限時練習：30min完成時間：月日天氣：寒假作業14角中的動態問題一、常用解題方法動角問題作為壓軸題，難度系數比較大，一般解題方法：①化動為靜，分類畫圖；②轉化為常見角度計算題型.二、旋轉動角問題一般采用三步解題技巧：①找：根據題意找到目標角度；②表：表示出目標角度.常見類型如下：1)角度一邊動另一邊不動，角度變大：目標角=起始角+速度×時間；2)角度一邊動另一邊不動，角度變?。耗繕私?起始角速度×時間；3)角度一邊動另一邊不動，角度先變小后變大：變?。耗繕私?起始角速度×時間變大：目標角=速度×時間起始角③列：根據題意列方程求解.三角板有兩種，一種是等腰直角三角板(90°、45°、45°)，另一種是特殊角的直角三角板(90°、60°、30°)．三角板的旋轉中隱藏的條件就是上面所說的這幾個特殊角的角度．1．將一副三角板的直角頂點重合放置于處（兩塊三角板可以在同一平面內自由轉動），下列結論一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】A.∵，而和不一定相等，∴不一定成立，不符合題意；B.∵，而的值不固定，∴不一定成立，不符合題意；C.，即一定成立，符合題意；D.由題意得，而不一定成立，不符合題意.故選C．2．已知O是直線上的一點，，平分．如圖，與在直線的同側，我們探究一下與的數量關系：

(1)填表，當取不同度數時，請計算出的度數，并填寫到下列表格中；20°35°…………(2)猜想，若，求的度數（用含有的式子表達），并說明理由．【解析】（1）解：因為，所以，因為平分，所以，∴當時，，當時，，當時，，故答案為：40°，70°，；（2）解：因為，所以，因為平分，所以，∴．3．如圖1，一直角三角尺的直角頂點在直線上，一邊在射線上，另一邊在直線的上方，將直角三角尺在平面內繞點順時針旋轉，且平分，平分，如圖2．(1)如圖2，當時，①求和的度數；②求的度數．(2)在直角三角尺旋轉過程中，設，若，則①求和的度數（用含的代數式表示）；②的度數是否發生變化，請通過計算說明理由．【解析】（1）①，由題意得，是直角三角形，，；②平分，，平分，，∴；（2）①當時，，是直角三角形，，；當時，，是直角三角形，，；②當時，平分，，平分，，∴，∴的度數沒有發生變化；當時，平分，，平分，，∴，∴的度數沒有發生變化．4．已知直線，O是上的一個定點．點A是直線下方的一個動點，作射線及的角平分線，點C與點A在直線的兩側，點D在線段的延長線上．(1)若，，在下圖中補全圖形，并求出的大??；

(2)射線是的角平分線；①如下圖，當時，用等式表示與的數量關系，并證明；

②當，且時，直接寫出的度數．

【解析】（1）解：補全圖形如圖所示，

∵，是的角平分線，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：①，理由如下，設，，

∵是的角平分線，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∴；②設，，

∵，∴，∴，是的角平分線，∴，，∵是的角平分線，∴，即，解得，∴．5．如圖1，點為直線上一點，過點作射線，使．將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的上方．(1)在圖1中，______．(2)將圖1中的三角板繞點按逆時針方向旋轉，使得在的內部，如圖2．若，求的度數．(3)在旋轉過程中，若三角板在直線的上方，則與始終保持的數量關系是______．并請說明理由．【解析】（1）解：根據題意可得，，∵，且，∴，故答案為：．（2）解：∵，∴，∵，∵，∴，∴，解得，，∴，∴的度數為．（3）解：，理由如下，在旋轉過程中，若三角板在直線的上方，，，①如圖所示，在內部，∵，則，，則，∴，∴；②如圖所示，在外部，∴，則，，則，∴，∴；綜上所述，，故答案為：．6．如圖1，已知線段，，線段在線段上運動（點不與點重合），點、分別是、的中點．

(1)若，則__________．(2)當線段在線段上運動時，試判斷線段的長度是否會發生變化？如果不變，請求出線段的長度；如果變化，請說明理由．(3)我們發現角的很多規律和線段一樣，如圖2，已知在內部轉動，、分別平分和．類比以上發現的線段的規律，若，，求的度數．【解析】（1）解：，，，，點、分別是、的中點，，，，故答案為：22；（2）解：線段的長度不會發生變化；理由如下：∵點、分別是、的中點，∴，，∴；（3）解：∵、分別平分和，∴，，∴．7．如圖，已知，射線繞點從位置開始，以每秒的速度順時針旋轉；同時，射線繞點從位置開始，以每秒的速度逆時針旋轉，并且當與成角時，與同時停止旋轉．則在旋轉的過程中，經過秒，與的夾角是．

【答案】或【解析】設秒后，與的夾角是，如圖，

，∴，，∵，∴，即有，解得：，如圖，

∴，，∵，∴，即有，解得：，綜上可知：或，與的夾角是，故答案為：或．8．一副三角板與如圖擺放，且，，，平分，平分．當三角板繞點順時針旋轉（從圖到圖）．設圖、圖中的的度數分別為，，度．

