第09講：《無窮小與無窮大、曲線的漸近線》內容小結、課件與典型例題與練習18世紀，微積分在生產和實踐上都有了廣泛而成功的應用，大部分數學家對這一理論的可靠性是毫不懷疑的。但是牛頓的無窮小量的數學推導過程在邏輯上自相矛盾，這種邏輯上的混亂受到了尖銳的批評。盡管微積分初期存在邏輯上的混亂，但這并不影響牛頓作為微積分發明人的重要地位與巨大貢獻。當然隨著嚴格的極限理論建立，使微積分擁有了嚴密的基礎，第二次數學危機也成功化解。無窮小是微積分的基礎概念之一牛頓在引入無窮小的概念時，并未說明它是零還是非零，導致了矛盾。無窮小的爭議引發了數學史上的第二次危機19世紀柯西指出無窮小是使一個要多小就有多小的變量，基本解決了第二次數學危機一、無窮小及其基本性質1、無窮小(量)是自變量的某個變化過程中極限為0的函數2、除0外，其他任何常值函數都不是無窮小量3、函數，函數極限與無窮小的關系：其中.【注】這個性質給出了極限式中的抽象函數的一種相對具體的描述形式，借助f(x)的這種描述形式，使得與之相關問題的解決更加直觀、有效！同時，看到一個函數極限存在的條件，要記得極限式可以寫成以上描述形式，為問題解決提供一種可能的探索思路或方向.4、有限個無窮小的和與有限個無窮小的積仍然是無窮小【注】無限個結果就不一定成立5、有界函數與無窮小的乘積仍然是無窮小二、無窮大及其基本性質1、無窮大是自變量的某個變化過程中函數值整體無限增大！2、無窮大分為正無窮大與負無窮大，一般用前面帶正負號標記區別+∞，-∞。如果函數值在某個變化過程中即趨于正無窮大，也趨于負無窮大，比如1/x在x→0時，兩側同時趨于無窮大，只不過左側趨于負無窮大，右側趨于正無窮大，則一般記作∞.3、驗證一個函數是某個自變量變化過程中的無窮大最有效的方式是驗證它的倒數為該自變量變化過程中的無窮小量，即極限等于04、某變量變化過程的無窮大與有界函數之和仍是該過程的無窮大5、某變量變化過程的無窮大與該過程極限值為非零值的函數的乘積仍是該過程的無窮大6、無窮大與無界函數的區別與判定思路與方法如果有一個子變化過程，使得函數值趨于某個確定的值，則該函數不是該變化過程中的無窮大如果有一個變量的子變化過程，使得函數值趨于無窮大，則該函數是無界函數如果函數是某個自變量變化過程的無窮大，則它一定無界；無界函數不一定自變量的變化過程使得函數值趨于無窮大三、無窮小的比較高階無窮小、低階無窮小、同階無窮小、等價無窮小、k階無窮小【注】定義、判定見后面列出的課件.

四、等價無窮小計算極限應用注意事項【注1】兩個無窮小之比求極限時，分子、分母整體都可用等價無窮小來代替。

【注2】用等價無窮小替換計算極限的過程一般適用于相乘、相除因式整體用等價無窮小替換（因式替換原則）；一般兩個等價無窮小相減，一個或兩個都不能替換；非等價無窮小相減，或等價無窮小相加一般可以替換（加減替換原則）；兩個無窮小的加減項表達式整體等價于低階無窮小（和差取大原則）。【注3】記住常用的幾個等價無窮小（參見課件）五、函數描述的曲線漸近線求解步驟定義

設有一定直線L，當曲線C上一動點遠離原點時，曲線C與直線L的距離趨于零，則稱直線L為曲線C的漸近線。從曲線漸近線描述性定義來看，其關鍵點在于兩個因素：一是曲線上動點遠離原點，二是此時曲線與定直線的距離趨于零。曲線遠離原點可以用因變量趨于無窮（此時自變量趨于某個固定的常數）或者自變量趨于無窮來刻畫，相應得到曲線的鉛直漸近線，或斜漸近線、水平漸近線。

●

水平漸近線一個函數f(x)的水平漸近線可能的條數為：0，1，2條數為0：以上兩個極限都不存在，比如f(x)=x；條數為1：以上兩個極限有一個存在，或者兩個都存在，但是極限值相等，比如f(x)=1/x；條數為2：以上兩個極限都存在，并且極限值不相等，比如f(x)=arctanx；函數f(x)描述的曲線的水平漸近線為函數值等于極限值的常值函數對應的水平直線。

●鉛直漸近線一個函數f(x)的鉛直漸近線可能的條數為：0，1，2，…無數條如果在函數f(x)的定義域上（包括沒有定義的定義區間端點），對于其中的xk，上面的左右極限只要有一個極限趨于正無窮大，或者負無窮大，則x=xk對應的鉛直線就為函數f(x)描述的曲線的鉛直漸近線。

●斜漸近線一個函數f(x)的斜漸近線可能的條數為：0，1，2如果以上k值不等于0，且不相等，則有2條；如果僅有一個存在且不等于0，則只有1條；如果兩個都等于0，或者極限都不存在，則0條.

如果有斜漸近線，則對應的斜漸近線方程為y=kx+b。

【注1】當k=0，則曲線有相應方向的水平漸近線y=b.即曲線的水平漸近線、