）．綜上所述：存在，點P的坐標為（0，）或（0，）．考點四：一次函數中矩形存在性問題【例4】．如圖，在平面直角坐標系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長滿足|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∠ABO的平分線交x軸于點C過點C作AB的垂線，垂足為點D，交y軸于點E．（1）求線段AB的長；（2）求直線CE的解析式；（3）若M是射線BC上的一個動點，在坐標平面內是否存在點P，使以A、B、M、P為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2＝0，∴OA＝8，OB＝6，在直角△AOB中，AB＝＝＝10；（2）∵BC平分∠ABO，CD⊥AB，AO⊥BO，∴OC＝CD，設OC＝x，則AC＝8﹣x，CD＝x．∵△ACD和△ABO中，∠CAD＝∠BAO，∠ADC＝∠AOB＝90°，∴△ACD相似于△ABO，∴，即，解得：x＝3．即OC＝3，則C的坐標是（﹣3，0）．設AB的解析式是y＝kx+b，根據題意得解得：則直線AB的解析式是y＝x+6，設CD的解析式是y＝﹣x+m，則4+m＝0，則m＝﹣4．則直線CE的解析式是y＝﹣x﹣4；（3）①當AB為矩形的邊時，如圖所示矩形AM1P1B，易知BC的直線方程為y＝2x+6，設M1（m，2m+6），P1（x，y），因為A（﹣8，0），B（0，6），則AM12＝（m+8）2+（2m+6）2，＝5m2+40m+100，BM12＝m2+（2m+6﹣6）2＝5m2，AB＝10，根據AB2+AM12＝BM12得100+5m2+40m+100＝5m2，m＝﹣5，∴M1（﹣5，﹣4），根據平移規律可以解得P1（3，2）②當AB為矩形的對角線時，此時有AB2＝AM22+BM22，即100＝5m2+40m+100+5m2，m＝﹣4或m＝0（舍去），∴M2（﹣4，﹣2），根據平移規律可以解得P2（﹣4，8）綜上可得，滿足條件的P點的坐標為P1（3，2）或P2（﹣4，8）．變式訓練【變4-1】．如圖，四邊形OABC是矩形，點A、C在坐標軸上，△ODE是△OCB繞點O順時針旋轉90°得到的，點D在x軸上，直線BD交y軸于點F，交OE于點H，線段BC、OC的長是方程x2﹣4x+3＝0的兩個根，且OC＞BC．（1）求直線BD的解析式；（2）求點H到x軸的距離；（3）點M在坐標軸上，平面內是否存在點N，使以點D、F、M、N為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）x2﹣4x+3＝0，解得：x＝3或1，故BC＝1，OC＝3，即點C（0，3）、點A（﹣1，0），則點B（﹣1，3），點D（3，0），點E（3，1），將B、D點的坐標代入一次函數表達式：y＝kx+b得：，解得：，故直線BD的表達式為：y＝﹣x+…①；（2）同理可得：直線OE的表達式為：y＝x…②，聯立①②并解得：y＝，即點H到x軸的距離為：；（3）直線BD的表達式為：y＝﹣x+，則點F（0，），①當FD是矩形的一條邊時，當點M在x軸上時，∵MF⊥BD，則直線MF的表達式為：y＝x+，當y＝0，x＝﹣，即點M（﹣，0），點F向右平移3個單位向下平移單位得到D，則點M向右平移3個單位向下平移單位得到N，則點N（，﹣）；當點M在y軸上時，同理可得：點N（﹣3，﹣）；②當FD是矩形的對角線時，此時點M在原點O，則點N（3，）；綜上，點N的坐標為：（，﹣）或（﹣3，﹣）或（3，）．考點五：一次函數中菱形存在性問題【例5】．如圖1，直線y＝x+6與x，y軸分別交于A，B兩點，∠ABO的角平分線與x軸相交于點C．（1）求點C的坐標；（2）在直線BC上有兩點M，N，△AMN是等腰直角三角形，∠MAN＝90°，求點M的坐標；（3）點P在y軸上，在平面上是否存在點Q，使以點A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）對于直線y＝x+6，令x＝0，得到y＝6，∴B（0，6），令y＝0，得到x＝﹣8，∴A（﹣8，0）．∵A（﹣8，0），B（0，6），∴OA＝8，OB＝6，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝10，過點C作CH⊥AB于H，設OC＝t，∵BC平分∠ABO，∠AOB＝90°，∴CH＝OC＝t，∵S△ABO＝S△ABC+S△BCO，∴OA?OB＝AB?CH+OC?OB，∴6×8＝10t+6t，∴t＝3，∴OC＝3，∴C（﹣3，0）；（2）設線BC的表達式為：y＝kx+b，∵B（0，6），C（﹣3，0），∴直線BC的表達式為：y＝2x+6，設點M（m，2m+6）、N（n，2n+6），過點M作MF⊥x軸于點F，過點N作NE⊥x軸于點E，∵△AMN為等腰直角三角形，故AM＝AN，∵∠NAE+∠MAF＝90°，∠MAF+∠AMF＝90°，∴∠NAE＝∠AMF，∵∠AFM＝∠NEA＝90°，AM＝AN，∴△FMA≌△EAN（AAS），∴EN＝AF，MF＝AE，即﹣2n﹣6＝m+8，2m+6＝8+n，解得：m＝﹣2，n＝﹣6，故點M的坐標為（﹣2，2）、點N（﹣6，﹣6）；由于M，N的位置可能互換，故點N的坐標為（﹣2，2）、點M（﹣6，﹣6）；綜上所述，點M的坐標為（﹣2，2）或（﹣6，﹣6）；（3）設點P（0，p），∴BP2＝（p﹣6）2，AP2＝82+p2，①當AB是邊時，如圖，∵點A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形，∴BP＝AB＝10，BP′＝AB＝10，OB＝OP″，∵B（0，6），∴P（0，16），P′（0，﹣4），P″（0，﹣6），∵A（﹣8，0），∴Q（﹣8，10），Q′（﹣8，﹣10），Q″（8，0）；②當AB是對角線時，如圖，∵點A、B、P、Q為頂點的四邊形為菱形，∴AP＝BP，∴BP2＝AP2，∴（p﹣6）2＝82+p2，解得p＝﹣，∴P（0，﹣），∵A（﹣8，0），B（0，6），∴Q（﹣8，）；綜上所述，點Q的坐標為（﹣8，10）或（﹣8，﹣10）或（8，0）或（﹣8，）．變式訓練【變5-1】．如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝x+4與x軸、y軸分別交于點D、C，直線AB與y軸交于點B（0，﹣2），與直線CD交于點A（m，2）．（1）求直線AB的解析式；（2）點E是射線CD上一動點，過點E作EF∥y軸，交直線AB于點F，若以O、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，請求出點E的坐標；（3）設P是射線CD上一點，在平面內是否存在點Q，使以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵點A（m，2）在直線y＝x+4上∴m+4＝2解得m＝﹣2∴點A的坐標為（﹣2，2）設直線AB的解析式為y＝kx+b∴解得∴直線AB的解析式為y＝﹣2x﹣2；（2）如圖1，由題意設點E的坐標為（a，a+4），則∵EF∥y軸，點F在直線y＝﹣2x﹣2上∴點F的坐標為（a，﹣2a﹣2）∴EF＝|a+4﹣（﹣2a﹣2）|＝|3a+6|，∵以點O、C、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形，且EF∥OC∴EF＝OC∵直線y＝x+4與y軸交于點C∴點C的坐標為（0，4）∴OC＝4，即|3a+6|＝4解得：a＝﹣或a＝﹣∴點E的坐標為（﹣，）或（﹣，）；（3）如圖2，當BC為對角線時，點P，Q都是BC的垂直平分線，且點P和點Q關于BC對稱，∵B（0，﹣2），C（0，4），∴點P的縱坐標為1，將y＝1代入y＝x+4中，得x+4＝1，∴x＝﹣3，∴P''（﹣3，1），∴Q''（3，1）當CP是對角線時，CP是BQ的垂直平分線，設Q（m，n），∴BQ的中點坐標為（，），代入直線y＝x+4中，得+4＝①，∵CQ＝CB，∴m2+（n﹣4）2＝36②，聯立①②得，（舍）或，∴Q'（﹣6，4），當PB是對角線時，PC＝BC＝6，設P（c，c+4），∴c2+（c+4﹣4）2＝36，∴c＝3（舍）或c＝﹣3，∴P（﹣3，﹣3+4），設Q（d，e）∴（﹣3+0）＝（0+d），（﹣3+4﹣2）＝（e+4），∴d＝﹣3，e＝﹣3﹣2，∴Q（﹣3，﹣3﹣2），即：點Q的坐標為（3，1），（﹣6，4）或（﹣3，﹣3﹣2）．1．一次函數y＝x+4分別交x軸、y軸于A、B兩點，在x軸上取一點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的點C的坐標為（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．解：當x＝0時，y＝4，當y＝0時，x＝﹣3，即A（﹣3，0），B（0，4），OA＝3，OB＝4，由勾股定理得：AB＝5，有三種情況：①以A為圓心，以AB為半徑交x軸于兩點，此時AC＝AB＝5，C的坐標是（2，0）和（﹣8，0）；②以B為圓心，以AB為半徑交x軸于一點（A除外），此時AB＝BC，OA＝OC＝3，C的坐標是（3，0）；③作AB的垂直平分線交x軸于C，設C的坐標是（a，0），A（﹣3，0），B（0，4），∵AC＝BC，由勾股定理得：（a+3）2＝a2+42，解得：a＝，∴C的坐標是（，0），故答案為：（﹣8，0）（3，0）（2，0）（，0）．2．如圖，在平面直角坐標系中，點A坐標為（2，1），連接OA，點P是x軸上的一動點，如果△OAP是等腰三角形，請你寫出符合條件的點P坐標P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．解：設P（x，0），當OA＝AP時，∵A（2，1），∴P1（4，0）；當OA＝OP時，∵A（2，1），∴OA＝＝，∴P2（，0），P3（﹣，0）；當AP＝OP時，∵P（x，0），（2，1），∴（2﹣x）2+12＝x2，解得x＝，∴P4（，0）．