專題36圓中的重要模型之輔助線模型（八大類）在平面幾何中，與圓有關的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養學生的創造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關題目中，不要忽略隱含的已知條件。當我們要解決有關角度、長度問題時，通常可以連接半徑構造等腰三角形，利用等腰三角形的性質、勾股定理及圓中的相關定理，還可連接圓周上一點和弦的兩個端點，根據圓周角的性質可得相等的圓周角，解決角度或長度的計算問題例1．（2022·山東聊城·統考中考真題）如圖，AB，CD是的弦，延長AB，CD相交于點P．已知，，則的度數是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【分析】如圖，連接OB，OD，AC，先求解，再求解，從而可得，再利用周角的含義可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度數20°．故選：C．【點睛】本題考查的是圓心角與弧的度數的關系，等腰三角形的性質，三角形的內角和定理的應用，掌握“圓心角與弧的度數的關系”是解本題的關鍵．例2.（2023?南召縣中考模擬）如圖，⊙O的直徑AB與弦CD的延長線交于點E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，則∠E等于（）A．42° B．28° C．21° D．20°【分析】利用OB＝DE，OB＝OD得到DO＝DE，則∠E＝∠DOE，根據三角形外角性質得∠1＝∠DOE+∠E，所以∠1＝2∠E，同理得到∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，然后利用∠E=13∠【解答】解：連結OD，如圖，∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E=13∠AOC=13×84【點評】本題考查了圓的認識：掌握與圓有關的概念（弦、直徑、半徑、弧、半圓、優弧、劣弧、等圓、等弧等）．也考查了等腰三角形的性質．例3．（2023·江蘇沭陽初三月考）如圖，已知點C是⊙O的直徑AB上的一點，過點C作弦DE，使CD=CO．若的度數為35°，則的度數是_____．【答案】105°．【分析】連接OD、OE，根據圓心角、弧、弦的關系定理求出∠AOD=35°，根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理計算即可．【解析】解：連接OD、OE，∵的度數為35°，∴∠AOD=35°，∵CD=CO，∴∠ODC=∠AOD=35°，∵OD=OE，∴∠ODC=∠E=35°，∴∠DOE=180°∠ODC∠E=180°35°35°=110°，∴∠AOE=∠DOE∠AOD=110°35°=75°，∴∠BOE=180°∠AOE=180°75°=105°，∴的度數是105°．故答案為105°．【點睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．例4．（2023年山東省淄博市中考數學真題）如圖，是的內接三角形，，，是邊上一點，連接并延長交于點．若，，則的半徑為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接,根據等腰三角形的性質得到,根據等邊三角形的性質得到，根據相似三角形的判定和性質即可得到結論.【詳解】連接,∵,∴∴,∵,∴是等邊三角形,∴,

∵，,∴,，∴,∵,，，即的半徑為，故選:.【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，熟練掌握相似三角形的判定和性質度量是解題的關鍵.模型2、遇弦作弦心距（解決有關弦長的問題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過點OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結過弦的端點的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據勾股定理求有關量。一般有弦中點、或證明弦相等或已知弦相等時，常作弦心距。例1．（2023年浙江省衢州市中考數學真題）如圖是一個圓形餐盤的正面及其固定支架的截面圖，凹槽是矩形．當餐盤正立且緊靠支架于點A，D時，恰好與邊相切，則此餐盤的半徑等于cm．

【答案】10【分析】連接，過點作，交于點，交于點，則點為餐盤與邊的切點，由矩形的性質得，，，則四邊形是矩形，，得，，，設餐盤的半徑為，則，，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【詳解】由題意得：，，如圖，連接，過點作，交于點，交于點，則，

餐盤與邊相切，點為切點，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，，，，設餐盤的半徑為，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，餐盤的半徑為，故答案為：10．【點睛】本題考查了切線的性質、矩形的判定與性質、勾股定理等知識，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．例2．（2023年四川省廣安市中考數學真題）如圖，內接于，圓的半徑為7，，則弦的長度為．

【答案】【分析】連接，過點作于點，先根據圓周角定理可得，再根據等腰三角形的三線合一可得，，然后解直角三角形可得的長，由此即可得．【詳解】解：如圖，連接，過點作于點，

