19.10兩點的距離公式【夯實基礎】一、單選題1．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知A、B兩點關于原點對稱，且A(3，4)，則AB為（）A．5 B．6 C．10 D．8二、填空題2．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知直角坐標平面內的兩點分別為A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B兩點間的距離等于_____．3．（2022·上海·八年級單元測試）在平面直角坐標系中，已知點、，點在坐標軸上，且，寫出滿足條件的所有點的坐標______．4．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知點A、B都在軸上（點A在點B的左邊），點A(-3，0)，AB=6，則點Ｂ的坐標為_____．5．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知A（2，）和B（3，—3）兩點，若線段ＡＢ平行于軸，則＝___，AB＝_____．6．（2021·上海市洋涇菊園實驗學校八年級期末）如果點A的坐標為（2，﹣1），點B的坐標為（5，3），那么A、B兩點的距離等于___．7．（2019·上海市毓秀學校八年級階段練習）在平面直角坐標系中，已知A（-2，3），B（-1，-2），則AB=_________________．8．（2018·遼寧沈陽·八年級期中）在平面直角坐標系中，已知點P的坐標是（3，4），則線段OP的長為________．三、解答題9．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形狀．10．（2018·上海市西南模范中學八年級階段練習）列方程解應用題：如圖，鎮在鎮的正西方向，兩鎮相距18千米，某公司位于鎮的正南4千米處，從鎮到公司的公路，途徑、兩鎮之間的處，如要使鎮到處，再到公司的總路程為20千米，那么處距離鎮多少千米？11．（2019·上海民辦永昌學校八年級階段練習）如圖在直角坐標平面系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，A(+1，0)、B(0，)，已知:OB邊上有一點D(0，2).若DE⊥CD于D交x軸于E，請求出點E的坐標.(需寫出簡要推理過程)12．（2019·上海市建平中學西校八年級階段練習）點P到y軸的距離與它到點A(-8，2)的距離都等于13，求點P的坐標。【能力提升】一、單選題1．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1．-1)，則這三點的位置關系是（）A．是直角三角形的頂點 B．在同一條直線上C．是等邊三角形的頂點 D．以上都不對二、填空題2．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）若A(8，4)和點B(5，)間的距離是5，則＝____．3．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知點、、，若點在軸上，且，則點坐標為______．4．（2022·上海·八年級專題練習）已知直角坐標平面內點A（4，﹣1）、B（1，2），作線段AB的垂直平分線交y軸于點C．則C點的坐標為_____．5．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）在直角坐標系中，點，點在軸上，，那么點的坐標是______．6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）在直角坐標平面內，已知點、，且，那么m的值是________．7．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤绻c的坐標為，點的坐標為，那么兩點的距離等于_________．8．（2020·上海市奉賢區弘文學校八年級期末）已知直角坐標平面內的Rt△ABC三個頂點的坐標分別為A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），則直角頂點是_________．三、解答題9．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，有兩條互相垂直的公路，A廠離公路的距離為2千米，離公路的距離為5千米；B廠離公路的距離為11千米，離公路的距離為4千米；現在要在公路上建造一倉庫P，使A廠到P倉庫的距離與B廠到P倉庫的距離相等，求倉庫P的位置．10．（2017·上海·八年級期中）為了豐富少年兒童的業余生活，某社區要在如圖中的AB所在的直線上建一圖書室，本社區有兩所學校所在的位置在點C和點D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，試問：圖書室E應該建在距點A多少km處，才能使它到兩所學校的距離相等？11．（2022·上海市風華初級中學八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像交于點A、點B，已知點A(3，m).(1)求的值及反比例函數的解析式；(2)已知點B(n，)，求線段AB的長；(3)如果點C在坐標軸上，且△ABC的面積為6，求點C的坐標.12．（2021·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）點在軸上，且點到點的距離是它到點距離的2倍，求點的坐標．13．（2021·上海·八年級專題練習）已知點A（2，0），B(2，2)和C（3，1），判斷的形狀，并求出的面積．

