重難點11解三角形的圖形類問題和重要模型【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩次使用余弦定理】 3【題型2等面積法】 3【題型3解三角形中的中線模型】 4【題型4解三角形中的倍角模型】 5【題型5解三角中的角平分線模型】 6【題型6解三角中的高模型】 8【題型7解三角形中的等分點模型】 9【題型8三角形的重心問題】 10【題型9三角形的外接圓、內切圓問題】 111、解三角形的圖形類問題和重要模型解三角形是高考的熱點內容，是每年高考必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，正、余弦定理解三角形在選擇題、填空題中考查較多，難度較易；解答題中解三角形的圖形類問題和一些重要模型也是考查的重要內容，中等難度，有時也會與三角函數、平面向量等知識綜合考查，解題方法多種多樣，需要靈活求解.【知識點1三角形圖形類問題的解題策略】1．解決三角形圖形類問題的常用方法：(1)兩次使用余弦定理：兩次使用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質和正余弦定理的性質解題；(2)等面積法：等面積法是一種常用的方法，很多數學問題利用等面積法使得問題轉化為更為簡單的問題，相似是三角形中的常用思路；(3)正、余弦定理結合：正弦定理和余弦定理相結合是解三角形問題的常用思路；(4)相似三角形：構造輔助線作出相似三角形，結合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關系的不錯選擇；(5)平面向量：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以將其與余弦定理充分結合到一起；(6)建系：建立平面直角坐標系是解析幾何的思路，利用此方法數形結合充分挖掘幾何性質使得問題更加直觀化.【知識點2解三角形中的重要模型】1.中線模型(1)中線長定理：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，AD是BC邊上的中線，則.(2)向量法：.2.倍角模型，這樣的三角形稱為“倍角三角形”．推論1：；推論2：.3.角平分線模型角平分線張角定理：如圖，為平分線，則斯庫頓定理：如圖，是的角平分線，則，可記憶：中方=上積-下積．4.等分點模型如圖，若在邊上，且滿足，，則延長至，使，連接.易知∥，且，，．【題型1兩次使用余弦定理】【例1】（2024·河南·三模）在△ABC中，AB=32,cos∠BAC=?13,AD⊥AC，且AD交BC于點D，AD=3，則sinC=（

）A．13 B．33 C．63【變式1-1】（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a=3,BC邊上中線AD長為1，則bc最大值為（A．74 B．72 C．3 【變式1-2】（2024·浙江臺州·二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若acosC=2ccosA，則A．3 B．32 C．32【變式1-3】（2024·陜西咸陽·三模）在△ABC中，a、b、c分別為△ABC的內角A、B、C的對邊，M為邊AC上一點，滿足MC=3AM，若a2+c2?b2A．72 B．37 C．37【題型2等面積法】【例2】（2024·海南·模擬預測）在△ABC中，∠ACB的平分線與對邊AB交于點D，若△CAD的面積為△CBD的2倍，且CD=2,∠ACB=120°，則BC=（A．3 B．4 C．6 D．8【變式2-1】（2024·遼寧丹東·二模）在△ABC中，點D在BC邊上，AD平分∠BAC，∠BAC=120°，AB=23，AD=233，則A．2 B．3 C．3 D．2【變式2-2】（2024·湖南長沙·三模）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a=2,b=4.(1)若cosB+2cosA=c(2)若D是邊AB上的一點，且CD平分∠ACB,cos∠ACB=?1【變式2-3】（2024·山東泰安·模擬預測）已知△ABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，b(sinB+sinC)=(1)求A；(2)A的平分線AD交BC于D點，9b+c=64，求AD的最大值．【題型3解三角形中的中線模型】【例3】（2024·全國·模擬預測）記△ABC的內角∠BAC,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c，已知2bcos(1)求∠BAC．(2)若b+c=8，且邊BC上的中線AD=192，求【變式3-1】（2024·湖南長沙·三模）如圖，在△ABC中，已知AB=3,AC=6,A為銳角，BC,AC邊上的兩條中線AM,BN相交于點P,△ABC的面積為93(1)求BC的長度；(2)求∠APB的余弦值.