滬科版八年級上第15章軸對稱圖形與等腰三角形15.3等腰三角形第1課時等腰三角形的性質01名師點金02基礎題03綜合應用題目

錄CONTENTS04創新拓展題1.

“等邊對等角”是針對同一個三角形而言的，若在兩個三

角形中，這個結論不成立.2.

應用“三線合一”性質的前提必須是等腰三角形，在這個

前提下，已知“三線”中任意一條，便可直接得到另外兩

條線段.等腰三角形“三線合一”的性質常常用來證明角

相等、線段相等和線段垂直.知識點1

等腰三角形的“等邊對等角”的性質1.

如圖，在△

ABC

中，

D

為

BC

邊上的一點，若

AB

＝

AC

，

AD

＝

BD

，∠

CAD

＝24°，則∠

C

＝

?°.(第1題)52

1234567891011122.

[2023·臺州]如圖，銳角三角形

ABC

中，

AB

＝

AC

，點

D

，

E

分別在邊

AB

，

AC

上，連接

BE

，

CD

.

下列命題

中，假命題是(

A

)A.

若

CD

＝

BE

，則∠

DCB

＝∠

EBC

B.

若∠

DCB

＝∠

EBC

，則

CD

＝

BE

C.

若

BD

＝

CE

，則∠

DCB

＝∠

EBC

D.

若∠

DCB

＝∠

EBC

，則

BD

＝

CE

(第2題)123456789101112【點撥】∵

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

，∵

BC

＝

BC

，

∠

DCB

＝∠

EBC

，∴△

DCB

≌△

EBC

(

ASA

)，∴

CD

＝

BE

，

BD

＝

CE

，故選項B，D是真命題，不符合題意；

∵

BC

＝

BC

，∠

ABC

＝∠

ACB

，

BD

＝

CE

，∴△

DCB

≌△

EBC

(

SAS

)，∴∠

DCB

＝∠

EBC

，故選項C是真命

題，不符合題意；當

CD

＝

BE

時，不能證明∠

DCB

＝∠

EBC

，故選項A是假命題，符合題意.故選A.

【答案】A1234567891011123.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

為

BC

邊上的一點，

點

E

在

AC

邊上，

AD

＝

AE

，若∠

BAD

＝20°，則∠

CDE

＝(

A

)A.10°B.15°C.20°D.30°(第3題)A123456789101112知識點2

等腰三角形的“三線合一”的性質4.

[2023·長春]如圖，用直尺和圓規作∠

MAN

的平分線，根

據作圖痕跡，下列結論不一定正確的是(

B

)A.

AD

＝

AE

B.

AD

＝

DF

C.

DF

＝

EF

D.

AF

⊥

DE

(第4題)123456789101112根據題中的作圖痕跡，可知作法如下：①以點

A

為圓

心，

AD

的長為半徑作弧，分別交

AM

，

AN

于點

D

，

E

；②分別以點

D

，

E

為圓心，

DF

的長為半徑作弧，兩弧在∠

MAN

內相交于點

F

；③作射線

AF

，

AF

即為∠

MAN

的平分線.根據角平分線的作法可知，

AD

＝

AE

，

DF

＝

EF

，根據等腰三角形的三線合一可知

AF

⊥

DE

，故選B.

【點撥】【答案】B123456789101112

55

1234567891011126.

如圖，

AB

＝

AE

，

BC

＝

DE

，∠

B

＝∠

E

.

(1)求證：

AC

＝

AD

；

123456789101112(2)用直尺和圓規作圖：過點

A

作

AF

⊥

CD

，垂足為

F

.

(不寫作法，保留作圖痕跡)【解】如圖，

AF

即為所求.123456789101112知識點3

等邊三角形的性質7.

如圖，

BD

是等邊三角形

ABC

的邊

AC

上的高，以點

D

為

圓心，

DB

長為半徑作弧，交

BC

的延長線于點

E

，則

∠

DEC

＝(

C

)A.20°B.25°C.30°D.35°(第7題)123456789101112【點撥】在等邊三角形

ABC

中，∠

ABC

＝60°，∵

BD

是

AC

邊上的高，

∵

BD

＝

ED

，∴∠

DEC

＝∠

CBD

＝30°.故選C.

