＞橢圓的角度微分法

橢圓的角度微分法是利用橢圓的內接多邊形來逼近橢圓

設橢圓的參數方程為

x=acosg

(1-31)

Iy=bsin^p

其中a》0〉0,旋轉角中的起始角、終止角分別為*/?,且滿足關系式0&a〈p&360

當把橢圓的圓周角〃等分之后,橢圓的內接多邊形所對應的中心角Ag為

△W=2TT/〃(1-32)

此時第i條直線的兩端點坐標分別是

(i=O,l(1-33)

aCOSQ+1=x,cosA^

(1-34)

+J—ycosAw

-

cosA*卡sin△中j.-

L#」

卜n△卓區q中

劣-1

y」Ml」

sin△中cosAg

a..5

IccsA^p一coM中―齊inA0

/sinAF

iyi+i'■加-1■^sin△中cos△中ucisA?I;;]

oos△中一號win△平OOsAfTJi-sinA??

cosA勺-?sinMcusA手

0

=2

ir)sAyJ』

1011*「

=2oosA?0JLv.-'

-(2cceA$>),Jr-JT,-I

Kf+1l(f=1,2,…，n-I)(1-35)

ly+i二(2co4中)“-y!

a^b時.取H=0.5a+20*

更為一般的橢圓是橢圓的長軸與坐標系的X軸具有一夾角6,

見圖1-8。

為了討論方便，令其留心坐標為（0，。），利用旋轉公式

IJC=、/?cos。~-sin?

(1-36)

ly=j：r-SLK0-y'ctxO

可得此時橢圓的參數方程

x="?cosgyus。~〃，sing,sin9

(1-37)

y=a,cos*,sinU+b?sin儀,cos5

令△伊=2兀/%其中〃為其內接多邊形的邊數,旋轉角儀從起始角

a旋轉至終止角,8處，這時其內接多邊形的第：點坐標是

<f>t=a?,平.i

<Xj~a'cos5,cas(fi-b,sin。?sin?(i=0,l,2,…，4)(1-38)

(y,-a?sing,cos傷+b-cos8,sinR

其第￡+1點坐標是

Jx；+1=(a?oas^)*cos(<p?A夕)~(^,sint?)*sin(^>-+4g)

tJ(1-39)

(汕」i=(a(衿+△—+(b?axif?),sin($>,?+Acp)

Ico?(仍+△$?)=cos△g'COS物-sinAg,sin價

而|sin(<f>i?>甲、=cos△3,sin^pr+InAg'cos弘

若設A-a?co姐，B=/Lsin6,C=a，sinO,D=?oose

EccsAa.E-sind中、S：=cos%,Rsin仍

則上述遞推公式可簡化為

5“=E￡-CT.

力?i=EF+F?S；

,_儀口，(f=0,1?…，”-I)(1-40)

工,-i-八A6.[-B?rr(,?

,??i=C?5：ji+D?7/

注意此時

So=c

T&=sina

(1-41)

xnA-&B,/'1)

No=C'-S(|?D?丁o

可見斷轉后的確圓其遞推公式并不簡單，它僅是把大量的三角函數運算轉化成實數運算

而已,但它卻是生成橢mi的基本公式之一;

設橢圓的圓心位于坐標系原點，我方程為

111T桶園的對稱性.因此只需時論在坐標系第-象限中橢園弧（順時針方向旋轉）的生成即nJ

達到畫一個完整橢圓的目的

對橢回方程進行微分，并令--1.得N點坐標

（元仔2*'潦1玄）.見圖J以根據橢網的性質.

