2025屆江西省贛州市寧都縣寧師中學數學高二上期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在直三棱柱中，，，則直線與所成角的大小為（）A.30° B.60°C.120° D.150°2．觀察下列各式：，，，，，可以得出的一般結論是A.B.C.D.3．在正方體中，與直線和都垂直，則直線與的關系是（）A.異面 B.平行C.垂直不相交 D.垂直且相交4．圓關于直線l：對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.5．如圖，和分別是雙曲線的兩個焦點，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且是等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．已知橢圓的兩焦點分別為，，P為橢圓上一點，且，則的面積等于（）A.6 B.C. D.7．《九章算術》是我國古代的數學巨著，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（大夫爵位最高，爵位依次從高變低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數成等差數列，問這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若公士出28錢，則不更出的錢數為（）A.14 B.20C.18 D.168．在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.不確定9．下列結論正確的個數為（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則A.4 B.3C.2 D.110．數列滿足，，，則數列的前8項和為（）A.25 B.26C.27 D.2811．雙曲線型自然通風塔外形是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所成的曲面，如圖所示，它的最小半徑為米，上口半徑為米，下口半徑為米，高為24米，則該雙曲線的離心率為（）A.2 B.C. D.12．平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（）A.，平行 B.，垂直C.，重合 D.，相交不垂直二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線：的焦點的直線交于，兩點，若，則線段中點的橫坐標為______14．若等比數列滿足，則的前n項和____________15．已知數列滿足，，則使得成立的n的最小值為__________.16．拋物線的焦點坐標為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一個長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請將字母F，G，H標記在長方體相應的頂點處（不需說明理由）：（2）若且有下面兩個條件：①；②，請選擇其中一個條件，使得DF⊥平面，并證明你的結論18．（12分）在平面直角坐標系內，橢圓E：過點，離心率為（1）求E的方程；（2）設直線（k∈R）與橢圓E交于A，B兩點，在y軸上是否存在定點M，使得對任意實數k，直線AM，BM的斜率乘積為定值？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由19．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）已知直線，，，其中與交點為P（1）求過點P且與平行的直線方程；（2）求以點P為圓心，截所得弦長為8的圓的方程21．（12分）已知橢圓的短軸長是2，且離心率為（1）求橢圓E的方程；（2）已知，若直線與橢圓E相交于A，B兩點，線段AB的中點為M，是否存在常數，使恒成立，并說明理由22．（10分）求下列不等式的解集：（1）；（2）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據三棱柱的特征補全為正方體，則，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形即可得解.【詳解】根據直三棱柱的特征，補全可得如圖所示的正方體，易知，為直線與所成角，連接，則為等邊三角形，所以，所以直線與所成角的大小為.故選：B2、C【解析】1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，…，由上述式子可以歸納：左邊每一個式子均有2n-1項，且第一項為n，則最后一項為3n-2右邊均為2n-1的平方故選C點睛：歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）3、B【解析】以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，根據向量垂直的坐標表示求出，再利用向量的坐標運算可得，根據共線定理即可判斷.【詳解】設正方體的棱長為1.以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則.設，則，取.，.