，，，，，∵圓的半徑為7，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握圓周角定理和解直角三角形的方法是解題關鍵．例3．（2021·湖北中考真題）筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖1，筒車盛水桶的運行軌道是以軸心為圓心的圓，如圖2，已知圓心在水面上方，且被水面截得的弦長為6米，半徑長為4米．若點為運行軌道的最低點，則點到弦所在直線的距離是（）

A．1米 B．米 C．2米 D．米【答案】B【分析】連接OC交AB于D，根據圓的性質和垂徑定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根據勾股定理求得OD的長，由CD=OC﹣OD即可求解．【詳解】解：根據題意和圓的性質知點C為的中點，連接OC交AB于D，則OC⊥AB，AD=BD=AB=3，在Rt△OAD中，OA=4，AD=3，∴OD===，∴CD=OC﹣OD=4﹣，即點到弦所在直線的距離是（4﹣）米，故選：B．

【點睛】本題考查圓的性質、垂徑定理、勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解答的關鍵．例4．（2023·廣東廣州·九年級校考自主招生）如圖所示，圓的直徑與弦相交于點．已知圓的直徑，，則的值是（

）A． B．8 C． D．4【答案】B【分析】過點作，于點，連接，根據題意可得，進而根據垂徑定理，有，進而將轉化為，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作，于點，連接，則，∵∴，∵∵∴∴故選：B．【點睛】考查垂徑定理，等腰直角三角形的性質等，把式子進行變形是解題的關鍵.模型3、遇求角可構造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點，點C是圓上一動點，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2023·四川巴中·統考中考真題）如圖，是的外接圓，若，則（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】連接，首先根據圓周角定理得到，然后利用半徑相等得到，然后利用等邊對等角和三角形內角和定理求解即可．【詳解】如圖所示，連接，

∵，，∴，∵，∴．故選：D．【點睛】本題考查了圓周角定理：圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，等邊對等角和三角形內角和定理，解題的關鍵是掌握以上知識點．例2．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）如圖，點是上一點，若，則的度數為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取優弧上一點C，連接，由圓周角定理，得，運用圓內接四邊形對角互補求解．【詳解】解：如圖，取優弧上一點C，連接,則,∴．故選：B【點睛】本題考查圓周角定理、圓內接四邊形；由相關定理得角之間的數量關系是解題的關鍵．例3．（2023秋·重慶·九年級校考階段練習）如圖，一塊直角三角板的角的頂點落在上，兩邊分別交于、兩點，若的直徑為8，則弦長為（

）A．8 B．4 C． D．【答案】B【分析】連接AO，BO，求出∠AOB=2∠APB=60°，得到△AOB為等邊三角形，即可求出AB長.【詳解】連接AO，BO，∴OA=OB，∵所對的圓周角是∠APB，所對的圓心角是∠AOB，∠APB=30°，∴∠AOB=2∠APB=60°，∴△AOB為等邊三角形，∴AB=AO，∵直徑為8，∴OA=4，∴AB=4，故選B.【點睛】本題考查的是圓周角和圓心角，根據題意作出輔助線，得到等邊三角形是解答此題的關鍵．例4．（2023·遼寧鞍山·統考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點，的半徑為2．若，則的長為（

）

A．2 B． C． D．【答案】D【分析】連接，圓周角定理得到，勾股定理求出，三角形的中位線定理，即可求出的長．【詳解】解：連接，

∵的半徑為2．，∴，∴，∵D，G分別為的中點，∴為的中位線，∴．故選D．【點睛】本題考查圓周角定理和三角形的中位線定理．熟練掌握相關定理，并靈活運用，是解題的關鍵．模型4、遇直徑作直徑所對的圓周角（構造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點C是圓上一點，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當圖形中含有直徑時，構造直徑所對的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關問題中注意90o的圓周角的構造。例1．（2023·遼寧營口·統考中考真題）如圖所示，是的直徑，弦交于點E，連接，若，則的度數是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖所示，連接，先由同弧所對的圓周角相等得到，再由直徑所對的圓周角是直角得到，則．【詳解】解：如圖所示，連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴，故選D．

