重難點16數列的綜合應用【十二大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差、等比數列的交匯問題】 3【題型2數列中的數學文化問題】 4【題型3數列的實際應用問題】 5【題型4數列中的不等式恒成立、有解問題】 7【題型5數列中的不等式證明問題】 8【題型6子數列問題】 9【題型7數列與函數的交匯問題】 11【題型8數列與導數的交匯問題】 12【題型9數列與概率統計的交匯問題】 13【題型10數列與平面幾何的交匯問題】 14【題型11數列中的結構不良題】 16【題型12數列的新定義、新情景問題】 171、數列的綜合應用數列是高考的熱點內容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內容之一.從近幾年的高考情況來看，數列的綜合應用問題以及數列與函數、不等式等知識的交匯問題，是歷年高考的熱點內容，以解答題的形式考查，一般圍繞等差數列、等比數列的知識命題，涉及數列的函數性質、通項公式、前n項和公式等.去年高考壓軸題中出現數列的新定義、新情景題，綜合性強，難度大，需要靈活求解.【知識點1等差、等比數列的交匯問題的解題策略】1．等差、等比數列的交匯問題的求解思路：(1)等差與等比數列的基本量間的關系，利用方程思想和通項公式、前n項和公式求解，求解時注意對性質的靈活運用.(2)數列的綜合運算問題常將等差、等比數列結合，兩者相互聯系、相互轉化，解答這類問題的方法：尋找通項公式，利用性質進行轉化.【知識點2數列的數學文化問題】1．數列的數學文化問題的解題步驟：(1)讀懂題意：會脫去數學文化的背景，讀懂題意；(2)構造模型：根據題意，構造等差數列、等比數列或遞推關系式的模型；(3)求解模型：利用數列知識求解數列的基本量、通項公式、前n項和等，解決問題.【知識點3數列的新定義、新情景問題】1．數列的新定義、新情景問題的求解策略(1)新定義問題：遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析，運算，驗證，使得問題得以解決.(2)新情景問題：通過給出一個新的數列的概念，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯系所學的知識和方法，實現信息的遷移，達到靈活解題的目的.【知識點4數列的綜合應用】1．數列與不等式交匯問題的解題策略(1)解決數列與不等式的綜合問題時，若是證明題，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等；若是含參數的不等式恒成立、有解問題，則可分離參數，轉化為研究最值問題來解決.(2)數列與不等式交匯問題的答題模板第一步：根據題目條件，求出數列的通項公式；第二步：根據數列項的特征，選擇合適的方法(公式法、分組轉化法、裂項相消法、錯位相減法等)求和；第三步：利用第二步中所求得的數列的和，證明不等式或求參數的范圍；第四步：反思解題過程，檢驗易錯點，規范解題步驟.2．數列與函數交匯問題的解題策略數列與函數綜合問題的主要類型及解題策略(1)已知函數條件，解決數列問題，此類問題一般利用函數的性質、圖象研究數列問題.(2)已知數列條件，解決函數問題，解決此類問題一般要利用數列的通項公式、前n項和公式、求和方法等對式子化簡變形.注意數列與函數的不同，數列只能看作是自變量為正整數的一類函數，在解決問題時要注意這一特殊性.3．子數列問題的解題策略子數列是數列問題中的一種常見題型，將原數列轉化為子數列問題一般適用于某個數列是由幾個有規律的數列組合而成的，具體求解時，要搞清楚子數列的項在原數列中的位置，以及在子數列中的位置，即項不變化，項數變化，它體現了轉化與化歸以及分類討論、函數與方程的思想，能很好地考查學生的思維.4．數列中結構不良題的解法(1))先定后動，先對題目中確定的條件進行分析推斷，再觀察分析“動”條件，結合題干要求選出最適合自己解答的條件求解.(2)最優法，當題干中確定的條件只有一個時，要根據自己的知識優勢和擅長之處選擇更適合自己的條件進行解答.5．數列的實際應用問題的解題策略(1)數列的實際應用中的常見模型①數列——分期付款模型；②數列——產值增長模型；③數列——其他模型；(2)解決數列的實際應用問題的解題思路①根據題意，分析題干條件，正確確定數列模型；②利用數列知識求出數列的基本量、通項公式等，準確求解模型；③通過數列模型解決問題，注意不要忽視問題的實際意義.【題型1等差、等比數列的交匯問題】【例1】（2024·四川綿陽·三模）已知首項為1的等差數列an滿足：a1,a2,a3+1成等比數列.