第02講探索平行線的性質課前鞏固平行線的判定判定方法1：同位角相等，兩直線平行．判定方法2：內錯角相等，兩直線平行．判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行．平行線的性質性質1：兩直線平行，同位角相等；性質2：兩直線平行，內錯角相等；性質3：兩直線平行，同旁內角互補.注：根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質還有：（1）若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內，且沒有公共點．（2）如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直．考點剖析（平行的性質證同位角相等）例1：如圖，，，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握“兩直線平行，同位角相等”．根據“兩直線平行，同位角相等”即可求解．【詳解】解：如圖，，，，故選：B．變式11：如圖，把一個直角三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，若，則．

【答案】/40度【分析】根據平行線的性質求得，再根據平角的概念即可求得．【詳解】解：如圖，

直尺的兩邊互相平行，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的性質，平角的概念，掌握以上知識是解題的關鍵．變式12：填空：如圖，在四邊形中，分別于、相交于點、，，試說明．

解：∵，∴________(____________________)，又∵，∴________(____________________)，∴________(____________________)．【答案】1；2；兩直線平行，內錯角相等；2；3；兩直線平行，同位角相等；1；2；等量代換．【分析】根據平行線的性質和等量代換即可解答．【詳解】∵，∴(兩直線平行，內錯角相等)，又∵，∴(兩直線平行，同位角相等)，∴(等量代換)．故答案為：1；2；兩直線平行，內錯角相等；2；3；兩直線平行，同位角相等；1；2；等量代換．【點睛】題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．（平行的性質證內錯角相等）例2：如圖，由，可以得到（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據平行線的性質即可得到結論，此題考查了平行線的性質，熟知“兩直線平行，內錯角相等”是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，故選：D．變式21：如圖，已知，直角三角板的直角頂點在直線a上，若，則等于．【答案】/50度【分析】本題考查的是平行線的性質以及垂線的定義的運用．先利用余角的性質求得，再根據“兩直線平行，內錯角相等”可求得的度數．【詳解】解：如圖，∵直角三角板的直角頂點在直線a上，，∴，∵，∴，故答案為：．變式22：如圖，已知，，，問與的關系，并說明理由．【答案】，理由見解析【分析】根據平行線的性質，即可進行解答．【詳解】解：∵，與是直線和直線是被直線所截形成的內錯角，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等．（平行的性質證同旁內角互補）例3：如圖，，直線經過點C，已知，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據兩直線平行，同旁內角互補得到，再利用平角解題即可．【詳解】解：∵，∴，又∵，∴，∴，故選B．【點睛】本題考查平行線的性質，掌握兩直線平行，同旁內角互補是解題的關鍵．變式31：如圖，直線，被直線所截，，，則的度數為．

【答案】/45度【分析】根據平行線的性質，兩直線平行，同旁內角互補，即可解答．【詳解】解：，，，故答案為：【點睛】本題考查了平行線的性質，熟知三個性質：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補，是解題的關鍵．變式32：如圖，已知AB∥CD，∠A=60°，∠ECD=120°，求∠ECA的度數．【答案】∠ECA的度數為120°．【分析】利用平行線的性質定理可得∠ACD=120°，易得結果．【詳解】解：∵AB∥CD，∠A=60°，∴∠A+∠ACD=180°，∴∠ACD=120°，∵∠ECD=120°，∴∠ECA=360°∠ECD∠ACD=360°120°120°=120°，故∠ECA的度數為120°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟練掌握性質定理是解答此題的關鍵．（平行的性質與判定混合運用）例4：如圖，已知，，求證：，請補充完成下面證明過程．