綜上所述，P點坐標為：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．故答案為：P1（4，0），P2（，0），P3（﹣，0），P4（，0）．3．如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（4，0），點C在y的正半軸上，且OB＝2OC，在直角坐標平面內確定點D，使得以點D、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，請寫出點D的坐標為（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．解：如圖，①當BC為對角線時，易求M1（3，2）；②當AC為對角線時，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；③當AB為對角線時，AC∥BM，且AC＝BM．則|My|＝OC＝2，|Mx|＝OB+OA＝5，所以M3（5，﹣2）．綜上所述，符合條件的點D的坐標是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．故答案為：（3，2）（﹣3，2）（5，﹣2）．4．如圖，一次函數y＝k2x+b的圖象與y軸交于點B，與正比例函數y＝k1x的圖象相交于點A（3，4），且OA＝OB．（1）分別求出這兩個函數的解析式；（2）求△AOB的面積；（3）點P在x軸上，且△POA是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．解：（1）∵正比例函數y＝k1x的圖象經過點A（3，4），∴3k1＝4，∴k1＝，∴正比例函數解析式為y＝x．如圖1中，過A作AC⊥x軸于C，在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝4，∴AO＝＝5，∴OB＝OA＝5，∴B（0，﹣5），∴，解得，∴一次函數的解析式為y＝3x﹣5．（2）如圖1中，過A作AD⊥y軸于D，∵A（3，4），∴AD＝3，∴S△AOB＝；（3）當OP＝OA時，P1（﹣5，0），P2（5，0），當AO＝AP時，P3（6，0），當PA＝PO時，線段OA的垂直平分線為y＝﹣，∴，滿足條件的點P的坐標（﹣5，0）或（5，0）或（6，0）或．5．直線l1交x軸于點A（6，0），交y軸于B（0，6）．（1）如圖，折疊△AOB，使BA落在y軸上，折痕所在直線為l2，直線l2與x軸交于C點，求C點坐標及l2的解析式；（2）在直線l1上找點M，使得以M、A、C為頂點的三角形是等腰三角形，求出所有滿足條件的M點的坐標．解：∵點A（6，0），交y軸于B（0，6）．∴OA＝6，OB＝6，∴tan∠OAB＝＝，∴∠OAB＝30°，∴∠OBA＝60°，∵折疊△AOB，∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∴BC＝2OC，BO＝OC＝6，∴OC＝2，∴點C（2，0），設直線BC解析式為：y＝kx+b，解得：∴直線BC解析式為：y＝﹣x+6；（2）當點M與點B重合時，由（1）可知：∠AMC＝∠MAC＝30°，∴CM＝AC，∴△ACM是等腰三角形，∴當M為（0，6）時，△ACM是等腰三角形，∵OC＝2，OA＝6，∴AC＝4，若AM＝AC＝4，如圖1：過點M作MH⊥AC，∵∠MAH＝30°，∴MH＝AM＝2，AH＝2MH＝6，∴OH＝6﹣6或6+6，∴點M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）若AM＝MC，如圖2，過點M作MH⊥AC，∵AM＝MC，MH⊥AC，∴AH＝CH＝2，∴OC＝4，∵∠MAH＝30°，∴AH＝MH，∴MH＝2，∴點M（4，2），綜上所述：點M（6﹣6，2）或（6+6，﹣2）或（4，2）或（0，6）．6．在平面直角坐標系中，直線y＝kx+8k（k是常數，k≠0）與坐標軸分別交于點A，點B，且點B的坐標為（0，6）．（1）求點A的坐標；（2）如圖1，將直線AB繞點B逆時針旋轉45°交x軸于點C，求直線BC的解析式；（3）在（2）的條件下，直線BC上有一點M，坐標平面內有一點P，若以A、B、M、P為頂點的四邊形是菱形，請直接寫出點P的坐標．解：（1）令y＝kx+8k＝0，解得x＝﹣8，故點A的坐標為（﹣8，0）；（2）過點A作AD⊥AB交BC于點D，過點A作y軸的平行線交過點B與x軸的平行線于點M，交過點D與x軸的平行線于點N，∵∠ABC＝45°，故△ABD為等腰直角三角形，則AD＝AB，∵∠BAM+∠DAN＝90°，∠DAN+∠ADN＝90°，∴∠BAM＝∠ADN，∵∠BMA＝∠AND＝90°，∴△BMA≌△AND（AAS），∴AN＝BM＝8，ND＝AM＝6，故點D的坐標為（﹣2，﹣8），設直線BC的表達式為y＝kx+b，則，解得，故直線BC的表達式為y＝7x+6；（3）設點M的坐標為（m，7m+6），點P（s，t），而點A、B的坐標分別為（﹣8，0）、（0，6），①當AB是邊時，點A向右8個單位向上6個單位得到點B，同樣，點M（P）向右8個單位向上6個單位得到點P（M），且AB＝BP（AB＝BM），則或，解得或或（不合題意的值已舍去）；故點P的坐標為（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）；②當AB是對角線時，由中點坐標公式和AM＝BM得：，解得，故點P的坐標為（﹣7，7）；綜上，點P的坐標為（﹣8，7）或（﹣﹣8，﹣7）或（6，﹣2）或（﹣7，7）．