C【答案】1234567891011128.

如圖，△

ABC

是等邊三角形，

AD

是角平分線，△

ADE

是等邊三角形，有下列結論：①

AD

⊥

BC

；②

EF

＝

FD

；③

BE

＝

BD

.

其中正確結論的個數為(

A

)(第8題)A.3B.2C.1D.0123456789101112【點撥】因為△

ABC

是等邊三角形，

AD

是角平分線，所以

AD

⊥

BC

，∠

BAD

＝30°，①正確；因為△

ADE

是等邊

三角形，所以∠

DAE

＝60°，

AE

＝

AD

.

因為∠

BAD

＝

30°，所以∠

BAE

＝30°，所以

AB

平分∠

EAD

，所以

EF

＝

FD

，

AB

⊥

ED

，即

AB

垂直平分

ED

，所以

BE

＝

BD

，②③正確，所以正確結論的個數是3.【答案】A123456789101112易錯點求角的度數時考慮問題不全而漏解9.[新考法·分類討論法2023·河北]在△

ABC

和△A'B'C'中，

∠

B

＝∠B'＝30°，

AB

＝A'B'＝6，

AC

＝A'C'＝4，已知

∠

C

＝

n

°，則∠C'＝(

C

)A.30°B.

n

°C.

n

°或180°－

n

°D.30°或150°123456789101112∴∠C'＝∠

C

＝

n

°.當

BC

＞B'C'時，如圖，延長

B

'

C

'到

C

″，使

B

'

C

″＝

BC

，連接

A

'

C

″，易

得△

ABC

≌△

A

'

B

'

C

″，∴∠

C

″＝∠

C

＝

n

°，

A

'

C

″

＝

AC

.

【點撥】當

BC

＝B'C'時，△

ABC

≌△A'B'C'，123456789101112∵

AC

＝A'C'，∴A'C'＝A'C″，∴∠AC'C″＝∠

C

″＝

n

°，∴∠A'C'B'＝180°－

n

°.當

BC

＜B'C'時，同理可得∠C'＝180°－

n

°.∴∠C'＝

n

°或180°－

n

°.C【答案】12345678910111210.

[2024·亳州六校期中]如圖，在△

ABC

中，

AC

＝

BC

，點

E

，

F

在邊

AB

上，

CE

＝

CF

，延長

CF

至點

D

，使

DC

＝

BC

，連接

BD

.

(1)求證：△

ACE

≌△

BCF

；【證明】∵

AC

＝

BC

，

CE

＝

CF

，∴∠

A

＝∠

CBA

，∠

CEF

＝∠

CFE

，∴∠

AEC

＝∠

BFC

，∴△

ACE

≌△

BCF

(

AAS

).123456789101112(2)若∠

ACE

＝20°，求∠

BDC

的度數.

12345678910111211.

[2023·蘇州]如圖，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

AD

為△

ABC

的角平分線，以點

A

為圓心，

AD

長為半徑畫弧，

與

AB

，

AC

分別交于點

E

，

F

，連接

DE

，

DF

.

(1)求證：△

ADE

≌△

ADF

；123456789101112

123456789101112(2)若∠

BAC

＝80°，求∠

BDE

的度數.

12345678910111212.

[新考法·猜想驗證法2022·威海節選]回顧：用數學的思維思考.(1)如圖①，在△

ABC

中，

AB

＝

AC

.

①

BD

，

CE

是△

ABC

的角平分線，求證：

BD

＝

CE

；②點

D

，

E

分別是邊

AC

，

AB

的中點，連接

BD

，

CE

，求證：

BD

＝

CE

.

(從①②兩題中選擇一題加以

證明)猜想：用數學的眼光觀察.123456789101112

123456789101112

123456789101112(2)經過做題并反思，小明同學認為：在△

ABC

中，

AB

＝

AC

，

D

為邊

AC

上一動點(不與點

A

，

C

重合)，對

于點

D

在邊

AC

上的任意位置，在另一邊

AB

上總能找

到一個與其對應的點

E

，使得

BD

＝

CE

.

進而提出問

題：若點

D

，