【點睛】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，正確求出的度數是解題的關鍵．例2．（2022·山東泰安·統考中考真題）如圖，是⊙的直徑，，，，則⊙的半徑為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接CO并延長CO交⊙于點E，連接AE，根據OA=OC，可得∠ACD=∠ACE，從而得到AE=AD=2，然后根據勾股定理，即可求解．【詳解】解：如圖，連接CO并延長CO交⊙于點E，連接AE，∵OA=OC，∴∠ACE=∠CAB，∵，∴∠ACD=∠ACE，∴，∴AE=AD=2，∵CE是直徑，∴∠CAE=90°，∴，∴⊙的半徑為．故選：D．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，勾股定理，熟練掌握圓周角定理，勾股定理是解題的關鍵．例3．（2022·四川巴中·統考中考真題）如圖，為的直徑，弦交于點，，，，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】連接BC，根據垂徑定理的推論可得AB⊥CD，再由圓周角定理可得∠A=∠CDB=30°，根據銳角三角函數可得AE=3，AB=4，即可求解．【詳解】解：如圖，連接BC，∵為的直徑，，∴AB⊥CD，∵∠BAC=∠CDB=30°，，∴，∵為的直徑，∴，∴OA=2，∴OE=AEOA=1．故選：C【點睛】本題主要考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，熟練掌握垂徑定理，圓周角定理，特殊角銳角函數值是解題的關鍵．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時，常連接兩條弦沒有公共點的另一端點，得到直徑。利用圓周角的性質，可得到直徑。例1．（2022·遼寧營口·統考中考真題）如圖，點A，B，C，D在上，，則的長為（

）A． B．8 C． D．4【答案】A【分析】連接，根據可得為的直徑，又根據得到，故在直角三角形中，利用特殊角的三角函數即可求出．【詳解】解：連接，，，為的直徑，，，在中,，．.故選：A．【點睛】本題主要考查圓周角定理，解三角形，解題的關鍵是掌握公式、定理。例2．（2023·四川達州·統考二模）如圖，半徑為的經過原點O和點，B是y軸左側優弧上一點，則為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】設與x軸的另一個交點為D，連接，如圖，則，根據圓周角定理和勾股定理求出，然后根據求解即可.【詳解】解：設與x軸的另一個交點為D，連接，如圖，則，∵，∴是的直徑，∵的半徑為，∴，∵，∴，在直角三角形中，根據勾股定理可得：，∴；故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理、三角函數和勾股定理等知識，屬于常考題型，正確添加輔助線、靈活應用轉化的思想是解題的關鍵.例3．（2023·重慶·統考中考真題）如圖，是矩形的外接圓，若，則圖中陰影部分的面積為．（結果保留）

【答案】【分析】根據直徑所對的圓周角是直角及勾股定理得到，再根據圓的面積及矩形的性質即可解答．【詳解】解：連接，∵四邊形是矩形，∴是的直徑，∵，∴，∴的半徑為，∴的面積為，矩形的面積為，∴陰影部分的面積為；故答案為；

【點睛】本題考查了矩形的性質，圓的面積，矩形的面積，勾股定理，掌握矩形的性質是解題的關鍵．模型6、遇切線連圓心和切點（構造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時，常把切點與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構造直角三角形，再利用直角三角形的有關性質解題。例1．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）如圖，如圖，、分別切于點、，點為優弧上一點，若，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】要求的度數，只需根據圓周角定理構造它所對的弧所對的圓心角，即連接，；再根據切線的性質以及四邊形的內角和定理即可求解．【詳解】

解：連接，∵、分別切于點、，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】此題考查切線的性質，圓周角定理，以及四邊形的內角和，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．例2．（2023年重慶市中考數學真題）如圖，是的切線，為切點，連接．若，，，則的長度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據切線的性質及正切的定義得到，再根據勾股定理得到．【詳解】解：連接，∵是的切線，為切點，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故選．

【點睛】本題考查了切線的性質，銳角三角函數，勾股定理，掌握切線的性質是解題的關鍵．例3．（2022春·湖北武漢·九年級統考自主招生）如圖，是圓的直徑，是切線，是切點，弦，與的延長線交于點，，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接OD，由及，即可得到，從而可證得，即可證得直線是的切線，進而根據，可得，設半徑為，,在中，勾股定理求得，即可求解．【詳解】證明：如圖，連接OD，，．