7．如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象與x軸交于點A（﹣4，0），與y軸交于點B，且與正比例函數y＝x的圖象交于點C（m，6）．（1）求一次函數的解析式；（2）求△BOC的面積；（3）在x軸上是否存在一點P，使得△ABP是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵將點C（m，6）代入y＝x，∴6＝m，∴m＝4，∴C（4，6），設一次函數的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x+3；（2）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3，∴B（0，3），∴S△BOC＝OB?|xC|＝×3×4＝6；（3）在x軸上存在一點P，使得△ABP是等腰三角形，理由如下：∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝5，OA＝4，當B為等腰三角形頂角頂點時，P點與A點關于y軸對稱，∴P（4，0）；當A為等腰三角形頂角頂點時，AP＝AB＝5，∴P（﹣9，0）或P（1，0）；當P為等腰三角形頂角頂點時，設P（t，0），∵PA＝PB，∴（t+4）2＝t2+9，解得t＝﹣，∴P（﹣，0），綜上所述：P點坐標為（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．8．如圖，已知一次函數y＝x+m的圖象與x軸交于點A（﹣6，0），交y軸于點B．（1）求m的值與點B的坐標（2）問在x軸上是否存在點C，使得△ABC的面積為16？若存在，求出點C的坐標；若不存在，說明理由．（3）問在x軸是否存在點P，使得△ABP為等腰三角形，求出點P坐標．（4）一條經過點D（0，2）和直線AB上的一點的直線將△AOB分成面積相等的兩部分，請求出這條直線的函數表達式．解：（1）把點A（﹣6，0）代入y＝x+m，得m＝8，∴點B坐標為（0，8）．（2）存在，設點C坐標為（a，0），由題意?|a+6|?8＝16，解得a＝﹣2或﹣10，∴點C坐標（﹣2，0）或（﹣10，0）．（3）如圖1中，①當AB＝AP時，AP＝AB＝＝10，可得P1（﹣16，0），P2（4，0）．②當BA＝BP時，OA＝OP，可得P3（6，0）．③當PA＝PB時，∵線段AB的垂直平分線為y＝﹣x+，可得P4（，0），綜上所述，滿足條件的點P坐標為（﹣16，0）或（4，0）或（6，0）或（，0）．（4）如圖2中，設過點D的直線交AB于E，設E（b，），由題意BD?（﹣b）＝××6×8，∴b＝﹣4，∴點E坐標（﹣4，），設直線DE的解析式為y＝kx+b則有，解得，∴這條直線的函數表達式y＝﹣x+2．9．在平面直角坐標系中，一次函數y＝﹣x+2的圖象交x軸、y軸分別于A、B兩點，交直線y＝kx于P（2，a）．（1）求點A、B的坐標；（2）若Q為x軸上一動點，△APQ為等腰三角形，直接寫出Q點坐標；（3）點C在直線AB上，過C作CE⊥x軸于E，交直線OP于D，我們規定若C，D，E中恰好有一點是其他兩點所連線段的中點，則稱C，D，E三點為“和諧點”，求出C，D，E三點為“和諧點”時C點的坐標．解：（1）當x＝0時，y＝﹣x+2＝2，∴點B的坐標為（0，2）；當y＝0時，有﹣x+2＝0，解得：x＝4，∴點A的坐標為（4，0）；（2）∵一次函數y＝﹣x+2的圖象交直線y＝kx于P（2，a）．∴a＝﹣×2+2＝1，∴點P的坐標為（2，1），設點Q（m，0），而點A、P的坐標分別為：（4，0）、（2，1），則AP＝＝，AQ＝|4﹣m|，PQ＝，當AP＝AQ時，則＝|4﹣m|，解得m＝4±，∴點Q（4±，0）；當AP＝PQ時，＝，解得m＝0或4（舍去），∴點Q（0，0）；當PQ＝AQ時，即＝|4﹣m|，解得：m＝，∴點Q（，0）；綜上，點Q的坐標為（4±，0）或（0，0）或（，0）；（3）∵y＝kx過P（2，1）．∴2k＝1，解得k＝，∴y＝x，設點C的坐標為（n，﹣n+2），則點D的坐標為（n，n），點E的坐標為（n，0），∴CD＝|﹣n+2﹣n|＝|2﹣n|，DE＝|n|，CE＝|﹣n+2|＝|n﹣2|，當D為CE的中點時，CD＝DE，∴|2﹣n|＝|n|，解得n＝或4（舍去），∴點C的坐標為（，）；當C為DE的中點時，CD＝CE，∴|2﹣n|＝|n﹣2|，解得n＝或0（舍去），∴點C的坐標為（，）；當E為CD的中點時，DE＝CE，∴|n|＝|n﹣2|，無解；綜上，C，D，E三點為“和諧點”時C點的坐標為（，）或（，）．