19.10兩點的距離公式（解析版）【夯實基礎】一、單選題1．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知A、B兩點關于原點對稱，且A(3，4)，則AB為（）A．5 B．6 C．10 D．8【答案】C【分析】關于原點對稱的的的特征是，橫坐標變為相反數，縱坐標變為相反數，據此解題即可．【詳解】B兩點關于原點對稱，且A（3，4），那么B；根據兩點的距離公式可得AB=10故選：C．【點睛】本題考關于原點對稱的點的特征，是常見考點，難度容易，掌握相關知識是解題關鍵．二、填空題2．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）已知直角坐標平面內的兩點分別為A（﹣3，1）、B（1，﹣2），那么A、B兩點間的距離等于_____．【答案】5．【分析】根據兩點間的距離公式進行計算，即A（x，y）和B（a，b），則AB=【詳解】A.B兩點間的距離為：AB===5，故答案為5，故答案是：5.【點睛】本題考查了勾股定理，兩點間的距離，解題的關鍵是掌握兩點間的距離公式．3．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）在平面直角坐標系中，已知點、，點在坐標軸上，且，寫出滿足條件的所有點的坐標______．【答案】，，，【分析】本題考查了勾股定理與兩點間距離公式，需要分類討論：①當點C位于x軸上時，根據線段間的和差關系即可求出點C坐標；②當點C在y軸上時，根據兩點間距離公式和勾股定理構成方程式，解答即可【詳解】解：①當點C位于x軸上時，設點C坐標為（x，0），則，解得x=4或x=-4；②當點C在y軸上時，由勾股定理得，解得y=±3綜上所述，滿足條件的所有點C的坐標為（4，0）（-4，0）（0，3）（0，-3）【點睛】本題的關鍵是掌握兩點間距離公式和勾股定理4．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知點A、B都在軸上（點A在點B的左邊），點A(-3，0)，AB=6，則點Ｂ的坐標為_____．【答案】(3，0)或(-9，0)【分析】數軸上兩點間的距離即是兩點間橫坐標之間的距離，據此解題即可．【詳解】xB=3或-9故答案為：3或-9【點睛】本題考查兩點間的距離、數軸上兩點間的距離等知識，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．5．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知A（2，）和B（3，—3）兩點，若線段ＡＢ平行于軸，則＝___，AB＝_____．【答案】

