4.2-4.3立方根和實數(shù)（一）【推本溯源】1.如圖，棱長為1時，正方體的體積為1，那體積為2的棱長等于多少？設棱長為x，x3=2一般地，如果x3=a，那么x叫做a的，a的立方很記作，讀作。和平方根相似的地方是求一個數(shù)的立方很的運算叫做。2.計算（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；、（4）若，則=；因此，3.立方根的性質(zhì)4.平方根和立方根小數(shù)點平移被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動2位，它的平方根的小數(shù)點就相應地向右或者向左移動1位.被開方數(shù)的小數(shù)點向右或者向左移動3位，它的立方根的小數(shù)點就相應地向右或者向左移動1位.例如，，，，.5.（1）如圖，試著就算，你能說出的值嗎？（2）你可以畫出長度為的線段嗎？要去想，所以構(gòu)造以1cm、3cm為直角邊的是直角三角形即可；求一下后面兩個數(shù)。（3）可以畫出半徑為1cm的圓，求出它的周長和面積嗎？因此，想上面含有根號、含有Π的數(shù)都是。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為。無理數(shù)也可以在數(shù)軸上面表示出來。如圖A表示的數(shù)為每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個都表示一個實數(shù)。實數(shù)與一一對應。【解惑】例1：在，，，，2023這五個數(shù)中無理數(shù)的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例2：如圖，小明將一個直徑為1個單位長度的圓環(huán)（厚度忽略不計）從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點，則下列實數(shù)與點表示的數(shù)最接近的是（

）

A． B． C． D．例3：如果，那么（

）A． B． C． D．例4：已知：與是某正數(shù)的兩個不相等的平方根，的立方根是．求：(1)的值；(2)的平方根．例5：如圖，在數(shù)軸上點、、所表示的數(shù)分別為，，，點到點的距離與點到點的距離相等，設點所表示的實數(shù)為．

(1)求出實數(shù)的值(2)求的值．【摩拳擦掌】1．（2023春·山西呂梁·七年級統(tǒng)考期中）歸納平方根和立方根的特征時，分了正數(shù)、、負數(shù)三種情況進行研究，其中主要體現(xiàn)的數(shù)學思想是（

）A．轉(zhuǎn)化思想 B．方程思想 C．分類討論思想 D．數(shù)形結(jié)合思想2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級哈爾濱工業(yè)大學附屬中學校校考開學考試）若，，則x為（

）．A．214 B． C．2140 D．3．（2023秋·河北石家莊·八年級校考期末）如圖，在數(shù)軸上標有O，A，B，C，D五個點，根據(jù)圖中各點所表示的數(shù)，判斷應該在下列線段的（

）

A．上 B．上 C．上 D．上4．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級統(tǒng)考期中）定義一種運算：對于任意實數(shù)，都有，則的值為_________．5．（2023春·黑龍江鶴崗·七年級校考期中）0.16的平方根是_____，的算術平方根是_____，的立方根是_____．6．（2023春·湖北武漢·七年級校考階段練習）已知a、b滿足以下條件：①一個正數(shù)x的兩個平方根分別是和；②．(1)求a，b，x；(2)求的平方根．7．（2023春·廣東汕頭·七年級校考期中）已知一個正數(shù)的平方根是和，的立方根是，是的整數(shù)部分，d的平方根是它本身．(1)求a，b，c，d的值；(2)求的算術平方根．8．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考中考真題）計算：．9．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級統(tǒng)考期中）計算：(1)；(2)．【知不足】1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）下面四個數(shù)中，比1小的正無理數(shù)是（）A． B． C． D．2．（2023年山東省臨沂市中考二模數(shù)學試題）在實數(shù)，，，0中，絕對值最小的一個是（

）A． B． C． D．03．（2023·四川南充·四川省南充高級中學校考二模）下列實數(shù)中，最小的實數(shù)是（）A．1 B． C． D．4．（2023春·江蘇南通·七年級統(tǒng)考期中）下列各數(shù)中，化簡結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．5．（2023·福建莆田·校考模擬預測）如圖，A，B兩點分別是在數(shù)軸上表示實數(shù)1，2的點，若點C在A，B兩點之間的數(shù)軸上，則點C表示的c的值可以是________（只需寫出一個符合條件的實數(shù)）．

6．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學真題）若a、b互為相反數(shù)，c為8的立方根，則___________．7．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級統(tǒng)考期中）在實數(shù)，最大的一個數(shù)是_________．8．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級統(tǒng)考期中）求下列名式中的值．(1)；(2)．9．（2023·陜西西安·校考模擬預測）計算：．10．（2023春·湖北咸寧·七年級咸寧市溫泉中學校考期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．11．（2023春·廣東肇慶·七年級校考期中）求出等式中的x：(1)；(2)．【一覽眾山小】1．（2023春·全國·七年級期末）已知是二元一次方程組的解，則的立方根為（

）A．2 B．4 C．8 D．162．（2019春·廣東汕尾·七年級期末）下列算式中，錯誤的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東惠州·七年級校考期中）若，，則的值為（

）A． B．5 C．或 D．或54．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）估計的值在()A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間5．（2023春·廣東汕頭·七年級校考期中）已知，a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，是e的平方根，則＝_____．6．（2023秋·河北石家莊·八年級校考期末）在，，，0，，，，中，無理數(shù)有______個．7．（2023春·江西南昌·七年級江西師范大學附屬外國語學校校考期中）已知一個正數(shù)x的兩個不同的平方根是和．(1)求a與x的值；(2)計算：．8．（2023春·廣東肇慶·七年級校考期中）一個正數(shù)y的兩個平方根分別是與，求的立方根.9．（2023春·廣東東莞·七年級校考期中）若一個正數(shù)的平方根分別是和，求的立方根．10．（2023春·廣東湛江·七年級校考期中）已知的平方根是，2是的立方根．(1)求a，b的值．(2)求滿足等式的x的值．11．（2023春·湖北咸寧·七年級咸寧市溫泉中學校考期中）（1）如圖1，分別把兩個邊長為的小正方形沿一條對角線裁成4個小三角形拼成一個大正方形，則大正方形的邊長為______；（2）若一個圓的面積與一個正方形的面積都是，設圓的周長為，正方形的周長為，請比較與的大小；（3）如圖2，若正方形的面積為，李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長和寬之比為，他能裁出嗎？

12．（2023春·廣東汕頭·七年級校考期中）計算(1)(2)13．（2023春·廣東湛江·七年級校考期中）計算：14．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）對于任意實數(shù)a，b，定義一種新運算：，例如：，．根據(jù)上面的材料，請完成下列問題：(1)___________，___________；