【變式3-2】（2024·陜西西安·三模）在△ABC中,角A,B,C的對邊是a,b,c,已知b1+(1)證明:b=c;(2)若BC邊上的高AD為2,AC邊上的中線BE為27,求△ABC【變式3-3】（2024·新疆烏魯木齊·二模）在△ABC中，點M,N分別為BC,AC的中點，AM與BN交于點G，AM=3,∠MAB=45°．(1)若AC=52，求中線BN(2)若△ABC是銳角三角形，求四邊形GMCN面積的取值范圍．【題型4解三角形中的倍角模型】【例4】（2024·陜西安康·模擬預測）已知銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中a=8，ac=1+sin(1)求證：B=2C；(2)已知點M在線段AC上，且∠ABM=∠CBM，求BM的取值范圍．【變式4-1】（2024·內蒙古·三模）在△ABC中，內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且a?2(1)求ba(2)若B=2C，證明：△ABC為直角三角形.【變式4-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）在銳角△ABC中.內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知a?2ccos(1)求證：B=2C；(2)求sinB+2【變式4-3】（2024·天津河北·二模）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=4,b=3.(1)若cosC=?14，求a(2)在（1）的條件下，求cos2C+(3)若A=2B，求a的值.【題型5解三角中的角平分線模型】【例5】（2024·河北張家口·三模）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D為邊BC上一點，且滿足(AD(1)證明：AD=b；(2)若AD為內角A的平分線，且AD=13【變式5-1】（2024·四川攀枝花·三模）請在①2a?b=2ccosB，②③3sin(A+B)=3?2cos2C(1)求角C；(2)若b=4，點D在邊AB上，CD為∠ACB的平分線，求邊長a的值．【變式5-2】（2024·廣東深圳·模擬預測）已知△ABC中內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足3c+b(1)求角A的大小；(2)若D是邊BC上一點，且AD是角A的角平分線，求BCAD【變式5-3】（2024·山東·模擬預測）從①c+2ab=cosπ?C已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c且______.(1)求角B的大??；(2)若A的角平分線交邊BC于點D，且AD=6，c=2，求邊b注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【題型6解三角中的高模型】【例6】（2024·四川·模擬預測）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且3c(1)求角C的大?。?2)若a=8，△ABC的面積為43，求AB【變式6-1】（2024·福建泉州·模擬預測）設△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且有2bcos(1)求角B：(2)若AC邊上的高?=34b【變式6-2】（2024·河北秦皇島·三模）在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，C=π3且a+b=7，△ABC的外接圓半徑為(1)求△ABC的面積；(2)求△ABC邊AB上的高?.【變式6-3】（2024·全國·模擬預測）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，a=1，sinB+(1)求角A；(2)設AM是△ABC的高，求AM的最大值．【題型7解三角形中的等分點模型】【例7】（23-24高二上·云南·期末）在△ABC中，點D為線段BC的四等分點且靠近點B,∠BAD與∠BAC互補.(1)求ACAD(2)若∠BAD=30°,AB=4【變式7-1】（2023·湖北·模擬預測）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a2(1)判斷△ABC的形狀；(2)已知D為BC上一點，則當A=2π3，a=33，AD=3【變式7-2】（2024·湖南衡陽·模擬預測）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a=b(1)求角B(2)過B作BD⊥BA，交線段AC于D，且AD=2DC，求角C.【變式7-3】（23-24高三上·湖南長沙·期中）設a，b，c分別為△ABC的內角A，B，C的對邊，AD為BC邊上的中線，c＝1，∠BAC=2π3，(1)求AD的長度；(2)若E為AB上靠近B的四等分點，G為△ABC的重心，連接EG并延長與AC交于點F，求AF的長度．