－3

1【分析】平行于x軸，則點的縱坐標相同，據此解答．【詳解】線段ＡＢ平行于軸，點A、B的縱坐標相等，故y＝－3，，故填：－3；1．【點睛】本題考查坐標的特征、線段長度與坐標的關系，平行于x軸，則縱坐標相同是關鍵．6．（2021·上海市洋涇菊園實驗學校八年級期末）如果點A的坐標為（2，﹣1），點B的坐標為（5，3），那么A、B兩點的距離等于___．【答案】5【分析】利用兩點之間的距離公式即可得．【詳解】解：，，即、兩點的距離等于5，故答案為：5．【點睛】本題考查了兩點之間的距離公式，熟記兩點之間的距離公式是解題關鍵．7．（2019·上海市毓秀學校八年級階段練習）在平面直角坐標系中，已知A（-2，3），B（-1，-2），則AB=_________________．【答案】．【分析】根據兩點間的距離公式可以求得線段AB的長．【詳解】解：點A（-2，3）和點B（-1，-2），∴AB=＝．故答案為．【點睛】本題考查兩點間的距離公式，解題的關鍵是明確兩點間距離公式的計算方法．8．（2018·遼寧沈陽·八年級期中）在平面直角坐標系中，已知點P的坐標是（3，4），則線段OP的長為________．【答案】5【分析】根據題意畫出圖形，再根據勾股定理進行解答即可．【詳解】解：如圖所示：∵P（3，4），∴OP==5．故答案為5．【點睛】本題考查勾股定理及坐標與圖形性質，根據題意畫出圖形，利用數形結合求解是解題的關鍵．三、解答題9．（2022·上海·八年級單元測試）已知A(，)，B(4，)，C(1，2)，判定ABC的形狀．【答案】ABC是等腰直角三角形，見解析【分析】利用兩點間距離公式，分別計算AB、AC、BC的長，再根據勾股定理逆定理判斷三條邊的關系即可解題．【詳解】利用兩點的距離公式，可得AB=，AC=，BC=，所以AC=BC，AB2=AC2+BC2所以△ABC是直角三角形，綜上所述，△ABC是等腰直角三角形．【點睛】本題考查兩點間距離公式、勾股定理及逆定理、等腰直角三角形的判定，是常見考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．10．（2018·上海市西南模范中學八年級階段練習）列方程解應用題：如圖，鎮在鎮的正西方向，兩鎮相距18千米，某公司位于鎮的正南4千米處，從鎮到公司的公路，途徑、兩鎮之間的處，如要使鎮到處，再到公司的總路程為20千米，那么處距離鎮多少千米？【答案】15【分析】根據題意設AD=xkm，則BD=(18-x)km，DC=(20-x)km，進而利用勾股定理即可解答．【詳解】解：設AD=xkm，則BD=(18-x)km，DC=(20-x)km，由題意可得：，解得：x=15，答：D處距離A鎮15千米．【點睛】本題考查了勾股定理的實際應用，解題的關鍵是讀懂題意，表示出BD，CD的距離．11．（2019·上海民辦永昌學校八年級階段練習）如圖在直角坐標平面系中，矩形OACB的頂點O在坐標原點，A(+1，0)、B(0，)，已知:OB邊上有一點D(0，2).若DE⊥CD于D交x軸于E，請求出點E的坐標.(需寫出簡要推理過程)【答案】（1，0）【分析】首先設點E的坐標為，求出DE、CD、CE的距離，然后利用勾股定理即可得出點E的坐標.【詳解】設點E的坐標為∵D(0，2)∴又∵A(+1，0)，B(0，)，∴C∴又∵，DE⊥CD∴∴∴∴點E的坐標為（1，0）【點睛】此題主要考查直角坐標系中兩坐標之間的距離以及勾股定理的運用，熟練掌握，即可解題.12．（2019·上海市建平中學西校八年級階段練習）點P到y軸的距離與它到點A(-8，2)的距離都等于13，求點P的坐標?！敬鸢浮炕?【分析】由P到y軸的距離為13，可得P點橫坐標為13或-13，設出P點坐標，然后利用兩點間的距離公式建立方程求解即可.【詳解】解：∵點P到y軸的距離為13，∴P點橫坐標為13或-13當P點橫坐標為13時，設P(13，a)由點P到點A(-8，2)的距離等于13得：整理得，無解，故此種情況不存在；當P點橫坐標為-13時，設P(-13，a)同理可得整理得，解得或∴點P的坐標為或.【點睛】本題考查直角坐標系中兩點間的距離公式與解一元二次方程，熟練掌握公式建立方程是解題的關鍵.【能力提升】一、單選題1．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1．-1)，則這三點的位置關系是（）A．是直角三角形的頂點 B．在同一條直線上C．是等邊三角形的頂點 D．以上都不對【答案】B【分析】利用兩點的距離公式，可得AB=

