4.1指數第1課時根式學習任務核心素養1．理解n次方根及根式的概念，駕馭根式的性質．(重點)2．能利用根式的性質對根式進行運算．(重點、難點、易錯點)1．通過學習n次方根、根式，培育數學抽象素養．2．借助根式的性質對根式進行運算，培育數學運算素養.公元前五世紀，古希臘有一個數學學派名叫畢達哥拉斯學派，其學派中的一個成員希伯索斯思索了一個問題：邊長為1的正方形的對角線長度是多少呢？他發覺這一長度既不能用整數表示，也不能用分數來表示，希伯索斯的發覺使數學史上第一個無理數eq\r(2)誕生了．問題：若x2＝3，則這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？如何表示？學問點1根式及相關概念(1)a的n次方根定義假如xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.(2)a的n次方根的表示n的奇偶性a的n次方根的表示符號a的取值范圍n為奇數eq\r(n,a)Rn為偶數±eq\r(n,a)[0，＋∞)(3)根式式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．1.依據n次方根的定義，當n為奇數時，是否對隨意實數a都存在n次方根？n為偶數呢？[提示]當n為奇數時，對隨意實數a，都存在n次方根，可表示為eq\r(n,a)，但當n為偶數時不是，因為當a<0時，a沒有n次方根；當a≥0時，a才有n次方根，可表示為±eq\r(n,a).1.(1)27的立方根是________；(2)已知x6＝2021，則x＝________；(3)若eq\r(4,x＋3)有意義，則實數x的取值范圍為________．(1)3(2)±eq\r(6,2021)(3)[－3，＋∞)[(1)27的立方根是3.(2)因為x6＝2021，所以x＝±eq\r(6,2021).(3)要使eq\r(4,x＋3)有意義，則須要x＋3≥0，即x≥－3.所以實數x的取值范圍是[－3，＋∞)．]學問點2根式的性質(n>1，且n∈N*)(1)n為奇數時，eq\r(n,an)＝a.(2)n為偶數時，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0.))(3)eq\r(n,0)＝0.(4)負數沒有偶次方根．2.(eq\r(n,a))n中實數a的取值范圍是隨意實數嗎？[提示]不肯定，當n為大于1的奇數時，a∈R；當n為大于1的偶數時，a≥0.2.思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)實數a的奇次方根只有一個．()(2)當n∈N*時，(eq\r(n,－2))n＝－2.()(3)eq\r(π－42)＝π－4.()[答案](1)√(2)×(3)×3.(1)eq\r(3,－83)＝________；(2)eq\r(4,3－π4)＝________.(1)－8(2)π－3[(1)eq\r(3,－83)＝－8；(2)eq\r(4,3－π4)＝|3－π|＝π－3.]類型1由根式的意義求取值范圍【例1】寫出訪下列各式成立的實數x的取值范圍．(1)eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x－3)))3)＝eq\f(1,x－3)；(2)eq\r(x－5x2－25)＝(5－x)eq\r(x＋5).[解](1)∵x－3≠0，∴x≠3.即實數x的取值范圍為{x|x≠3}．(2)由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋5≥0,x－5≤0，))∴－5≤x≤5，∴實數x的取值范圍為{x|－5≤x≤5}．對于eq\r(n,a)，當n為偶數時應留意兩點(1)只有a≥0才有意義．(2)只要eq\r(n,a)有意義，則必有eq\r(n,a)≥0.eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．若eq\r(6,9a2－6a＋1)＝eq\r(3,1－3a)，則實數a的取值范圍是________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,3)))[因為eq\r(6,9a2－6a＋1)＝eq\r(6,3a－12)＝eq\r(3,\a\vs4\al(|3a－1|))＝eq\r(3,1－3a)，∴1－3a≥0，∴a≤eq\f(1,3).]類型2利用根式的性質化簡求值【例2】(對接教材P105例題)化簡下列各式：(1)eq\r(5,－25)＋(eq\r(5,－2))5；(2)eq\r(6,－26)＋(eq\r(6,2))6；(3)eq\r(4,x＋24).[解](1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.(3)原式＝|x＋2|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，x≥－2，,－x－2，x<－2.))正確區分eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意義，依據n的奇偶性可知a的范圍．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全體實數，eq\r(n,an)的值取決于n的奇偶性．eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．化簡下列各式：(1)eq\r(4,3a－34)(a≤1)；(2)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,1－a4).[解](1)∵a≤1，∴3a－3≤∴eq\r(4,3a－34)＝|3a－3|＝3－3a.(2)eq\r(3,a3)＋eq\r(4,1－a4)＝a＋|1－a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，a≤1，,2a－1，a>1.))類型3有限制條件的根式的化簡【例3】(1)若x<0，則x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝________.(2)若－3<x<3，求eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)的值．(1)－1[∵x<0，∴|x|＝－x，eq\r(x2)＝|x|＝－x，∴x＋|x|＋eq\f(\r(x2),x)＝x－x－1＝－1.](2)[解]eq\r(x2－2x＋1)－eq\r(x2＋6x＋9)＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|，當－3<x≤1時，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.當1<x<3時，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.綜上，原式＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x－2，－3<x≤1，,－4，1<x<3.))將本例(2)的條件“－3<x<3”改為“x≤－3[解]原式＝eq\r(x－12)－eq\r(x＋32)＝|x－1|－|x＋3|.因為x≤－3，所以x－1<0，x＋3≤0，所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.有條件根式的化簡(1)有條件根式的化簡問題，是指被開方數或被開方的表達式可以通過配方、拆分等方式進行化簡．(2)有條件根式的化簡常常用到配方的方法．當根指數為偶數時，在利用公式化簡時，要考慮被開方數或被開方的表達式的正負．eq\a\vs4\al([跟進訓練])3．已知－1<x<2，化簡eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1).[解]∵－1<x<2，∴x－2<0，x＋1>0，∴eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2＋2x＋1)＝|x－2|－|x＋1|＝2－x－(x＋1)＝1－2x.1．(多選)已知a∈R，n∈N*，給出下列4個式子，其中有意義的是()A.eq\r(4,－22n) B．eq\r(3,－22n＋1)C.eq\r(4,－22n) D．eq\r(3,－a2)BCD[結合根式的定義可知BCD均有意義，故選BCD.]2．已知m10＝2，則m等于()A.eq\r(10,2) B．－eq\r(10,2)C.eq\r(210) D．±eq\r(10,2)D[∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶數，∴2的10次方根有兩個，且互為相反數．∴m＝±eq\r(10,2).]3．(eq\r(4,2))4運算的結果是()A．2 B．－2C．±2 D．不確定[答案]A4．若x3＝－5，則x＝________.－eq\r(3,5)[若x3＝－5，則x＝eq\r(3,－5)＝－eq\r(3,5).]5.eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝________.1[eq\r(π－42)＋eq\r(3,π－33)＝4－π＋π－3＝1.]回顧本節學問，自我完成以下問題：1．若xn＝a，則x的值有幾個，如何表示？[提示]當n為奇數時，若xn＝a，則x＝e