證明：（已知）（①_______）②_______（同角的補角相等）③_______（內錯角相等，兩直線平行）（④_______）（⑤_______）（已知）（⑥_______）⑦_______（⑧_______）（兩直線平行，同位角相等）【答案】①鄰補角的定義；②；③；④；⑤兩直線平行，內錯角相等；⑥等量代換；⑦；⑧同位角相等，兩直線平行；【分析】本題考查的是平行線的判定與性質，先證明，可得，可得，結合，可得，證明，可得．【詳解】證明：∵，∵（鄰補角的定義），∴（同角的補角相等）．∴（內錯角相等，兩直線平行）．∴（兩直線平行，內錯角相等）．又∵（已知），∴（等量代換）﹒∴（同位角相等，兩直線平行）．∴（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：①鄰補角的定義；②；③；④；⑤兩直線平行，內錯角相等；⑥等量代換；⑦；⑧同位角相等，兩直線平行．變式41：已知，如圖，，，，求的度數.【答案】40度【分析】本題考查了平行線的性質及判定，熟練掌握平行線的性質及判定是解題的關鍵．由可得，再由，通過角之間的轉化，即可求出的度數．【詳解】解：又又變式42：如圖，在中，、分別是、上的點，、是上的點，連接、、，，．

(1)說明：；(2)若，，說明：是的平分線．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先利用平行線的性質及得到與的關系，再利用平行線判定定理說明；（2）利用與的關系先求出，再利用求出，最后說明是的平分線．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，∵，∴，∴，∴是的平分線．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定，掌握“兩直線平行，同旁內角互補”、“兩直線平行，同位角相等”、“內錯角相等，兩直線平行”及鄰補角的定義是解決本題的關鍵．過關檢測選擇題（共6題，每題4分）1．如圖，直線，，則A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平行線的性質，兩直線平行內錯角相等，即可求得答案．【詳解】解：∵，，∴．故選：B．2．如圖，直線，若，則是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題主要考查了平行線的性質的運用，利用平行線的性質得出，再利用鄰補角的定義得出即可，熟練利用平行線的性質是解題關鍵．【詳解】如圖，∵直線，∴，∵，∴，故選：．3．如圖，下列條件中，能判定的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了平行線的判定定理，根據平行線的判定定理即可作出判斷．【詳解】解：A.，不能判定，故該選項不正確，不符合題意；B.∵，∴，故該選項正確，符合題意；

C.∵，∴，故該選項不正確，不符合題意；D.，∴，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．4．如圖，，EF分別截于點E，F，連結，則下列結論錯誤的是(

)AIA． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質．利用平行線的性質對各項進行分析即可．【詳解】，，，，故A結論正確，不符合題意；，，，故C結論正確，不符合題意；，，，，，故D結論正確，不符合題意；無法求得，故B結論錯誤，符合題意．故選：B．5．如圖，將長方形沿折疊，使點落在點處，點落在邊上的點處，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由平角的定義可得，再由折疊可知，最后根據平行的性質即可求解．【詳解】解：，，由折疊可知，在長方形中，，，故選：D．【點睛】本題考查長方形的折疊，平角的定義，平行的性質，理解折疊性質找到相等的角是關鍵．6．如圖，，平分，平分，，下列結論：①平分；②；③；④，其中正確結論的個數是（

）．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】A【分析】本題考查了平行線的性質和判定，垂直定義，角平分線定義．根據平行線的性質和判定，垂直定義，角平分線定義進行判斷即可．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，平分，故①正確；∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∴，∵，∴，故③正確；∴，故④正確；綜上，①②③④都正確；故選：A．填空題（共8題，每題4分）7．已知，，三點及直線，過點作，過點作，那么，，三點一定在同一條直線上，依據是.【答案】經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行【解析】略8．如圖，，分別與，相交于點和點，平分，且，則．【答案】/80度【分析】本題考查了平行線的性質，根據，可得；由角平分線可得，據此即可求解．【詳解】解：∵，，∴∵平分，∴∵，∴故答案為：9．如圖，，若，則．【答案】/度【分析】本題主要考查了平行線的性質，根據兩直線平行，同位角相等先求出，進而得到．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，故答案為：．10．如圖，小明從A出發沿北偏東方向行走至B處，又沿北偏西方向行走至C處，此時需把方向調整到與出發時一致，則方向的調整應是右轉°．