又，，，．在與中，，，，又，，是的切線；∴，設半徑為，,則，∵，∴，∴，則，在中，，∴，解得：，∴；【點睛】本題考查了切線的性質與判定，切線長定理，平行線分線段成比例，勾股定理，熟練掌握切線的性質與判定，平行線分線段成比例是解題的關鍵．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時：（1）有點連圓心：當直線和圓的公共點已知時，聯想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無點作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點，則聯想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年四川省攀枝花市中考數學真題）如圖，為的直徑，如果圓上的點恰使，求證：直線與相切．

【答案】見詳解【分析】由等腰三角形的性質和圓周角定理得出，則，再由切線的判定即可得出結論．【詳解】證明：如圖，連接，，，為的直徑，，，，，即，，是的半徑，直線與相切．

【點睛】本題考查了切線的判定、圓周角定理、直角三角形的性質、等腰三角形的性質等知識；熟練掌握圓周角定理和切線的判定是解題的關鍵．例2．（2023秋·福建福州·九年級校考階段練習）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

【答案】見解析【分析】過點作于點，根據三線合一和勾股定理求出的長，即可．【詳解】解：過點作于點，

∵，，∴，∴，∵的直徑為6，∴為的半徑，又，∴直線是的切線．【點睛】本題考查切線的判定．熟練掌握切線的判定方法，是解題的關鍵．例3．（2023年遼寧省盤錦市中考數學真題）如圖，內接于，為的直徑，延長到點G，使得，連接，過點C作，交于點F，交點于點D，過點D作．交的延長線于點E．

(1)求證：與相切．(2)若，，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）連接，結合圓周角定理，根據，可得，再根據平行的性質，即有，進而可得，問題隨之得證；（2）過C點作于點K，先證明四邊形是平行四邊形，即有，求出，即有，利用三角形函數有，同理，即可得，，進而有，再證明，可得，即可得，在中，有，問題隨之得解．【詳解】（1）連接，如圖，

∵為的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，∴，∴半徑，∴與相切；（2）過C點作于點K，如圖，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴在，，同理，∵在中，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，，∴．【點睛】本題是一道綜合題，主要考查了圓周角定理，切線的判定，相似三角形的判定與性質，平行四邊形的判定與性質，三角函數以及勾股定理等知識，掌握切線的判定以及相似三角形的判定與性質，是解答本題的關鍵．例4．（2023年遼寧省鞍山市中考數學真題）如圖，四邊形內接于，為的直徑，過點D作，交的延長線于點F，交的延長線于點E，連接．若．

(1)求證：為的切線．(2)若，，求的半徑．【答案】(1)見解析(2)的半徑為【分析】（1）連接，根據同角的補角相等，得到，等角的余角相等，得到，等邊對等角，得到，推出，得到，即可得證；（2）連接，推出，利用銳角三角函數求出的長，設的半徑為，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】（1）證明：連接，

∵，，∴，∵為的直徑，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，又為的半徑，∴為的切線；（2）連接，則：，∵為的直徑，∴，∴，∴，在中，，，∴，設的半徑為，則：，∵，∴，∴，即：，∴；∴的半徑為．【點睛】本題考查圓與三角形的綜合應用，重點考查了切線的判定，解直角三角形，相似三角形的判定和性質．題目的綜合性較強，熟練掌握相關知識點，并靈活運用，是解題的關鍵．模型8、遇三角形的內切圓，連內心與頂點（切點）當遇到三角形內切圓，連接內心到三角形各頂點，或連接內心到各邊切點（或做垂線）。利用內心的性質可得一內心到三角形三個頂點的連線是各角的平分線，內心到三角形三邊的距離相等。例1．（2022·湖北恩施·統考中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O為Rt△ABC的內切圓，則圖中陰影部分的面積為（結果保留π）．【答案】【分析】利用切線長定理求得⊙O的半徑，根據S陰影=S△ABC(S扇形EOF+S扇形DOF)S正方形CDOE列式計算即可求解．【詳解】解：設切點分別為D、E、F，連接OD、OE、OF，∵⊙O為Rt△ABC的內切圓，∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，∵∠C=90°，∴四邊形CDOE為正方形，∴∠EOF+∠FOD=360°90°=270°，設⊙O的半徑為x，則CD=CE=x，AE=AF=4x，BD=BF=3x，∴4x+3x=5，解得x=1，∴S陰影=S△ABC(S扇形EOF+S扇形DOF)S正方形CDOE=×3×4×1×1=5．故答案為：5．【點睛】本題考查了切線長定理，扇形的面積公式，熟記各圖形的性質并準確識圖是解題的關鍵．例2．（2023秋·浙江·九年級專題練習）如圖，在中，，于，為的內切圓，設的半徑為，的長為，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據三角形內切圓的特點作出圓心和三條半徑，分別表示出的面積，利用面積相等即可解決問題．【詳解】解：如圖所示：為中、、的角平分線交點，過點分別作垂線交、、于點、、，