故選：B【點睛】本題考查了空間向量垂直的坐標表示、空間向量的坐標表示、空間向量共線定理，屬于基礎題.4、A【解析】首先求出圓的圓心坐標與半徑，再設圓心關于直線對稱的點的坐標為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標，從而求出對稱圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設圓心關于直線對稱的點的坐標為，則，解得，即圓關于直線對稱的圓的圓心為，半徑，所以對稱圓的方程為；故選：A5、D【解析】解：，設F1F2=2c，∵△F2AB是等邊三角形，∴∠AF1F2==30°，∴AF1=c，AF2=c，∴a=(c-c)2，e=2c(c-c)=+1，故選D6、B【解析】根據橢圓定義和余弦定理解得，結合三解形面積公式即可求解【詳解】由與是橢圓上一點，∴，兩邊平方可得，即，由于，，∴根據余弦定理可得，綜上可解得，∴的面積等于，故選：B7、D【解析】根據題意，建立等差數列模型，結合等差數列公式求解即可.【詳解】解：根據題意，設每人所出錢數成等差數列，公差為，前項和為，則由題可得，解得，所以不更出的錢數為.故選：D.8、C【解析】由正弦定理得出，再由余弦定理得出，從而判斷為鈍角得出的形狀.【詳解】因為，所以，所以，所以的形狀為鈍角三角形.故選：C9、D【解析】根據常數函數的導數為0，可判斷①；根據冪函數的求導公式，可判斷②；根據指數函數以及對數函數的求導公式，可判斷③④.【詳解】由得：，故①錯誤；對于，，故，故②正確；對于，則，故③錯誤；對于，則，故④錯誤，故選：D10、C【解析】根據通項公式及求出，從而求出前8項和.【詳解】當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，則數列的前8項和為.故選：C11、A【解析】以的中點О為坐標原點，建立平面直角坐標系，設雙曲線的方程為，設，，代入雙曲線的方程，求得，得到，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】以的中點О為坐標原點，建立如圖所示的平面直角坐標系，則，設雙曲線的方程為，則，可設，，又由，在雙曲線上，所以，解得，，即，所以該雙曲線的離心率為.故選：A.第II卷12、B【解析】根據可判斷兩平面垂直.【詳解】因為，所以，所以，垂直.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據題意，作出拋物線的簡圖，求出拋物線的焦點坐標以及準線方程，分析可得為直角梯形中位線，由拋物線的定義分析可得答案【詳解】如圖，拋物線的焦點為，準線為，分別過，作準線的垂線，垂足為，，則有過的中點作準線的垂線，垂足為，則為直角梯形中位線，則，即，解得.所以的橫坐標為故答案為：14、##【解析】由已知及等比數列的通項公式得到首項和公比，再利用前n項和公式計算即可.【詳解】設等比數列的公比為，由已知，得，解得，所以.故答案為：15、11【解析】由題設可得，結合等比數列的定義知從第二項開始是公比為2的等比數列，進而寫出的通項公式，即可求使成立的最小值n.【詳解】因為，所以，兩式相除得，整理得.因為，故從第二項開始是等比數列，且公比為2，因為，則，所以，則，由得：，故故答案為：11.16、【解析】根據拋物線方程求得p，則根據拋物線性質可求得拋物線的焦點坐標．解：拋物線方程中p=2，∴拋物線焦點坐標為（-1，0）故填寫考點：拋物線的簡單性質點評：本題主要考查了拋物線的簡單性質．屬基礎題三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）由展開圖及直觀圖直接觀察可得；（2）選擇②，根據線面垂直的判定定理即可證明DF⊥平面.【小問1詳解】如圖，【小問2詳解】若選擇①，若此時有平面，則由平面可得，而平面，而平面，故，因為，則平面，由平面可得，故此時矩形為正方形，，矛盾.選擇條件②，使得平面，下面證明如圖，連接,在長方體中，平面，而平面，故，而，故矩形為正方形，故，而，故平面，而平面，故，同理，又,所以平面.18、（1）（2）存在，或者【解析】（1）由離心率和橢圓經過的點列出方程組，求出，得到橢圓方程；（2）假設存在，設出直線，聯立橢圓，利用韋達定理得到兩根之和，兩根之積，結合斜率乘積為定值得到關于的方程，求出答案.【小問1詳解】由題可得，，①由，得，即，則，②將②代入①，解得，，故E的方程為【小問2詳解】設存在點滿足條件記，由消去y，得．顯然，判別式＞0，所以，，于是＝＝＝上式為定值，當且僅當，解得或此時，或所以，存在定點或者滿足條件19、（1）證明見解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質，證得平面，進而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因為二面角為銳角，則二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：二面角大小求解時要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角20、（1）；（2）.【解析】（1）首先求、的交點坐標，根據的斜率，應用點斜式寫出過P且與平行的直線方程；（2）根據弦心距、弦長、半徑的關系求圓的半徑，結合P的坐標寫出圓的方程.【小問1詳解】聯立、得：，可得，故，又的斜率為，則過P且與平行的直線方程，∴所求直線方程為.【小問2詳解】由（1），P到的距離，∴以P為圓心，截所得弦長為8的圓的半徑，∴所求圓的方程為.21、（1）；（2）存在，理由見解析.【解析】(1)利用離心率，短軸長求出a，b，即可求得橢圓方程.(2)聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理計算