滬科版八年級上第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.3等腰三角形第2課時等腰三角形的判定01名師點金02基礎題03綜合應用題目

錄CONTENTS04創新拓展題1.

等腰三角形的兩種判定方法：(1)定義法，證三角形中有

兩條邊相等；(2)判定定理法，證一個三角形中有兩個角

相等.2.

應用等腰三角形的判定定理“等角對等邊”時，必須是在

同一個三角形中，切忌兩個角在不同三角形中.知識點1

等腰三角形的判定1.

如圖，∠

B

＝∠

C

＝36°，∠

ADE

＝∠

AED

＝72°，則

圖中的等腰三角形有(

D

)A.3個B.4個C.5個D.6個(第1題)1234567891011因為∠

B

＝∠

C

＝36°，所以

AB

＝

AC

，∠

BAC

＝

108°，所以△

ABC

是等腰三角形；因為∠

ADE

＝∠

AED

＝72°，所以

AD

＝

AE

，∠

BAE

＝∠

CAD

＝72°，所以∠

BAE

＝∠

AEB

，∠

CAD

＝∠

ADC

，所以

AB

＝

BE

，

AC

＝

CD

，所以△

ADE

，△

ABE

，△

ACD

都是等腰三角形；因為∠

ADE

＝72°，∠

B

＝36°，所以∠

BAD

＝36°，所以∠

B

＝∠

BAD

，所以

AD

＝

BD

，所以△

ABD

是等腰三角形，同理可得△

AEC

是等腰三角形.綜上，題圖中的等腰三角形有6個.【點撥】【答案】D12345678910112.

[2022·宜賓]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

＝5，

D

是

BC

上的點，

DE

∥

AB

交

AC

于點

E

，

DF

∥

AC

交

AB

于點

F

，那么四邊形

AEDF

的周長是(

B

)A.5B.10C.15D.20(第2題)1234567891011【點撥】因為

AB

＝

AC

，所以∠

B

＝∠

C

.

因為

AB

∥

DE

，

AC

∥

DF

，所以∠

EDC

＝∠

B

，∠

FDB

＝∠

C

，所以∠

B

＝∠

FDB

＝∠

C

＝∠

EDC

，所以

BF

＝

FD

，

DE

＝

CE

，則四邊形

AEDF

的周長＝

AF

＋

DF

＋

DE

＋

AE

＝

AF

＋

BF

＋

CE

＋

AE

＝

AB

＋

AC

＝10.B【答案】1234567891011

(第3題)A.2B.3C.4D.51234567891011【點撥】由題意得，

DG

為∠

ADC

的平分線，∴∠

ADG

＝∠

CDG

.

∵

AD

∥

BC

，∴∠

ADG

＝∠

CGD

，∴∠

CDG

＝∠

CGD

，∴

CG

＝

CD

＝3，∴

BG

＝

CB

－

CG

＝5－3＝2.故選A.

【答案】A12345678910114.

(榮德原創題)在下列三角形中，若

AB

＝

AC

，則不能被一

條直線分成兩個小等腰三角形的是(

B

)1234567891011A選項，過點

B

作

BD

平分∠

ABC

，交

AC

于點

D

，

則直線

BD

即為所求；C選項，作

BC

的垂直平分線可滿足

要求；D選項，在

BC

上截取

BD

＝

AB

，連接

AD

，則直

線

AD

即為所求.故選B.

【點撥】【答案】B1234567891011知識點2

等邊三角形的判定5.

[2023·江西]將含30°角的直角三角尺和直尺按如圖所示的

方式放置，已知∠α＝60°，點

B

，

C

表示的刻度分別為

1，3，則線段

AB

的長為

cm.2

1234567891011【點撥】∵直尺的兩對邊相互平行，∴∠

ACB

＝∠α＝60°.又∵∠

A

＝60°，∴∠

ABC

＝180°－∠

ACB

－∠

A

＝180°－60°－60°＝60°.∴∠

A

＝∠

ABC

＝∠

ACB

.

∴△

ABC

是等邊三角形.∴

AB

＝

BC

＝3－1＝2(cm).12345678910116.