【題型8三角形的重心問題】【例8】（2024·江蘇蘇州·二模）記△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知a+bc(1)求角A；(2)若a=6，點M為△ABC的重心，且AM=23，求△ABC【變式8-1】（2023·四川內江·一模）△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，a=6，bsin(1)求角A的大小；(2)M為△ABC的重心，AM的延長線交BC于點D，且AM=23，求△ABC【變式8-2】（2023·江西景德鎮·一模）如圖，已知△ABD的重心為C，△ABC三內角A、B、C的對邊分別為a，b，c.且cos(1)求∠ACB的大小；(2)若∠CAB=π6，求【變式8-3】（2023·廣東佛山·模擬預測）在△ABC中，角A,B,C的對邊為a,b,c,c?sinA=a?cosC，設(1)求角B的大??；(2)若a=3，過△ABC的重心點G的直線l與邊a,c的交點分別為E,F,BC=λBE，BA【題型9三角形的外接圓、內切圓問題】【例9】（2024·云南曲靖·二模）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c，且acos(1)求角B的取值范圍；(2)已知△ABC內切圓的半徑等于32，求△ABC【變式9-1】（2023·河南·模擬預測）已知△ABC的外心為O，點M,N分別在線段AB,AC上，且O恰為MN的中點．(1)若BC=3,OA=1，求(2)證明：AM?MB=AN?NC．【變式9-2】（2024·浙江·模擬預測）如圖，在平面內的四個動點A，B，C，D構成的四邊形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=3，AD=4.(1)求△ACD面積的取值范圍；(2)若四邊形ABCD存在外接圓，求外接圓面積.【變式9-3】（2024·全國·模擬預測）已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，3b?c(1)求角A的大小；(2)若a=7，△ABC外接圓的半徑為R，內切圓半徑為r，求Rr一、單選題1．（2024·貴州六盤水·三模）在△ABC中，AB=2，AC=3，∠A=π3，則A．73 B．213 C．22．（2024·新疆喀什·三模）在△ABC中，AB=2，BC=7，∠BAC=120°，D是BC邊一點，AD是∠BAC的角平分線，則AD=（

A．23 B．1 C．2 D．3．（2024·陜西·模擬預測）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，csinA?sinC=a?bsinA+sinB，若A．33 B．32 C．3 4．（2024·福建福州·模擬預測）在△ABC中，角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c，點M為邊BC的中點，若AM=AC，cos2B=cosA+C，則sinA．33 B．63 C．2175．（2024·山西·三模）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知A=2π3,b2+c2A．2+1 B．23 C．626．（2024·山東泰安·三模）在△ABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，且bsinBsinA?a=c?asinCsinA，延長BC至點A．1 B．3 C．2 D．37．（2024·廣東廣州·模擬預測）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若c=3，b=2，∠BAC的平分線AD的長為465，則BC邊上的中線AH的長等于（A．172 B．423 C．178．（2024·全國·模擬預測）已知在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2sinA=acosC,c=2．若G為△ABC的重心，則A．12?429 B．8+429 C．二、多選題9．（2024·廣西·二模）已知△ABC內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,O為△ABC的重心，cosA=15A．AO=14C．△ABC的面積的最大值為36 D．a的最小值為10．（2024·福建泉州·模擬預測）△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a=2，△ABC的面積S=32ABA．A=30°B．△ABC的周長的最大值為6C．若bc=4，則△ABC為正三角形D．若AB邊上的中線長等于23311．（2024·云南曲靖·模擬預測）在△ABC中，AB=4，AC=6，A=π3，D為邊BC上一動點，則（A．BC=2B．當AD為角A的角平分線時，AD=C．當D為邊BC中點時，AD=3D．若點P為△ABC內任一點，PA?PB三、填空題12．（2024·陜西西安·模擬預測）已知△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,C=135°，且△ABC的外接圓半徑R=1，則△ABC面積的最大值為．13．（202