4.3指數、對數函數的應用【教學目標】1.能夠運用指數函數、對數函數知識解決某些簡單的實際應用問題．2.通過聯系實際的引入問題和解決帶有實際意義的某些問題，培養學生分析問題，解決問題的能力和運用數學的意識，也體現了指數函數、對數函數知識的應用價值．3.通過對實際問題的研究解決，滲透了數學建模的思想，提高學生學習數學的興趣．【教學重點】通過指數、對數函數的應用，培養學生分析、解決問題的能力和運用數學的意識．【教學難點】根據實際問題建立相應的指數函數和對數函數模型．【教學方法】這節課主要采用問題解決法和分組合作的教學方法．在教學過程中，從學生身邊的實例開始，引起學生的興趣，體會所學知識的應用和重要性，提高學生學習數學的興趣，培養學生分析問題和解決問題的能力．通過本節內容讓學生體會指數函數與對數函數是解決有關自然科學領域中實際問題的重要工具，是今后進一步學習的基礎．教師應當結合學生的專業特點，增設有關例題，突出數學為專業課服務的教學理念．【教學過程】環節教學內容師生互動設計意圖導入數學來自生活，又應用于生活和生產實踐．而實際問題中又蘊涵著豐富的數學知識，數學思想與方法．如剛剛學過的指數、對數函數內容在實際生活中就有著廣泛的應用．今天我們就一起來探討幾個應用問題．教師提出本節要解決的問題．引導學生從身邊的、生活中的實際問題出發，發現問題，思考如何解決問題．新課新課新課一、人口統計問題例12008年我國人口總數是億，如果人口的自然年增長率控制在5‰，問哪一年我國人口總數將超過15億？解設x年后人口總數為15億，由題意，得×05)x＝15．即05)x＝EQ\F(15,13.28)．兩邊取對數，得xlg＝lg15－lg，所以x＝EQ\F(lg15－lg13.28,lg1.005)≈．所以25年后，即2033年我國人口總數將達到15億．問題解決后由教師簡單小結一下解答過程中的主要步驟：(1)閱讀理解；(2)建立目標函數；(3)按要求解決數學問題．二、大氣壓問題例2設在離海平面xm處的大氣壓強是ykPa，y與x的函數關系是y＝Cekx，這里C，k都是常量．已知某地某天在海平面與1000m高空的大氣壓強分是101kPa及90kPa，求600m高空的大氣壓強，又求大氣壓強是96kPa處的高度(結果都保留2位有效數字)．解已知y＝Cekx其中C，k是待定的常數．由已知條件，當x＝0時，y＝101；當x＝1000時，y＝90，得方程組EQ\B\LC\{(\A\AL\COL(101＝Cek·0，①,90＝Cek·1000．②))由①得C＝101，代入②得ek·1000＝EQ\F(90,101)≈0.8911，即1000k＝ln0.8911；1000k＝－0.1153．所以k＝－×10－4．所以y與x的函數關系是y＝101e－×10－4x．當x＝600時，得y＝101e－×10－4×600≈94.25，當y＝96時，得96＝101e－×10－4x．－×10－4x＝lnEQ\F(96,101)－×10－4x＝－，所以x＝×EQ\F(104,)≈44．因此，在高600m處，大氣壓強為94.25kPa；在高442.32m處，大氣壓強為96kPa．練習已知某細菌的生長過程滿足函數關系式Q(t)＝Q0ekt，其中t為時間，單位為分鐘，Q為細菌的數量．如果一開始的細菌數量為1000只，而在20分鐘后變為3000只，求一小時后細菌的數量．引導學生閱讀題目，找出關鍵語言，關鍵數據，在教師的引導下，將實際問題通過分析概括，抽象為數學問題．教師幫助學生理解題意，分析題目，首先讓學生搞清自然年增長率的含義，問題可以轉化為“已知年增長率為5‰，利用指數函數求經過幾年我國人口總數將超過14億？”教師分析：這是物理方面內容，首先要利用給出函數關系式，根據已知條件確定參數C，k．本例題要求學生采用小組合作模式解決．學生在教師引導下，自己解答，如有問題先在小組內解決，小組內解決不了的問題，在全班內解決．學生體會自然對數的應用．教師在學生解答完后，選擇有代表性的解答過程，利用實物投影儀將所選解題過程進行投影，教師進行點評．學生結合例題進行練習．體會用數學方法將其化為函數問題(或其它數學問題)并加以解決的策略．讓學生在運算中體會指數函數與對數函數的應用．對解答過程進行總結，以使學生掌握解決實際應用問題的三個步驟．教材中的例2專業性太強，閱讀難度較大，故將例題替換為本例．要求學生解答，教師巡視及時糾正學生出現的問題．讓學生在解答過程中，體會數學建模的一般步驟．學生在解答過程中體會現代計算技術所帶來的方便．加強練習，體會指數函數與對數函數在實際生活等方面的應用．小結指數函數、對數函數、冪函數在社會學、經濟學和物理學等領域中有著廣泛的應用．解決實際問題的步驟：實際問題(讀懂問題、抽象概括)→建立數學模型(演算、推理)→數學模型的解(還原說明)→實際問題的解．其中讀懂問題是指讀出新概念、新字母，讀出相關制約，這是解決問題的基礎；建立數學模型是指在抽象、簡化、明確變量和參數的基礎上建立一個明確的數學關系，這是解決問題的