10．如圖所示，直線l：y＝﹣x+2與x軸、y軸分別交于A、B兩點，在y軸上有一點C（0，4）．（1）求△AOB的面積；（2）動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動，求△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數關系式；（3）當動點M在x軸上移動的過程中，在平面直角坐標系中是否存在點N，使以點A，C，N，M為頂點的四邊形為菱形，若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）令y＝0，，解得x＝．令x＝0，y＝．∴A（，0），B（0，）．＝．∴△AOB的面積為12．（2）∵動點M從A點以每秒1個單位的速度沿x軸向左移動，∴AM＝t．當0≤t≤時，OM＝，OC＝．∴＝＝．當t＞時，OM＝t﹣．∴＝＝．綜上，△COM的面積S與M的移動時間t之間的函數關系式：S＝．（3）在平面直角坐標系中存在點N，使以點A，C，N，M為頂點的四邊形為菱形．①當AC，AM為菱形的邊時，情況一：如圖1，當點M在點A的左側時，Rt△AOC中，＝，∴NC＝AC＝．∵NC∥AM，∴點N（，）．情況二，如圖1′，當點M在點A的右側時，由情況一同理可得點N的坐標為．②當AC為菱形的對角線時，如圖2，此時M，O重合，四邊形OANC為正方形，則點N（，）．③如圖3，當AC為菱形的邊，AM為菱形的對角線時，此時點C，N關于x軸對稱，∴點N（0，﹣）．綜上，在平面直角坐標系中存在點N，使以點A，C，N，M為頂點的四邊形為菱形，此時點N的坐標為：（，），，（，），（0，﹣）．11．如圖，直線y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于A、B兩點，直線BC與x軸、y軸分別交于C、B兩點，連接BC，且OC＝OB．（1）求點A的坐標及直線BC的函數關系式；（2）點M在x軸上，連接MB，當∠MBA+∠CBO＝45°時，求點M的坐標；（3）若點P在x軸上，平面內是否存在點Q，使點B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）對于直線y＝﹣x+4，令x＝0的y＝4，令y＝0得x＝4，∴A（4，0），B（0，4），∴OB＝OA＝4，∵OC＝OB，∴OC＝3，∴C（﹣3，0），設直線BC的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴直線BC的解析式為y＝x+4．（2）如圖1中，當點M在點A的左邊時，∵OB＝OA＝4，∠AOB＝90°，∴∠ABO＝45°，∴∠CBO+∠MBA＝∠MBA+∠MBO＝45°，∴∠CBO＝∠OBM，∵∠CBO+∠BCO＝90°，∠BMO+∠OBM＝90°，∴∠BCO＝∠BMO，∴BC＝BM，OC＝OM＝3，∴M（3，0），作點M關于直線AB的對稱點N，作直線BN交x軸于M1，則∠M1BA＝∠MBA，點M1滿足條件．∵N（4，1），B（0，4），∴直線BN的解析式為y＝﹣x+4，令y＝0，得x＝，∴M1（，0），綜上所述，滿足條件的點M的坐標為（3，0）或（，0）．（3）如圖2中，∵BC＝＝5，當BC為菱形的邊時，四邊形CP1Q1B，四邊形CP3Q3B，四邊形BCQ2P2是菱形，此時Q1（﹣5，4），Q3（5，4），Q2（0，4），當BC是菱形的對角線時，四邊形CP4BQ4是菱形，可得Q4（﹣，4）．綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（﹣5，4）或（5，4）或（0，﹣4）或．12．已知，一次函數y＝的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，與直線y＝相交于點C．過點B作x軸的平行線l．點P是直線l上的一個動點．（1）求點A，點B的坐標．（2）求點C到直線l的距離．（3）若S△AOC＝S△BCP，求點P的坐標．（4）若點E是直線y＝上的一個動點，當△APE是以AP為直角邊的等腰直角三角形時，請直接寫出點E的坐標．解：（1）∵一次函數y＝的圖象與x軸、y軸分別交于點A、點B，∴令y＝0，則＝0，∴x＝8，令x＝0，則y＝6，∴點A、B的坐標分別為：（8，0）、（0，6）；（2）解：得，，∴點C（3，），則C到直線l的距離為6﹣＝；（3）∵S△AOC＝×8×＝15＝S△BCP＝×BP×（yP﹣yC）＝BP×，解得：BP＝，故點P（，6）或（﹣，6）；（4）設點E（m，m）、點P（n，6）；①當∠EPA＝90°時，當點P在y軸右側時，當點P在點E的左側時，如圖1，∵∠MEP+∠MPE＝90°，∠MPE+∠NPA＝90°，∴∠MEP＝∠NPA，AP＝PE，∵△EMP≌△PNA（AAS），則ME＝PN＝6，MP＝AN，即m﹣n＝6，m﹣6＝8﹣n，解得：m＝，當點P在點E的右側時，如圖，同理可得m＝16，當∠EAP＝90°時，當點P在y軸左側時，如圖2，同理可得：m﹣8＝6，m＝8﹣n，解得：m＝14，故點E（14，）；故點E（，）或（14，）或（16，20）；如圖3，同理可得：△AMP≌△ANE（AAS），故MP＝EN，AM＝AN＝6，即m＝n﹣8，|8﹣m|＝6，解得：m＝2或14（不合題意舍去），故點E（2，）；綜上，E（，）或（16，20）或（2，）或（14，）．