19.2.2證明舉例—證明線段和角相等一、解答題1．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在正方形中，點、分別在、邊上，且，聯結、．求證：．2．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在已知△ABC中，AB=AC，點在BC上，過點的直線分別交AB于點E，交AC的延長線于點，且BE=CF．求證：DE=DF．3．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE4．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，AB=AC，E是AD上的一點，∠BAE=∠CAE．求證：∠EBD=∠ECD．5．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知：如圖，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度數．6．（2019·上海外國語大學附屬大境初級中學八年級階段練習）如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求證：∠C=∠E．

19.2.2證明舉例—證明線段和角相等（解析版）一、解答題1．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在正方形中，點、分別在、邊上，且，聯結、．求證：．【答案】詳見解析【分析】根據正方形的性質可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根據已知條件可證≌，即可得出.【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，．在與中，，∴≌（SAS）．∴．【點睛】本題考查正方形的性質，熟練掌握正方形四邊相等，四角相等都等于90°是解題關鍵.2．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，在已知△ABC中，AB=AC，點在BC上，過點的直線分別交AB于點E，交AC的延長線于點，且BE=CF．求證：DE=DF．【答案】證明見解析【分析】過點作交于，根據平行的性質可得，再根據等邊對等角可得，進而得到，再根據等角對等邊可得BE=GE，從而得到GE=CF，利用AAS證得，根據全等三角形的性質可得DE=DF.【詳解】證明：過點作交于，∴，∵∴∴∴．又∵∴．∵在和中，∴（AAS）．∴．【點睛】本題考查了等腰三角形、全等三角形的判定與性質，構造出全等三角形是解答本題的關鍵.3．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，點D在AB上，點E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證：BD=CE【答案】證明見詳解．【分析】根據“ASA”證明△ABE≌△ACD，然后根據全等三角形的對應邊相等即可得到結論.【詳解】證明：在△ABE和△ACD中，∵，△ABE≌△ACD(ASA)，∴AE=AD，∴BD=AB–AD=AC-AE=CE．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性質（即全等三角形的對應邊相等、對應角相等）是解題的關鍵．4．（2022·上海·八年級單元測試）如圖，AB=AC，E是AD上的一點，∠BAE=∠CAE．求證：∠EBD=∠ECD．【答案】見解析【分析】先證明△ABD≌△ACD，得到∠ADB=∠ADC，BD=CD，再證明△BDE≌△CDE，問題得證．【詳解】證明：在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD，∴∠ADB=∠ADC，BD=CD，在△BDE和△CDE中∴△BDE≌△CDE，∴∠EBD=∠ECD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定定理并根據題意靈活選擇方法是解題關鍵．5．（2020·上海市靜安區實驗中學八年級課時練習）已知：如圖，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5，BD，CE分別是邊AC，AB上的高，BD，CE相交于H，求∠BHC的度數．【答案】135°【分析】先設∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x，再結合三角形內角和等于180°，可得關于x的一元一次方程，求出x，從而可分別求出∠A，∠ABC，∠ACB，在△ABD中，利用三角形內角和定理，可求∠ABD，再利用三角形外角性質，可求出∠BHC．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：4：5，故設∠A=3x，∠ABC=4x，∠ACB=5x．∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴3x+4x+5x=180°，解得x=15°，∴∠A=3x=45°．∵BD，CE分別是邊AC，AB上的高，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，∴在△ABD中，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=180°-90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°．【點睛】本題利用了三角形內角和定理、三角形外角的性質．解題關鍵是熟練掌握:三角形三個內角的和等于180°，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和．6．（2019·上海外國語大學附屬大境初級中學八年級階段練習）如圖，已知AB=AD，AC=AE，∠BAE=∠DAC．求證：∠C=∠E．【答案】見解析.【分析】由∠BAE=∠DAC可得到∠BAC=∠DAE，再根據“SAS”可判斷△ABC≌△ADE，根據全等的性質即可得到∠C=∠E．【詳解】∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE﹣∠CAE=∠DAC﹣∠CAE，即∠BAC=∠DAE，