(1)求數列an(2)若數列bn滿足：a1bn+a2【變式1-1】（2023·全國·模擬預測）已知等差數列an的前n項和為Sn，a1+a2+3(1)求數列an(2)設bn=an?3a【變式1-2】（2024·上海奉賢·二模）已知數列{an}和{bn}，其中bn=2(1)若an=2n，求(2)若{bn}是各項為正的等比數列，Sn=3n【變式1-3】（2024·天津·二模）設an是等差數列，其前n項和Sn，bn是等比數列，且a1=(1)求an與b(2)設cn=anbn,n(3)若對于任意的n∈N*不等式na【題型2數列中的數學文化問題】【例2】（2024·陜西安康·模擬預測）“孫子定理”又稱“中國剩余定理”，最早可見于我國南北朝時期的數學著作《孫子算經》，該定理是中國古代求解一次同余式組的方法，它凝聚著中國古代數學家的智慧，在加密?秘密共享等方面有著重要的應用.已知數列an單調遞增，且由被2除余數為1的所有正整數構成，現將a6,A．1157 B．1177 C．1155 D．1122【變式2-1】（2024·全國·模擬預測）據中國古代數學名著《周髀算經》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b與“弦”c之間的關系為a2+b2=c2（其中a≤b）．當a,b,c∈A．145 B．181 C．221 D．265【變式2-2】（2024·四川·模擬預測）分形幾何學是美籍法國數學家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀70年代創立的一門新學科，它的創立為解決傳統科學領域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照圖①的分形規律生長成一個圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個數是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【變式2-3】（2024·陜西漢中·二模）圖1是第七屆國際數學教育大會（簡稱ICME?7）的會徽圖案，會徽的主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1=AA．n2 B．n2 C．n2【題型3數列的實際應用問題】【例3】（23-24高二下·河南駐馬店·期中）某醫院購買一臺大型醫療機器價格為a萬元，實行分期付款，每期付款b萬元，每期為一個月，共付12次，如果月利率為5‰，每月復利一次，則a，b滿足（

）A．12b=a B．12b=aC．12b=a1+5‰ D．【變式3-1】（2024·山西運城·一模）某工廠加工一種電子零件，去年12月份生產1萬個，產品合格率為87%.為提高產品合格率，工廠進行了設備更新，今年1月份的產量在去年12月的基礎上提高4%，產品合格率比去年12月增加0.4%A．5月份 B．6月份C．7月份 D．8月份【變式3-2】（2023·湖南郴州·三模）“現值”與“終值”是利息計算中的兩個基本概念，掌握好這兩個概念，對于順利解決有關金融中的數學問題以及理解各種不同的算法都是十分有益的.所謂“現值”是指在n期末的金額，把它扣除利息后，折合成現時的值，而“終值”是指n期后的本利和.它們計算的基點分別是存期的起點和終點.例如，在復利計息的情況下，設本金為A，每期利率為r，期數為n，到期末的本利和為S，則S=A(1+r)n其中，S稱為n期末的終值，A稱為n期后終值S的現值，即n期后的S元現在的價值為現有如下問題：小明想買一座公寓有如下兩個方案方案一：一次性付全款25萬元；方案二：分期付款，每年初付款3萬元，第十年年初付完；(1)已知一年期存款的年利率為2.5%(2)若小明把房子租出去，第一年年初需交納租金2萬元，此后每年初漲租金1000元，參照第（1））問中的存款年利率2.5%參考數據：(1+2.5【變式3-3】（2023·廣東佛山·一模）佛山新城文化中心是佛山地標性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最簡單的方塊體作為核心要素，與佛山世紀蓮體育中心的圓形蓮花造型形成“方”“圓”呼應.坊塔是文化中心的標志性建筑、造型獨特、類似一個個方體錯位堆疊，總高度153.6米.坊塔塔樓由底部4個高度相同的方體組成塔基，支托上部5個方體，交錯疊合成一個外形時尚的塔身結構.底部4個方體高度均為33.6米，中間第5個方體也為33.6米高，再往上2個方體均為24米高，最上面的兩個方體均為19.2米高.