13．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y＝﹣x+與y＝x相交于點A，與x軸交于點B．（1）求點A，B的坐標；（2）在平面直角坐標系xOy中，是否存在一點C，使得以O，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，試求出所有符合條件的點C的坐標；如果不存在，請說明理由；（3）在直線OA上，是否存在一點D，使得△DOB是等腰三角形？如果存在，試求出所有符合條件的點D的坐標，如果不存在，請說明理由．解：（1）∵直線y＝﹣x+與y＝x相交于點A，∴聯立得，解得，∴點A（1，1），∵直線y＝﹣x+與x軸交于點B，∴令y＝0，得﹣x+＝0，解得x＝3，∴B（3，0），（2）存在一點C，使得以O，A，B，C為頂點的四邊形是平行四邊形．①如圖1，過點A作平行于x軸的直線，過點O作平行于AB的直線，兩直線交于點C，∵AC∥x軸，OC∥AB，∴四邊形CABO是平行四邊形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（﹣2，1），②如圖2，過點A作平行于x軸的直線，過點B作平行于AO的直線，兩直線交于點C，∵AC∥x軸，BC∥AO，∴四邊形CAOB是平行四邊形，∵A（1，1），B（3，0），∴AC＝OB＝3，∴C（4，1），③如圖3，過點O作平行于AB軸的直線，過點B作平行于AO的直線，兩直線交于點C，∵OC∥AB，BC∥AO，∴四邊形CBAO是平行四邊形，∵A（1，1），B（3，0），∴AO＝BC，OC＝AB，作AE⊥OB，CF⊥OB，易得OE＝EF＝FB＝1，∴C（2，﹣1），（3）在直線OA上，存在一點D，使得△DOB是等腰三角形，①如圖4，當OB＝OD時，作DE⊥x軸，交x軸于點E∵OB＝3，點D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（﹣，﹣），②如圖5，當OD＝OB時，作DE⊥x軸，交x軸于點E∵OB＝3，點D在OA上，∠DOE＝45°∴DE＝OE＝，∴D（，），③如圖6，當OB＝DB時，∵∠AOB＝∠ODB＝45°，∴DB⊥OB，∵OB＝3，∴D（3，3），④如圖7，當DO＝DB時，作DE⊥x軸，交x軸于點E∵∠AOB＝∠OBD＝45°，∴OD⊥DB，∵OB＝3，∴OE＝，AE＝，∴D（，）．綜上所述，在直線OA上，存在點D（﹣，﹣），D（，），D（3，3）或D（，），使得△DOB是等腰三角形，14．如圖，經過點B（0，2）的直線y＝kx+b與x軸交于點C，與正比例函數y＝ax的圖象交于點A（﹣1，3）（1）求直線AB的函數的表達式；（2）直接寫出不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；（3）求△AOC的面積；（4）點P是直線AB上的一點，且知△OCP是等腰三角形，寫出所有符合條件的點P的坐標．解：（1）依題意得：，解得，∴所求的一次函數的解析式是y＝﹣x+2．（2）觀察圖形可知：不等式（kx+b）﹣ax＜0的解集；x＜﹣1．（3）對于y＝﹣x+2，令y＝0，得x＝2∴C（1，0），∴OC＝2．∴S△AOC＝×2×3＝3．（4）①當點P與B重合時，OP1＝OC，此時P1（0，2）；②當PO＝PC時，此時P2在線段OC的垂直平分線上，P2（1，1）；③當PC＝OC＝2時，設P（m．﹣m+2），∴（m﹣2）2+（﹣m+2）2＝4，∴m＝2±，可得P3（2﹣，），P4（2+，﹣），綜上所述，滿足條件的點P坐標為：（1，1）或（0，2）或P（2+，﹣）或（2﹣，）．15．如圖1，已知直線l1：y＝kx+4交x軸于A（4，0），交y軸于B．（1）直接寫出k的值為﹣1；（2）如圖2，C為x軸負半軸上一點，過C點的直線l2：經過AB的中點P，點Q（t，0）為x軸上一動點，過Q作QM⊥x軸分別交直線l1、l2于M、N，且MN＝2MQ，求t的值；（3）如圖3，已知點M（﹣1，0），點N（5m，3m+2）為直線AB右側一點，且滿足∠OBM＝∠ABN，求點N坐標．解：（1）把A（4，0）代入y＝kx+4，得0＝4k+4．解得k＝﹣1．故答案是：﹣1；（2）∵在直線y＝﹣x+4中，令x＝0，得y＝4，∴B（0，4），∵A（4，0），∴線段AB的中點P的坐標為（2，2），代入，得n＝1，∴直線l2為，∵QM⊥x軸分別交直線l1、l2于M、N，Q（t，0），∴M（t，﹣t+4），，∴，MQ＝|﹣t+4|＝|t﹣4|，∵MN＝2MQ，∴，分情況討論：①當t≥4時，，解得：t＝10．