，，，的長為，，，，，故選：A．【點睛】本題考查了三角形內切圓的相關性質，本題掌握三角形內切圓的性質，根據已知條件利用三角形面積相等推出關系式是解題關鍵．例3．（2023·廣東廣州·統考中考真題）如圖，的內切圓與，，分別相切于點D，E，F，若的半徑為r，，則的值和的大小分別為（

）A．2r， B．0， C．2r， D．0，【答案】D【分析】如圖，連接．利用切線長定理，圓周角定理，切線的性質解決問題即可．【詳解】解：如圖，連接．∵的內切圓與，，分別相切于點D，E，F，∴，∴，，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查三角形的內切圓與內心，圓周角定理，切線的性質等知識，解題的關鍵是掌握切線的性質，屬于中考常考題型．課后專項訓練1．（2023·重慶·統考中考真題）如圖，是的切線，為切點，連接．若，，，則的長度是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據切線的性質及正切的定義得到，再根據勾股定理得到．【詳解】解：連接，∵是的切線，為切點，∴，∵，，∴在中，，∵，∴在，，故選．

【點睛】本題考查了切線的性質，銳角三角函數，勾股定理，掌握切線的性質是解題的關鍵．2．（2022·黑龍江哈爾濱·校考模擬預測）如圖，如圖，、分別切于點、，點為優弧上一點，若，則的度數為（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】要求的度數，只需根據圓周角定理構造它所對的弧所對的圓心角，即連接，；再根據切線的性質以及四邊形的內角和定理即可求解．【詳解】解：連接，∵、分別切于點、，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．【點睛】此題考查切線的性質，圓周角定理，以及四邊形的內角和，熟練掌握切線的性質是解本題的關鍵．3．（2023年四川省宜賓中考數學真題）如圖，已知點在上，為的中點．若，則等于（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，如圖所示，根據圓周角定理，找到各個角之間的關系即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示：

點在上，為的中點，，，，根據圓周角定理可知，，故選：A．【點睛】本題考查圓中求角度問題，涉及圓周角定理，找準各個角之間的和差倍分關系是解決問題的關鍵．4．（2023年四川省涼山州數學中考真題）如圖，在中，，則（

）

A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】連接，由圓周角定理得，由得，，，在中，由，計算即可得到答案．【詳解】解：連接，如圖所示，

，，，，，，在中，，，故選：B．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握圓周角定理，垂徑定理，添加適當的輔助線．5．（2023年重慶市中考數學真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點C，連接，若，則的度數為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接，先根據圓的切線的性質可得，從而可得，再根據等腰三角形的性質即可得．【詳解】解：如圖，連接，

直線與相切，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了圓的切線的性質、等腰三角形的性質，熟練掌握圓的切線的性質是解題關鍵．6．（2023·廣東·一模）如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點，于點，下列說法不正確的是（）A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則【答案】A【分析】根據AB=AC，連接AD，利用圓周角定理以及等腰三角形的性質可以得到點D是BC的中點，OD是△ABC的中位線，OD∥AC，然后由DE⊥AC，得到∠ODE=90°，可以證明DE是⊙O的切線，可判斷B選項正確；若DE是⊙O的切線，同上法倒推可證明AB=AC，可判斷D選項正確；根據CD=BD，AO=BO，得到OD是△ABC的中位線，同上可以證明DE是⊙O的切線，可判斷C選項正確；若，沒有理由可證明DE是⊙O的切線．【詳解】解：當AB=AC時，如圖：連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴CD=BD，∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線，所以B選項正確；當DE是⊙O的切線時，如圖：連接AD，∵DE是⊙O的切線，∴DE⊥OD，∵DE⊥AC，∴OD∥AC，∴OD是△ABC的中位線，∴CD∥BD，∵AB是⊙O的直徑，∴AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∴AB=AC，所以D選項正確；當CD=BD時，又AO=BO，∴