(1)請根據坊塔方體的高度數據，結合所學數列知識，寫出一個等差數列an(2)佛山世紀蓮體育中心上層屋蓋外徑為310米.根據你得到的等差數列，連續取用該數列前m（m∈N*）項的值作為方體的高度，在保持最小方體高度為19.2米的情況下，采用新的堆疊規則，自下而上依次為2a1、3a2、4a3、……、【題型4數列中的不等式恒成立、有解問題】【例4】（2024·湖南長沙·模擬預測）已知數列an滿足a(1)求數列an(2)已知數列bn滿足b①求數列bn的前n項和T②若不等式?1nλ<Tn+【變式4-1】（2024·廣東廣州·模擬預測）已知數列an的前n項和為Sn，數列Snn是公差為(1)求數列an(2)若存在n∈N*，使得1a【變式4-2】（23-24高二下·湖北·期中）已知數列an的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an?2.數列bn的前(1)求數列an(2)若cn=anbn，設數列cn的前n【變式4-3】（2024·重慶·模擬預測）已知a1=(1)證明：當n≥2時，an+1(2)令bn（i）證明：當n≥2時，1b（ii）是否存在正實數m，使得1bn?n【題型5數列中的不等式證明問題】【例5】（2024·全國·模擬預測）已知數列an的前n項和S(1)求an(2)證明：a1【變式5-1】（2024·河北秦皇島·二模）已知等比數列an的前n項和為Sn，且數列(1)求an(2)若bn=n+2nn+1an+1，數列b【變式5-2】（2024·全國·模擬預測）已知數列an滿足3n?1a(1)求數列an(2)若bn=a【變式5-3】（2024·山東·二模）記Sn為數列an的前n項和，(1)求a3和a(2)設數列1an的前n項和為Tn【題型6子數列問題】【例6】（2024·河南商丘·模擬預測）當i1，i2，?，ik∈N(1)直接給出ik與k(2)是否存在這樣的i1,i2,i3(3)若S=ai1+ai2【變式6-1】（2024·北京西城·二模）已知數列A:a1,a2,?,an，從A中選取第i?1項、第i?2項、…、第i?k項i?1<i?2<?<i?k構成數列B:ai?1,ai?2(1)當n=4時，比較A的具有性質P的子列個數與不具有性質P的子列個數的大小，并說明理由；(2)已知數列A:1?（ⅰ）給定正整數k≤n2，對A的k項子列B，求所有（ⅱ）若A有m個不同的具有性質P的子列B1,B2,?,Bm，滿足：???1≤i<j≤m，B【變式6-2】（23-24高二下·安徽·階段練習）從N?中選取k(k≥3)個不同的數，按照任意順序排列，組成數列an，稱數列an為N?的子數列，當1≤i≤j≤k時，把aj?a(1)若N?的子數列an(1≤n≤k,k≥5)是首項為2，公比為2的等比數列，求N(2)若N?的子數列an是遞增數列，且子二代數列bn共有k?1(3)若k=100，求N?的子二代數列b【變式6-3】（23-24高三上·北京·開學考試）給定正整數k，m，其中2≤m≤k，如果有限數列an同時滿足下列兩個條件，則稱an為(k,m)?數列．記(k,m)?數列的項數的最小值為條件①：an的每一項都屬于集合{1,2,3,?,k}條件②：從集合{1,2,3,?,k}中任取m個不同的數排成一列，得到的數列都是an注：從an中選取第i1項、第i2項、…、第is項（其中i1(1)分別判斷下面兩個數列是否為(3,3)?數列，并說明理由：數列A1數列A2(2)求證：G(k,2)=2k?1；(3)求G(4,4)的值．【題型7數列與函數的交匯問題】【例7】（2024·青海·模擬預測）已知定義在R上的函數fx滿足fx+y=fxfy?2fA．299+198 B．299+196 C．【變式7-1】（2024·遼寧·二模）設等差數列{an}的前n項和為Sn，點(n,SA．C0=1 B．若A=0，則?nC．若A>0，則?n0∈N?，使Sn最大 D．若【變式7-2】（2024·上海·模擬預測）已知fx=12x2+12x，數列(1)求數列an(2)若gx=4x4x+2【變式7-3】（2024·廣東·一模）已知數列an的前n項和為Sn，n為正整數，且(1)求證數列an?1是等比數列，并求數列(2)若點Pan?1,bn+23在函數y=log4x的圖象上，且數列【題型8數列與導數的交匯問題】【例8】（2024·全國·模擬預測）設整數p>1，x>?1且x≠0，函數f(x)=(1+x)(1)證明：f(x)>0；(2)設x>0，證明：ln(1+x)<x(3)設n∈N?