如圖，

D

，

E

，

F

分別是等邊三角形

ABC

中邊

AB

，

BC

，

AC

上的點，且

AD

＝

BE

＝

CF

，則△

DEF

的形狀

是(

A

)A.

等邊三角形B.

腰和底邊不相等的等腰三角形C.

直角三角形D.

不等邊三角形A12345678910117.

[2022·嘉興]小曹同學復習時將幾種三角形的關系整理如

圖，請幫他在括號內填上一個適當的條件.【點撥】有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.∠A=60°答案不唯一12345678910118.[新考法·轉移集中法2023·濱州]已知點

P

是等邊三角形

ABC

的邊

BC

上的一點，若∠

APC

＝104°，則在以線段

AP

，

BP

，

CP

為邊的三角形中，最小內角的大小為

(

B

)A.14°B.16°C.24°D.26°1234567891011∵△

ABC

為等邊三角形，∴∠

B

＝∠

C

＝∠

BAC

＝60°，

AC

＝

BC

.

∵

PD

∥

AB

，【點撥】如圖，過點

P

作

PD

∥

AB

交

AC

于點

D

.

∴∠

CPD

＝∠

B

＝60°，∠

CDP

＝∠

BAC

＝60°，∴∠

ADP

＝120°，△

CDP

為等邊三角形，∴

CP

＝

DP

＝

CD

，∴

AD

＝

BP

.

1234567891011∴△

ADP

就是以線段

AP

，

BP

，

CP

為邊的三角形.∵∠

APC

＝104°，∴∠

APD

＝∠

APC

－∠

CPD

＝

44°，∠

CAP

＝180°－∠

APC

－∠

C

＝16°，【答案】∴以線段

AP

，

BP

，

CP

為邊的三角形的三個內角分

別為16°，44°，120°，∴最小內角的大小為16°.B12345678910119.

[2022·溫州]如圖，

BD

是△

ABC

的角平分線，

DE

∥

BC

，交

AB

于點

E

.

(1)求證：∠

EBD

＝∠

EDB

；【證明】∵

BD

是△

ABC

的角平分線，∴∠

CBD

＝∠

EBD

.

∵

DE

∥

BC

，∴∠

CBD

＝∠

EDB

.

∴∠

EBD

＝∠

EDB

.

1234567891011(2)當

AB

＝

AC

時，請判斷

CD

與

ED

的大小關系，并說明

理由.【解】

CD

＝

ED

.

理由如下：∵

AB

＝

AC

，∴∠

C

＝∠

ABC

.

∵

DE

∥

BC

，∴∠

ADE

＝∠

C

，∠

AED

＝∠

ABC

.

∴∠

ADE

＝∠

AED

.

∴

AD

＝

AE

.

∴

CD

＝

BE

.

由(1)知，∠

EBD

＝∠

EDB

，∴

BE

＝

DE

.

∴

CD

＝

ED

.

123456789101110.[新考法·特殊位置法]如圖，△

ABC

為等腰三角形，

AB

＝

AC

，

BD

為△

ABC

的一條角平分線，延長

BC

到點

E

，使

CE

＝

CD

，過點

D

作

DH

⊥

BE

，垂足為

H

，連

接

DE

.

(1)求證：

H

為

BE

的中點.1234567891011【證明】∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠4.∵

BD

平分∠

ABC

，∴∠1＝∠2.∵

CE

＝

CD

，∴∠3＝∠

E

.

∵∠4＝∠3＋∠

E

，∠

ABC

＝∠1＋∠2，∴∠2＝∠

E

，∴

BD

＝

ED

，即△

BDE

為等腰三角形.又∵

DH

⊥

BE

，∴

H

為

BE

的中點.1234567891011(2)探究：當∠

A

為多少度時，

AD

＝

HC

？請加以證明.

123456789101111.

(1)觀察與發現：小明將三角形紙片

ABC

(

AB

＞

AC

)沿過點

A

的直線折

疊，使得

AC

落在

AB

邊上，折痕為

AD

，展開紙片(如圖

①)，再次折疊該三角形紙片，使點

A

和點

D

重合，折痕

為

EF

，

AD

與

EF

相交于點

O

，展開紙片后得到△

AEF

(如圖②)，小明認為△

AEF

是等腰三角形，你同意嗎？

請說明理由.1234567891011

123456789