對于俞橢㈱弧.顯然八〉0,△.、，＜0,且誓2?I.所以

W,\ANI.這就是說為了逼近而弧.各點的坐標步

進規律整X坐標每次推算加1,而坐標利會推算是圖1-9四分之一橢圓弧勺具分界點N

否減】由偏差判別式來確定。同理,逼近母弧的冬

點坐標步進規律是了坐標每次推算減I.而*也標是否加1中一偏差判別式來確定，

現對橢I劇方程進仃適當變形井?把它定義成函數4（1.））.有

4（1，3＞）色62比2+?2/_.“2,/（142）

可以發現：

當點3”，）位于橢圓之外時，函數〃（7,、＞＞0；

當點（工4?）位于橢圓之上時，函數d（*G）=0；

當點Q"）位于橢圓之內時，函數＜/（.r,,y）＜0.

首先解決八N弧封點偏差的遞推計算問題.

設第i-I點從病弧上方遇近煙潮I,根據中點偏差判別法則.這意味后第?：-1點的中點

偏差￡1<0.因此可得第？-1點與第r點的中點坐標,見圖I-10(a)o那么第i-1點與第r

點的中點偏M分別為

di?-<1(M,?尸t<r|MI2

dt一(I(M)=Z>?2；1+1產+a°a'b2

故&=dj-l4?4工，:『(:一？，??”)(I47)

設第￡1點從寂弧下方遇近橢圓，根據中點偏差判別法則，這意味有乩I》。，因此可

得第i-1點與第i點的中點坐標，見圖l”O(b)n那么第點與第i點的中點偏景分別為

44ytrb-

d,—b'(.；r,-i+1尸+a].y；?

2

故di=dt?la''y,?+2b''x,?+6(/=2,(148)

需要說明：對于U-47)與EL4于兩式中的2川.者_］運算,由于它發生于中點偏差遞推升

算的每步，因此可利用在速報過程中底次彳都加1這一機會,迭加格城以實現該運算;

而對于2“Z.y1運算.由于它僅發生在4RO.即》,=丫一I期間，因此可以利用當.y斌1

時,從常址2個、”(注意常員可能是一個巨型性數)中遞減常量2“？以實現該運算經

過這樣處理之后.遞推公式(1-47)'j(148)就只剩下簡單的加減法運弟了

AN強的初始條件：

由于梆圓晶從八（0.8）點處開蛀州點，所以.O.M,一〃.㈣第一點的中點坐標為MU1.

621相應俏三小為

出二標（1尸+儀4一告）

=Z>：a'h,n7Z4

對切，弧也挑行類似的處理并有納論：

當比iXiat

當M,?)n-!

?/)~d(i,2Zi"?.1t2M:?、？?tu(1-51)

NB啊勺初始條竹t

顯然茄，弧的起點應從X點處開始，僧、?點的坐標計算發朵目為耶惟數.使川極為小使.

可丐虛

芝(/尸+a2yz-(rfj2)~l>

科瓠第

4y___2bzjmIfRI-A'IMHVJfi

dr2a-y

令&;「2〃'/.d_y=2“'*.用有帖論："fAx—Ay

時，此時的.r.,V坐硬應于N點.；/A.r<Ay時，此時

的1?一坐料理應上而如；當Ar>生時.此時的」q，

弁一郎，森其\e>9l

生你對應「工6強乂因2方。燈2a〃的什尊在M菽

犯時已解決，皿里只常簡單比較一卜兩部的大小就健

達到糾斷所摭京派是否到達或雄過N點：出III倘定YHflt附切蠟條件

NB弧中點偏左初始的處理如F-

卿i-1點仍同余版,技眾弧的遞推公式推一

口』1點已超過N點.因此應把第，'點的中心M”的儡冷轉換成3%起點的中點以的就

卷.如陽LI1所示所以勺

M.融途：d,~b'[^xi?v4)十。'(乂17)'-a.(I52)

.%點偏Zhd'「人彳gi-I)'+u'(y,「J)a'b2(t?53)

故</,(7,*3((.''/r)/4-i：/?1??；?ir??*v,)

二￡廠卜3((？-。2)/4(Ar-Ay)/2(|-54)