，證明：【變式8-1】（2024·廣東東莞·三模）已知常數m∈R，設fx(1)若m=1，求函數y=fx在1,1(2)是否存在0<x1<x2<x3，且(3)求證：當m≤0時，對任意x1,x2∈【變式8-2】（2024·山西·一模）已知a>0，且a≠1，函數fx(1)記an=fn?lnn+1+n,Sn(2)若a=1e，證明：(3)若fx有3個零點，求實數a【變式8-3】（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知函數fx=ln(1)若a=1，證明：x>0時，fx(2)若函數Fx=fx(3)已知數列an的通項公式為an=【題型9數列與概率統計的交匯問題】【例9】（2024·黑龍江·二模）某校組織知識競賽，已知甲同學答對第一題的概率為111，從第二題開始，若甲同學前一題答錯，則此題答對的概率為14；若前一題答對，則此題答對的概率為13.記甲同學回答第n題時答錯的概率為Pn，當n≥2時，PnA．97132 B．49132 C．4766【變式9-1】（2024·山東菏澤·一模）若數列an的通項公式為an=(?1)n?1n，記在數列anA．P1=23 B．P9<【變式9-2】（2024·廣東廣州·模擬預測）甲、乙、丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數大于3，則甲將球傳給乙，若點數不大于3，則甲將球保留繼續投擲骰子；當球在乙手中時，若骰子點數大于4，則乙將球傳給甲，若點數不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數不大于3，則丙將球傳給乙.初始時，球在甲手中.(1)求三次投擲骰子后球在甲手中的概率；(2)投擲nn∈N*次骰子后，記球在乙手中的概率為p(3)設an=1【變式9-3】（2024·全國·模擬預測）甲、乙兩名小朋友，每人手中各有3張龍年紀念卡片，其中甲手中的3張卡片為1張金色和2張銀色，乙手中的3張卡片都是金色的，現在兩人各從自己的卡片中隨機取1張，去與對方交換，重復n次這樣的操作，記甲手中銀色紀念卡片xn張，恰有2張銀色紀念卡片的概率為pn，恰有1張銀色紀念卡片的概率為(1)求p2(2)問操作幾次甲手中銀色紀念卡片就可能首次出現0張，求首次出現這種情況的概率p．(3)記an（i）證明數列an?1為等比數列，并求出（ii）求xn的分布列及數學期望．（用n【題型10數列與平面幾何的交匯問題】【例10】（23-24高三下·全國·階段練習）已知等比數列an的公比為q，前n項和為Sn，an>0，（1）求an（2）在平面直角坐標系xOy中，設點Qkk,bk(k=1,2,3???)，直線QkQ【變式10-1】（2024·四川達州·二模）已知拋物線Γ:y2=2px(p>0)，直線l:y=k(x?p)與Γ交于A,B兩點，線段(1)求拋物線Γ的方程；(2)直線l與x軸交于點C,O為原點，設△BOC,△COM,△MOA的面積分別為S△BOC,S△COM,【變式10-2】（2024·安徽合肥·二模）已知an是各項均為正數的等比數列，且a1+a2=3，a3?a2=2（1）求數列an，b（2）如圖在平面直角坐標系中，點P1a1,0，P2Q1a1,b1，Q2a2,b2，…，【變式10-3】（2024·四川內江·模擬預測）已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，點P是橢圓上的動點，F1,F(1)求橢圓C的方程；(2)若直線l過點P4,0，與橢圓交于A，B兩點．若AP,AB【題型11數列中的結構不良題】【例11】（24-25高二上·全國·課后作業）已知an是等差數列，其前n項和為Sn，a4=?3，再從條件①：(1)數列an(2)Sn的最小值，并求當Sn取得最小值時【變式11-1】（2024·青海西寧·二模）已知數列an，_______________.請從下列兩個條件中任選一個，補充在上面的問題中并解答.（注：如果選擇多個條件，按照第一個解答給分.）①數列an的前n項和為Sn=2an?2（n∈N?