【答案】105【解析】如圖1：

∵，，，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；如圖2：

∵，，，∴，，∵平分，平分，∴，，∵，即，∴；∴；故答案為：105．9．已知，過頂點O作射線，且平分，平分．

(1)如圖，若在內．①當平分時，的度數為;②當時，求的度數．(2)嘉嘉說∶“若在內旋轉，因為和的度數不能確定，所以的度數不能計算．”琪琪說∶“你說的不對，的度數能算到，且的度數不變．”請你判斷嘉嘉和琪琪誰的說法正確，并說明理由(3)若射線從出發繞點O順時針旋轉（旋轉角小于），請直接寫出的度數．【解析】（1）①∵，平分，∴，∵平分，∴；故答案為：；②∵，，∴．∴．∵平分，∴；（2）琪琪的說法正確，嘉嘉的說法不正確，理由如下：∵平分，平分，∴，，∴；（3）設旋轉角為，①當時，如圖，

∵平分，平分，∴．∵，，∴；②當時，在的下方，如圖，

∵平分，平分，∴．∵，，∴.10．已知數軸上兩點之間的距離可以用右邊的點表示的數減去左邊的點表示的數來計算．如圖，數軸與數軸交于原點，且所夾銳角是．點，在數軸上，點，在數軸上．已知點是數軸上的一個動點，點是數軸上的一個動點，點，表示的數分別是，點，表示的數分別是．若點表示的數為，點表示的數為．請完成下列問題：

(1)當點運動到與點，的距離相等時，______；當點運動到與點，的距離相等時，______；(2)當點運動到與點的距離是它到點的距離的2倍，點運動到與點的距離是它到點的距離的2倍時，試求出，的值；(3)在（2）的條件下，若數軸以每秒的速度繞點逆時針旋轉，請直接寫出第秒時，的度數．（用含的式子表示）【解析】（1）解：由題意，得：，解得：；，解得，故答案為：;（2）當點在點左側時：，解得：；當點在點右側時：，解得：；綜上：或；當點在點上方時：，解得：；當點在點下方時：，解得：；綜上：或；（3）設第秒時，數軸轉到了如圖所示的位置，點，點轉到，點轉到，

由圖可知：，；綜上：或．11．已知：．(1)如圖1，若．①寫出圖中一組相等的角（除直角外）__________，理由是________________．

②那么_________．(2)如圖2，與重合，若，將繞點O以5度/秒的速度作逆時針旋轉，運動時間為t（）秒．①當t=______秒時，平分；②試說明：當t為何值時，？【解析】（1）解：①∵，∴，，∴（同角的余角相等）．故答案為：，同角的余角相等；②∵，∴．故答案為：180；（2）解：①根據題意，得，即，解得．故答案為：6；②當在的內部時，∵，∴，解得；當在的外部時，∵，∴，解得，綜上，t為或20時，12．已知，從的頂點引出一條射線，射線在的內部，將射線繞點逆時針旋轉形成．

(1)如圖1，若，比較和的大小，并說明理由；(2)作射線，射線為的平分線，設．①如圖2，當，若射線恰好平分，求的度數；②當時，請探究與之間的數量關系．【解析】（1）解：，理由如下：，，，又，，；（2）①恰好平分，，，為的平分線，，，，，，；②分情況討論：當時，

，，為的平分線，，，；當時，

，，為的平分線，，，；綜上所述，．13．已知，，平分，平分．

(1)如圖1，當，重合時，求的值；(2)如圖2，當從圖1所示的位置開始繞點以每秒的速度順時針旋轉．在旋轉過程中，的值是否會因的變化而變化？若不變化，請求出該定值；若變化，請說明理由；(3)在（2）的條件下，求當旋轉多少秒時，．【解析】（1）解：因為平分，平分，所以，．所以；（2）解：的值是定值．根據題意，得：，則，．因為平分，平分，所以，，所以；（3）解：根據題意，得，所以，解得，所以當旋轉時，．14．如圖1，已知繞點在的內部轉動，平分，平分．

(1)如圖2，當與重合時，求的度數；(2)請判斷的大小是否隨的位置的變化發生改變？并說明理由；(3)當時，求的度數．【解析】（1）解：如圖所示，，與OA重合，，平分，

，平分，，∵平分，，．（2）解：不會隨的運動而改變大小，理由如下：平分，，平分，，，不會隨的運動而改變大小．（3）解：∵，由（2）可知，，，或，，或，解得或，或，∴的度數為或．15．將一副三角板如圖1放置（，，，），在、（、）內作射線、，且，，將三角板繞著點順時針旋轉．(1)如圖1，當點、A、在一條直線上時，______；(2)如圖2，若旋轉角為（），的度數是否會發生改變？若不變，求其值；若變化，說明理由．(3)如圖3，當三角板旋轉到內部時，求的值．【解析】（1）解：∵點、A、在一條直線上，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；故答案為：；（2）解：的度數不發生改變，且；∵旋轉角為，∴，，∵，，∴，，∴；（3）解：當三角板旋轉到內部時，，，∵，，∴，，∴，∴．16．熟悉又陌生的三角尺．