②當2≤t＜4時，，解得：．③當t＜2時，，解得：t＝10＞2，舍去．綜上所述：或t＝10．（3）在x軸上取一點P（1，0），連接BP，作PQ⊥PB交直線BN于Q，作QR⊥x軸于R，∴∠BOP＝∠BPQ＝∠PRQ＝90°，∴∠BPO＝∠PQR，∵OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵M（﹣1，0），∴OP＝OM＝1，∴BP＝BM，∴∠OBP＝∠OBM＝∠ABN，∴∠PBQ＝∠OBA＝45°，∴PB＝PQ，∴△OBP≌△RPQ（AAS），∴RQ＝OP＝1，PR＝OB＝4，∴OR＝5，∴Q（5，1），∴直線BN的解析式為，將N（5m，3m+2）代入，得3m+2＝﹣×5m+4解得，∴．16．如圖，平面直角坐標系中，直線l分別交x軸、y軸于A、B兩點（OA＜OB）且OA、OB的長分別是一元二次方程x2﹣（+1）x+＝0的兩個根，點C在x軸負半軸上，且AB：AC＝1：2（1）求A、C兩點的坐標；（2）若點M從C點出發，以每秒1個單位的速度沿射線CB運動，連接AM，設△ABM的面積為S，點M的運動時間為t，寫出S關于t的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）點P是y軸上的點，在坐標平面內是否存在點Q，使以A、B、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出Q點的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）x2﹣（+1）x+＝0，（x﹣）（x﹣1）＝0，解得x1＝，x2＝1，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝，∴A（1，0），B（0，），∴AB＝2，又∵AB：AC＝1：2，∴AC＝4，∴C（﹣3，0）；（2）∵AB＝2，AC＝4，BC＝2，∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°，由題意得：CM＝t，CB＝2．①當點M在CB邊上時，S＝2﹣t（0≤t）；②當點M在CB邊的延長線上時，S＝t﹣2（t＞2）；（3）存在．①當AB是菱形的邊時，如圖所示，在菱形AP1Q1B中，Q1O＝AO＝1，所以Q1點的坐標為（﹣1，0），在菱形ABP2Q2中，AQ2＝AB＝2，所以Q2點的坐標為（1，2），在菱形ABP3Q3中，AQ3＝AB＝2，所以Q3點的坐標為（1，﹣2），②當AB為菱形的對角線時，如圖所示的菱形AP4BQ4，設菱形的邊長為x，則在Rt△AP4O中，AP42＝AO2+P4O2，即x2＝12+（﹣x）2，解得x＝，所以Q4（1，）．綜上可得，平面內滿足條件的Q點的坐標為：Q1（﹣1，0），Q2（1，2），Q3（1，﹣2），Q4（1，）．17．如圖1，在平面直角坐標系中．直線與x軸、y軸相交于A、B兩點，動點C在線段OA上，將線段CB繞著點C順時針旋轉90°得到CD，此時點D恰好落在直線AB上時，過點D作DE⊥x軸于點E．（1）求證：△BOC≌△CED；（2）如圖2，將△BCD沿x軸正方向平移得△B'C'D'，當直線B′C′經過點D時，求點D的坐標；（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上．是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標；若不存在，請說明理由．（1）證明：∵∠BOC＝∠BCD＝∠CED＝90°，∴∠OCB+∠DCE＝90°，∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠BCO＝∠CDE，在△BOC和△CED中，，∴△BOC≌△CED（AAS）（2）∵△BOC≌△CED，∴BO＝CE＝3，設OC＝ED＝m，∴D（m+3，m），將D（m+3，m）代入直線，∴m＝1，∴D（4，1），（3）解：當CD為平行四邊形的邊時，如圖：當CD∥P1Q1時，此時P1的橫坐標為0，∴Q1的橫坐標為3，∴y＝，∴，當CD∥P2Q2時，由D平移到P2，水平向左平移4個單位，∴將C水平向左平移4個單位得Q2的橫坐標為﹣3，∴y＝，∴，當CD為平行四邊形的對角線時，如圖：由P3平移到C可知，水平向右平移1個單位，∴Q3的橫坐標為5，∴，綜上：Q（）或Q（）或Q（5，）18．如圖，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝﹣x+4與x軸、y軸分別交于點A、B，點C在y軸的負半軸上，若將△CAB沿直線AC折疊，點B恰好落在x軸正半軸上的點D處．（1）點A的坐標是（3，0），點B的坐標是（0，4），AB的長為5；（2）求點C的坐標；（3）點M是y軸上一動點，若S△MAB＝S△OCD，直接寫出點M的坐標．