【答案】【分析】本題考查了方位角的概念，以及根據平行線的性質求角的度數．求出，根據，即可求解．【詳解】解：如圖所示：由題意得：，，∵，∴，，∵在C處需把方向調整到與出發時一致，∴，，∴故答案為：．11．如圖，，，，，于點，則的度數是．【答案】/27度【分析】本題考查了平行線的性質，過“拐點”作平行線構造截線是解題關鍵．作，，可推出；根據，可求；根據，可求，據此即可求解．【詳解】解：作，，如圖所示：∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故答案為：12．與的兩邊分別平行，且的度數比的度數的多，則的度數為．【答案】或【分析】本題考查了平行線的性質，由和的兩邊分別平行，利用平行線的性質可以得出或結合的度數比度數的多，即可求出的度數.【詳解】解：和的兩邊分別平行，的度數比的度數的多，即將分別代入得：或故答案為：13．一副直角三角尺如圖1疊放，現將含的三角尺固定不動，將含的三角尺繞頂點A順時針轉動，要求兩塊三角尺的一組邊互相平行．如圖2，當時，有一組邊，再繼續轉動三角尺的過程中，請你寫出符合要求的（）的度數是度．【答案】或或【分析】本題考查的是平行線的判定與性質，根據題意畫出圖形，再由平行線的判定定理即可得出結論．【詳解】解：當時，；當時，∵，∴；

當時，∵，∴．

綜上所述，的度數為或或；故答案為：或或．14．已知：如圖，，的平分線與的平分線交于點M，，，，則．【答案】/88度【分析】本題考查平行線的性質、角平分線的定義等，解題的關鍵是會添加常用輔助線（即過“拐點”作平行線），一般而言，有幾個“拐點”就需要作幾條平行線，從而利用“拐點”模型的基本結論解決問題；過點、、分別作，根據平行線的傳遞性得出，再根據兩直線平行內錯角相等以及角平分線的定義即可求解；【詳解】過點、、分別作，∵，，平分，平分，，，，，，，故答案為：．解答題（共5題，前三題每題8分，后兩題每題10分）15．如圖，試說明．【答案】見解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質，根據平行線的判定與性質直接證明即可．熟知關于平行線的判定與性質是解本題的關鍵．【詳解】證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴．16．如圖，平分，，，則也是的平分線，完成下列推理過程．

證明：是的平分線（已知），（）．（已知），（）．（）．又（已知），（）．（）．（）．【答案】角平分線的性質；兩直線平行，內錯角相等；，等量代換；，，內錯角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等等量代換【分析】先利用角平分線定義得到，再根據平行線的性質由得，則，接著由可判斷，則利用平行線的性質得，所以，從而得到結論．【詳解】證明：是的平分線（已知），（角平分線的性質）．（已知），（兩直線平行，內錯角相等）．（等量代換）．又（已知），（內錯角相等，兩直線平行）．（兩直線平行，同位角相等）．（等量代換）．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，熟記“內錯角相等，兩直線平行”及“兩直線平行，內錯角相等”、“兩直線平行，同位角相等”是解題的關鍵．17．如圖，于，點是上任意一點，于，且(1)求證：；(2)求的度數．【答案】(1)見詳解(2)【分析】本題考查了平行線的判定和性質，解答此題的關鍵是注意平行線的性質和判定定理的綜合運用．（1）由，則，則，從而證得，即；（2）由，即可得到．【詳解】（1）∵，（2）∵，18．問題情景：如圖1，．(1)觀察猜想：若，．則的度數為__________．(2)探究問題：在圖1中探究，、與之間有怎樣的等量關系？并說明理由．(3)拓展延伸：若將圖1變為圖2，題設的條件不變，此時、與之間有怎樣的等量關系？并說明理由．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】本題主要考查了平行線的性質與判定，熟知兩直線平行，內錯角相等，兩直線平行同旁內角互補是解題的關鍵．（1）過點P作，則，根據兩直線平行，內錯角相等得到，則；（2）同（1）求解即可；（3）過點P作，則，根據平行線的性質得到，再證明，即可得到．【詳解】（1）解：如圖所示，過點P作，∵，，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：如圖所示，過點P作，∵，，∴，∴，∴；（3）解：，理由如下：如圖所示，過點P作，∵，，∴，∴，∵，∴，∴．19．已知，如圖，與交于點O(1)如圖1，若，求證：(2)如圖2，若