5，AC=

3，BC=

2，因為AB=AC+BC可得點A

、點B、點C在同一條直線上【詳解】∵A(2，5)，B(-3，-5)，C(-1．-1)，∴AB===5，AC=

==3，BC=

==2，∴AB=AC+BC，∴點A

、點B、點C在同一條直線上.故選：B【點睛】此題考查了兩點間的距離公式，掌握公式是解答此題的關鍵.二、填空題2．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）若A(8，4)和點B(5，)間的距離是5，則＝____．【答案】8或0【分析】根據兩點的距離公式解答即可.【詳解】根據兩點的距離公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0，故答案為：8或0.【點睛】此題考查直角坐標系中點與點間距離的計算公式，勾股定理，正確掌握計算公式是解題的關鍵.3．（2022·上海·八年級單元測試）已知點、、，若點在軸上，且，則點坐標為______．【答案】或【分析】根據兩點間距離公式得到，由于C在x軸上，則b=0，然后根據勾股定理得到，在解一元二次方程即可【詳解】解：因為∠ACB=90°，C點在x軸上，所以即，整理得，解得所以點C坐標為（-4，0）或（1，0）【點睛】本題的關鍵是掌握兩點間距離公式和勾股定理4．（2022·上海·八年級專題練習）已知直角坐標平面內點A（4，﹣1）、B（1，2），作線段AB的垂直平分線交y軸于點C．則C點的坐標為_____．【答案】【分析】設C點的坐標為，根據兩點間距離公式含y的式子表示出，根據線段垂直平分線的性質得到BC＝AC，列出方程，解方程得到答案．【詳解】解：設C點的坐標為，由勾股定理得：，，∵點C在線段AB的垂直平分線上，∴BC＝AC，∴，解得：y＝－2，∴C點的坐標為．故答案為：．【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質、兩點間距離公式，根據線段垂直平分線的性質得出BC＝AC是解題的關鍵．5．（2022·上海·八年級單元測試）在直角坐標系中，點，點在軸上，，那么點的坐標是______．【答案】或##或【分析】利用距離公式列方程計算即可．【詳解】∵點在軸上，∴設點的坐標是∵點，，∴整理得：解得：∴點的坐標是或故答案為：或．【點睛】本題考查直角坐標系中兩點直接的距離公式、解一元二次方程，解題的關鍵是根據距離公式列方程．6．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）在直角坐標平面內，已知點、，且，那么m的值是________．【答案】【分析】由、，再根據長度公式可得出AB的距離表達式，由即可求得的值．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了利用勾股定理求兩點距離，掌握兩點間的距離公式是解決此題的關鍵．7．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┤绻c的坐標為，點的坐標為，那么兩點的距離等于_________．【答案】．【分析】根據兩點間的距離公式計算即可．【詳解】解：∵的坐標為，點的坐標為，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了兩點間的距離公式，解題關鍵是熟練運用勾股定理進行計算．8．（2020·上海市奉賢區弘文學校八年級期末）已知直角坐標平面內的Rt△ABC三個頂點的坐標分別為A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），則直角頂點是_________．【答案】B【分析】先根據兩點間的距離公式得到AB2．BC2．AC2的值，然后根據勾股定理的逆定理即可解答．【詳解】解：∵A（4，3）、B（1，2）、C（3，-4），∴AB2=（4-1）2+（3-2）2=10，AC2=（3-4）2+（-4-3）2=50，BC2=（3-1）2+（-4-2）2=40，∴AC2=AB2+BC2，∴△ABC為直角三角形，∴∠B=90°，即該直角三角形的直角頂點為B．故答案為B．【點睛】本題主要考查勾股定理的逆定理、兩點間的距離公式，正確的運用相關的定理、公式成為解答本題的關鍵．三、解答題9．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）如圖，有兩條互相垂直的公路，A廠離公路的距離為2千米，離公路的距離為5千米；B廠離公路的距離為11千米，離公路的距離為4千米；現在要在公路上建造一倉庫P，使A廠到P倉庫的距離與B廠到P倉庫的距離相等，求倉庫P的位置．【答案】倉庫P在公路上，且在公路的右側，離公路的距離為6千米處.【分析】以直線建立直角坐標系，根據題述可得A廠，B廠所在點的坐標，再設倉庫P所在點的坐標為(x，0)，根據“A廠到P倉庫的距離與B廠到P倉庫的距離相等”列出方程，求解，根據方程的解可得出倉庫P的位置．【詳解】解：為兩條互相垂直的公路，以建立平面直角坐標系，如下圖，根據題意可知，設P(x，0)，則整理得：，解得．故倉庫P在公路上，且在公路的右側，離公路的距離為6千米處．【點睛】本題考查兩點之間的距離公式．能建立合適的直角坐標系，并根據“A廠到P倉庫的距離與B廠到P倉庫的距離相等”列出方程是解決此題的關鍵．10．（2017·上?！ぐ四昙壠谥校榱素S富少年兒童的業余生活，某社區要在如圖中的AB所在的直線上建一圖書室，本社區有兩所學校所在的位置在點C和點D處，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，已知AB=2.5km，CA=1.5km，DB=1.0km，試問：圖書室E應該建在距點A多少km處，才能使它到兩所學校的距離相等？【答案】10km【分析】根據題意表示出AE，EB的長，進而利用勾股定理求出即可．【詳解】由題意可得：設AE=xkm，則EB=（2.5﹣x）km．∵AC2+AE2=EC2，BE2+DB2=ED2，EC=DE，∴AC2+AE2=BE2+DB2，∴1.52+x2=（2.5﹣x）2+12，解得：x=1．答：圖書室E應該建在距點A1km處，才能使它到兩所學校的距離相等．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，得出AC2+AE2=BE2+DB2是解題的關鍵．11．（2022·上海市風華初級中學八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像交于點A、點B，已知點A(3，m).(1)求的值及反比例函數的解析式；(2)已知點B(n，)，求線段AB的長；(3)如果點C在坐標軸上，且△ABC的面積為6，求點C的坐標.【答案】(1)，；(2)；(3)（6，0）或（－6，0）或（0，2）或（0，－