（4）在第一象限內是否存在點P，使△PAB為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）令x＝0得：y＝4，∴B（0，4）．∴OB＝4令y＝0得：0＝﹣x+4，解得：x＝3，∴A（3，0）．∴OA＝3．在Rt△OAB中，AB＝＝5．故答案為：（3，0），（0，4），5；（2）由折疊的性質可知BC＝CD，AB＝AD＝5，∴OD＝OA+AD＝8，設OC＝x，則CD＝CB＝x+4，在Rt△OCD中，CD2＝OC2+OD2，∴（x+4）2＝x2+82，解得：x＝6，∴OC＝6，∴C（0，﹣6）；（3）∵S△OCD＝×6×8＝24，S△MAB＝S△OCD，∴S△MAB＝×24＝8，設點M的坐標為（0，y），∴S△MAB＝×3×|4﹣y|＝8，解得：y＝或y＝﹣，∴點M的坐標為（0，）或（0，﹣）；（4）存在，理由如下：①若∠BAP＝90°，AB＝AP，如圖，過點P作PG⊥OA交A于點G，∵∠BAP＝90°，AB＝AP，∴∠OAB+∠PAG＝90°，∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAG＝∠OBA，∵∠AOB＝∠PGA＝90°，AB＝AP，∴△AOB≌△PGA（AAS），∴OB＝AG＝4．OA＝PG＝3，∴OG＝OA+AG＝7．∴此時點P的坐標為（7，3）；②若∠ABP＝90°，AB＝BP，如圖，過點P作PH⊥OB交OB點H，同理可得，此時點P的坐標為（4，7）；③若∠APB＝90°，BP＝AP，如圖，過點P作PM⊥OA交OA于點M，PN⊥OB交OB于點N，∵∠BPA＝90°，∴∠BPN+∠NPA＝90°，∵∠NPA+∠APM＝90°，∴∠BPN＝∠APM，∴△BPN≌△APM（AAS），∴PN＝PM，BN＝AM，設點P的坐標為（a，a），∴4﹣a＝a﹣3，解得：a＝，∴此時點P的坐標為（，），綜上所述，點P的坐標為（7，3）或（4，7）或（，）．19．如圖，直角坐標系中，直線y＝kx+b分別與x軸、y軸交于點A（3，0），點B（0，﹣4），過D（0，8）作平行x軸的直線CD，交AB于點C，點E（0，m）在線段OD上，延長CE交x軸于點F，點G在x軸正半軸上，且AG＝AF．（1）求直線AB的函數表達式．（2）當點E恰好是OD中點時，求△ACG的面積．（3）是否存在m，使得△FCG是直角三角形？若存在，直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．解：（1）將點A、B的坐標代入函數表達式：y＝kx+b并解得：k＝，b＝﹣4，故直線的表達式為：；（2）當y＝8時，解得x＝9，∴點C的坐標為（9，8），∴CD＝9，∵E是OD中點，∴DE＝OE，則△EDC≌△EOF（AAS），∴OF＝CD＝9，∴AG＝AF＝OF+OA＝12，過點C作CH⊥x軸于點H，∴；（3）①當∠FCG＝90°時，AG＝AF，則AC是中線，則AF＝AC＝＝10，故點F（﹣7，0），由點C、F的坐標可得：直線CF的表達式為：y＝（x+7），故點E（0，），則m＝；②當∠CGF＝90°時，則點G（9，0），則AF＝AG＝6，故點F（﹣3，0），同理直線CF的表達式為：y＝（x+3），故m＝2；綜上，m＝或2．20．如圖直線l：y＝kx+6與x軸、y軸分別交于點B、C兩點，點B的坐標是（﹣8，0），點A的坐標為（﹣6，0）．（1）求k的值．（2）若點P是直線l在第二象限內一個動點，當點P運動到什么位置時，△PAC的面積為3，求出此時直線AP的解析式．（3）在x軸上是否存在一點M，使得△BCM為等腰三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．解：（1）∵直線l：y＝kx+6過點B（﹣8，0），∴0＝﹣8k+6，∴k＝．（2）當x＝0時，y＝x+6＝6，∴點C的坐標為（0，6）．依照題意畫出圖形，如圖1所示，設點P的坐標為（x，x+6），∴S△PAC＝S△BOC﹣S△BAP﹣S△AOC，＝×8×6﹣×2（x+6）﹣×6×6，＝﹣x＝3，∴x＝﹣4，∴點P的坐標為（﹣4，3）．設此時直線AP的解析式為y＝ax+b（a≠0），將A（﹣6，0），P（﹣4，3）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴當點P的坐標為（﹣4，3）時，△PAC的面積為3，此時直線AP的解析式為y＝x+9．（3）在Rt△BOC中，OB＝8，OC＝6，∴BC＝＝10．分三種情況考慮（如圖2所示）：①當CB＝CM時，OM1＝OB＝8，∴點M1的坐標為（8，0）；②當BC＝BM時，BM2＝BM3＝BC＝10，∵點B的坐標為（﹣8，0），∴點M2的坐標為（2，0），點M3的坐標為（﹣18，0）；③當MB＝MC時，設OM＝t，則M4B＝M4C＝8﹣t，∴CM42＝OM42+OC2，即（8﹣t）2＝t2+62，解得：t＝，∴點M4的坐標為（﹣，0）．綜上所述