(1)如圖1，將兩塊直角三角尺的直角頂點疊放在一起，．①若，則______；若，則_______；②猜想與的數量關系并驗證．(2)如圖2，這是兩個同樣的直角三角尺銳角的頂點重合在一起，則與的數量關系為_______；(3)已知，（都是銳角），如圖3，若把它們的頂點重合在一起，請直接寫出與的數量關系．【解析】（1）①∵∴∵∴∵∴∵∴故答案為：，；②猜想得（或與互補），理由：∵∴∴；故答案為：（2），理由如下：由于，故；故答案為：（3），理由：∵∴，即，∴．故答案為：17．已知：如圖1，點A，O，B依次在直線上，現將射線繞點O沿順時針方向以每秒的速度旋轉；同時射線繞點O沿逆時針方向以每秒的速度旋轉．如圖2，設旋轉時間為t秒（）．下列說法正確的是（

）A．整個運動過程中，不存在的情況B．當時，兩射線的旋轉時間t一定為20秒C．當t值為36秒時，射線恰好平分D．當時，兩射線的旋轉時間t一定為40秒【答案】C【解析】由題意知，；當時，；當時，；令，即，解得秒，∴存在的情況；故A錯誤，不符合題意；令，即，解得秒，令，即，解得秒，∴當時，兩射線的旋轉時間t不一定為20秒；故B、D錯誤，不符合題意；當時，，∴，∵，∴射線恰好平分，故C正確，符合題意.故選C．18．定義：從一個角的頂點出發，把這個角分成1:2兩個部分的射線，叫做這個角的三分線，一個角的三分線有兩條．如圖1，，則是的一條三分線．(1)如圖1，若，則；(2)如圖2，若，，是的兩條三分線，且．①；②若以點為中心，將順時針旋轉（）得到，當恰好是的三分線時，的值為．【解析】（1），，，故答案為：；（2）①如圖2，是的一條三分線，且，，，；故答案為：；②分兩種情況：如圖，當是的三分線，且時，，，，；當是的三分線，且時，，，.綜上所述，或．19．已知，是內部的一條射線，且．

(1)如圖1所示，若，平分，平分，求的度數；(2)如圖2所示，是直角，從點O出發在內引射線，滿足，若平分，求的度數；(3)如圖3所示，，射線，射線分別從出發，并分別以每秒和每秒的速度繞著點O逆時針旋轉，和分別只在和內部旋轉，運動時間為t秒．①直接寫出和的數量關系；②若，當時，求t的值．【解析】（1）解：∵，∴，∵平分平分，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（3）解：①∵，∴，∴，由題意得：，∴，，∴；②由①知，，∵，∴，∵，，∴，把代入得：，解得，∴若，當時，．20．在數學實踐活動課上，“卓越”小組準備研究如下問題：如圖，為直尺的一條邊，四邊形為一正方形紙板（、、、均為直角）.(1)【操作發現】如圖①，小組成員小方把正方形的一條邊與重合放置，劉老師在與同學們交流研討時又做出了的平分線，交正方形的邊于點．則此時的度數為______；與的度數之間的關系為______．(2)【問題探究】受小方同學的啟發，小組成員小麗將正方形紙板按如圖②放置，若此時記的度數為，其他條件不變，請幫小麗同學探究：與的度數之間的關系是否發生改變，并說明理由．(3)【拓展延伸】組內其他同學也都繼續探索，將正方形按如圖③放置，劉老師同樣做出了的平分線，請直接寫出與的度數之間的關系．【解析】（1）解：如圖，四邊形為正方形，，，平分，，；故答案為：，；（2）解：與的度數之間的關系沒有發生改變．理由如下：如圖，，，平分，，，即；（3）解：如圖，的平分線為，，，，，．21．綜合與實踐【問題發現】在數學探究課上，王老師帶領同學們結束角平分線的探究后，安排同學們自主探究角的三等分線．小明進行了如下探究，如圖①，若射線，是的三等分線，則稱更靠近邊的射線是射線的“友好線”，靠近邊的射線是射線的“友好線”．(1)如圖②，，射線是射線的友好線，求的度數．(2)【問題探究】如圖③，，射線與射線重合并繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉，與射線重合時停止．問旋轉幾秒后，是的“友好線”．(3)【問題拓展】如圖④，，射線，分別與射線，重合，射線繞點O以每秒的速度逆時針方向旋轉，同時射線繞點O以每秒的速度順時針方向旋轉，是否存在某一刻恰好是的“友好線”，若存在，求出時間t；若不存在，請說明理由．【解析】（1）解：∵，∴當射線是射線的“友好線”時，．（2）解：∵，∴當是的“友好線”時，，∴，∴旋轉時