當把式U-54)中的用作為篇弧巾點偏差的初始化并運用(150).(1-51),(145).(l-46)?q

式推笠.就旋到達.0)點處，從而'完成整個；而弧的繪制

1.4自由曲線的生成

所謂自由曲線，可以把它理解為曲線的形狀可由人們

隨意指定多個控制點（型值點、插值點）而確定。為了避免

高次曲線計算復雜，性能不穩定等缺陷，通常的做法是采

用分段的低次曲線來構造整條曲線，這樣的曲線稱為樣條

曲線。

自由曲線分兩類：

一類用于曲線的數值分析，它要求曲線準確地通過插

值點，這類曲線主要有三次樣條曲線與三次參數樣條曲線

等；

另一類用于曲線的綜合，它不要求曲線一定通過其控

制點，這類曲線主要有貝齊埃曲線與B樣條曲線等，它們

主要用于曲線、曲面的形狀設計中。

-次樣條函數的基本內容可表述如.

已知〃個型值點P（r,.x）,i=12…，，八且口<4<一<.（…苦>=53）滿足下列

條件：

①型僮點在函數.丫=凱工）上；

②SQ）在整個伏皿叫以上二次連續可導；

③在每個于國網［小T，/《；-1,27）l：,SCr）都是」的三次多項式"

則稱SJ）是過型然點的三次樣條函數，由三次樣條函數構成的曲線稱三次樣條曲線

由上述定義可知，5⑺在每個F區間二都站三次多期式，因此.第，段的、s.

（龍）可寫成

S,（x）=a,I/>,（?<?-^7）+C（J'.r,）2+C/,（J:.z；）1（I55）

其中.為特定系數二分段函數.S（r）與型值點/”,「之間的關系見圖112.

現用型值點處的二階導數來表達三次樣條函數二

由（155）式叮求得分段函數%（丁）的一階一階號數如F:

2

S1（M）=b,+2cf（.ra,）+3（/f（x,x；）

,S”,（i）=2*+6d,（f-&）

由于股值點匕（u,，M）在函數$上，即y=S（r,）.故

圖1-12分段函數總⑴與取值

.=加

點匕“」1之間的關系

考慮點處的二階導致去達式,有年（七）二2仃.今此時分

段函數S.{.r）仁型強點P,處的二階汴數為M,是另?待定系數，有

由于函數S"）二階導數連續，即第I段分段函數Sf在其終點處的二階導數等于第j+I

段分段函數S.7在其起點處的二階導數,見圖1-12,宥

,竽式即，1*=離,i（曲+r）

得4?=泰（C什I-。）=蔣2（由4+1-M；）

其中"i=H：11-4c

同理，由于函數5（H）是連續的，即第i段分段函數S；在其終點的函數值等于第￡+1段

分段函數字+i在其起點的函數值，有

把已求得的系數分別代入上式，得

■三土G+.那）丁斯（當七埠U）

則用型值點處二階導數表達的三次樣條函數為

Si⑺=%+看-與（必+^^卜％-的）

十學?（*一力/+自（Mr（1-56）

現可利用函數S（z）的一階導數連續來求解各型值點處的二階導數M：的數值c

乂=5。（工：）

令k=,%T._&-八__6/%+「yw-i）

Di

'11,-t+h,'內兒—+兒?~h1.l+hi\h,一）一.1

則有左?Mj-i+2?M+/vM,+j=D,（1-57）

注意,此時￡=2,3,…，（附—1）出+修=1。

（1-57）式稱為三次樣條函數S（H）的“M連續性方程"，它反映廣力學上的"三彎矩關系:

不難發現（1-57）式共有〃-2個線性方程，還不能惟一地求解出各型值點處的二階導數M.a

但如果在實際應用中，根據實際問題要求給出Mi與或-階導數等已知邊界條件,即在曲

纜兩端給出約束條件，就能惟一地求解出一組M：參數，從而惟一地確定過型位點的三次樣條

函數。

三次樣條曲線常用的邊界條件有夾持端、自由端、拋物端等三種，現分別敘述如下。

①夾持端：根據實際問題的需要限定曲線兩端的切線,即已知曲線在始端與終端的一階

導致3與京,從而給出約束M]與M”的約束條件,由于

S|（x1）=y'1

21

故2M|+M2=6（^-y；）Aq（1-58）

又S：

故Mn^2Mn=6（y\-）1hn..,（1-59）

加上這兩個條件與（I-57）式就能確定出惟一的一組H.G=；,2,3,…切）來二

②自由端：即曲線在始端與終端的二階導數為零，它說明曲線在始端與終端不受外力約

束,其切線方向僅受該曲線其他型值點的影響而變化。由于已知二階導數與Mn的大小,

則它與（1-57）式聯立在一起共有n個條件,能求解出惟一的一組=為了

使該已知條件與（1-57）式的表達形式相同，令

[l,M0+2?Mi+0?M2=2M]

10,M…42?M,+1-M/i=2M“（1?）

則Ma-i=0。

③拋物端：認為曲線在第1段S|（和第HI段S“|（工）（即末段）為拋物端、也就是此

二段曲線的二階導數為常數（非零），因此，令Ji?二“，即有

p-Mn+-2-M,-2Mi0

〕2iM”.廣2?M“+3?A4“，i=0(1-61)

為了簡化表達，將這:種邊界約束條件寫成統?表達式上述M連續性方

[2,M|+i）i程是由型值點處

(1-62)

["?陸-1+2?1討產。一階導數連續而

表11三次樣條曲線的邊界約束條件導出的，它反映

邊界條件九了相鄰型值點處

央持用產1=1.七二1二階導數的關系。

如果在推導型值

自由端，“廣。區=0D「2MI,D“=2M“，其中JW：M..-0

他物端2兒=2D|O.D?0點關系式時改用

把這三個邊界條件與（I-57）式結合在一起即構成?個完整的線性方程組,可川矩陣表示s”M（x尸

如下

作為條件，可以

2”[Mi-Dr

類似地推導出反

入22/0M5

2映相鄰型值點處

432”3M力3

3zsz(163)

??????……一階導數關系的

0h-12/G-1M,..?D,m連續性方程式。

兒

L2,一M“.從

山JYI-63）式是一個主對角線元素為2且占優的矩陣，因此它存在裱一解

①用n個型值點a逼近一條已知曲線且滿足其*坐標遞增這一條件；

②根據實際情況確定曲線的邊界條件；

③求解M.的值，用追趕法求解而不用一般的消元法，這樣能節省大量的時間和存儲空

間。

④將求解出的M分段代人s,a）的表達式中。按照繪圖要求，計算各段內的若干插值點,

并依次用直線相連，可畫出所求的三次樣條曲線。

①由于它要求嚴格保證其…V/，這就決定了該曲線不能繪制具有垂直切線之

類的曲線。

②如果用三次樣條曲線代替人工放樣，當曲線的導數曠區1時，這兩者吻合的效果較好;

但當其曠|>1時，雖然三次樣條曲線過指定的型值點并保證其二階導數連續，但它仍與

人工放樣所畫出的曲線有較大的差異。

③當曲線中夾有直線時，如直線與圓弧的接合處，如硬要讓其保證二階導數連續，則

將使直線或曲線產生波動。解決這個問題的方法是采用分段擬合，找出直線與圓弧之

間的切點和切點處的斜率，把該切點作為型值點，其斜率作為樣條曲線的邊界條件，

分段繪出直線與曲線。顯然此時切點處只能保證兩者一階導數連續，而不能保證二階

導數連續。

給定9個型值點：(0,0),(45,71),(90,

100),(135,71),(180,0),(225,-71),(270,

-100),(315,-71),(360,0),畫出過這組型值

點的三次樣條曲線。

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