(1)求數列an(2)令bn=an+log2【變式11-2】（2024·四川德陽·三模）已知an是等差數列，bn是等比數列，且bn的前n項和為Sn，2a1=(1)求數列an和b(2)設數列anbn的前n項和為T【變式11-3】（23-24高二下·北京懷柔·期末）已知等差數列an的前n項和為Sn，且(1)求等差數列an(2)若各項均為正數的數列bn其前n項和為Tn，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，設cn=an+bn條件①：Tn條件②：b1條件③：?n≥2且n∈Z都有bn2【題型12數列的新定義、新情景問題】【例12】（2024·河北張家口·二模）如果項數相同的數列an,bn滿足an∪bn=1,2,3,?,2n，且i為奇數時，ai<bi；i為偶數時，ai(1)若an∪b(2)當an（i）證明：Sn取最大值時，存在a（ii）當n為偶數時，求Sn【變式12-1】（2024·浙江·模擬預測）已知正整數m，設a1，a2，…，a2m，b1，b2，…，b2m是4m個非負實數，S=i=12mai=i=12mbi(1)寫出8個不全相等的數，使得這8個數構成8,2—孿生數組；(2)求最小的S，使得a1，a2，…，a6，b1，b2(3)若m≥4，且a1，a2，…，a2m，b1，b2，…，b參考公式：（i）x1+x2+x32≥3x1x2+x2x【變式12-2】（2024·安徽蕪湖·模擬預測）對于數列an,bn，如果存在正整數n0≥3，當任意正整數n≤n0時均有b1<a1<(1)已知bn=2n，請寫出一個數列(2)若an,bn滿足an+bn=6n?2，其中b(3)已知等差數列bn和正整數等比數列an滿足：an=k2024?n(k+1)n?1(n=1,2,…,2024)【變式12-3】（2024·新疆·二模）我們把滿足下列條件的數列an稱為m?L①數列an②存在正奇數m，使得數列an的每一項除以m(1)若a，b，c是公差為2的等差數列，求證：a，b，c不是3?L數列；(2)若數列bn滿足對任意正整數p，q，恒有bp+q=1p+1(3)已知各項均為正數的數列cn共有100項，且對任意1≤n≤100，恒有c1+c2+?+c一、單選題1．（2024·內蒙古包頭·三模）設Sn為等差數列an的前n項和，若S5=4a1，a1A．11 B．12 C．20 D．212．（2024·山東菏澤·二模）已知an是等差數列，a1=3,a4=12，在數列bn中bA．6072 B．2C．22023+6072 3．（2024·四川·模擬預測）南宋數學家楊輝的重要著作《詳解九章算法》中的“垛積術”問題介紹了高階等差數列．以高階等差數列中的二階等差數列為例，其特點是從數列中的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列．若某個二階等差數列的前4項為1,4,8,13，則該數列的第18項為（

）A．188 B．208 C．229 D．2514．（2024·青海西寧·一模）等差數列an中的a2，a2024是函數fx=A．12 B．1 C．?1 D．5．（2024·全國·二模）數列an的奇數項成等比數列，偶數項成等比數列，Sn是數列an的前n項和，a1=3，a2=2A．a2k<B．當n≥5，且n∈N*時，數列C．aD．S6．（2024·全國·模擬預測）已知n∈N?，an=12n?1，bn=1(n+1)2A．196197 B．198199 C．981977．（2024·湖北·二模）已知等差數列an的前n項和為Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．?2 B．0 C．1 D．28．（2024·內蒙古赤峰·三模）如圖是瑞典數學家科赫在1904年構造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是：從第一個正三角形（邊長為1）P1開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復進行這一過程，就得到一條“雪花”狀的曲線，稱為科赫曲線.設Pn的周長和面積分別為Ln、Sn，下列結論正確的是（

）①P?的邊數為3×4②L③LnS④?N>0,A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④二、多選題9．（2024·遼寧沈陽·模擬預測）某人買一輛15萬元的新車，購買當天支付3萬元首付，剩余向銀行貸款，月利率0.3%，分12個月還清（每月購買車的那一天分期還款）.有兩種金融方案：等額本金還款，將本金平均分配到每一期進行償還，每一期所還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率；等額本息還款，每一期償還同等數額的本息和，利息以復利計算.下列說法正確的是（

A．等額本金方案，所有的利息和為2340元B．等額本金方案，最后一個月還款金額為10030元C．等額本息方案，每月還款金額中的本金部分呈現遞增等比數列D．等額本金方案比等額本息方案還款利息更少，所以