2025屆遼寧省沈陽市康平縣第一中學數學高二上期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線過點，點為平面直角坐標系平面內一點，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則點與原點間的距離的最小值為（）A. B.C. D.2．劉徽是一個偉大的數學家，他的杰作《九章算術注》和《海島算經》是中國寶貴的數學遺產，他所提出的割圓術可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度.割圓術的第一步是求圓的內接正六邊形的面積.若在圓內隨機取一點，則此點取自該圓內接正六邊形的概率是（）A. B.C. D.3．新冠肺炎疫情的發生，我國的三大產業均受到不同程度的影響，其中第三產業中的各個行業都面臨著很大的營收壓力.2020年7月國家統計局發布了我國上半年國內經濟數據，如圖所示，圖1為國內三大產業比重，圖2為第三產業中各行業比重下列關于我國上半年經濟數據的說法正確的是（）A.第一產業的生產總值與第三產業中“其他服務業”的生產總值基本持平B.第一產業的生產總值超過第三產業中“金融業”的生產總值C.若“住宿和餐飲業”生產總值為7500億元，則“房地產”生產總值為22500億元D.若“金融業”生產總值為41040億元，則第二產業生產總值為166500億元4．已知a，b是互不重合直線，，是互不重合的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，則5．已知數列是等差數列，其前n項和為，則下列說法錯誤的是（）A.數列一定是等比數列 B.數列一定是等差數列C.數列一定是等差數列 D.數列可能是常數數列6．已知命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件；命題q：“是a，b，c成等比數列”的必要不充分條件，則下列命題為真命題的是（）A. B.C. D.7．與直線平行，且經過點（2，3）的直線的方程為（）A. B.C. D.8．拋擲兩枚硬幣，若記出現“兩個正面”“兩個反面”“一正一反”的概率分別為，，，則下列判斷中錯誤的是（）.A. B.C. D.9．若，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.10．在長方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.11．若數列對任意滿足，下面選項中關于數列的說法正確的是（）A.一定是等差數列B.一定是等比數列C.可以既是等差數列又是等比數列D.可以既不是等差數列又不是等比數列12．已知直線、的方向向量分別為、，若，則等于（）A.1 B.2C.0 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線的右焦點為，過點作軸的垂線，在第一象限與雙曲線及其漸近線分別交于，兩點.若，則雙曲線的離心率為___________.14．在空間直角坐標系O－xyz中，平面OAB的一個法向量為＝(2，－2,1)，已知點P(－1,3,2)，則點P到平面OAB的距離d等于__________________15．某人有樓房一棟，室內面積共計，擬分割成兩類房間作為旅游客房，大房間每間面積為，可住游客4名，每名游客每天的住宿費100元；小房間每間面積為，可住游客2名，每名游客每天的住宿費150元；裝修大房間每間需要3萬元，裝修小房間每間需要2萬元.如果他只能籌款25萬元用于裝修，且假定游客能住滿客房，則該人一天能獲得的住宿費的最大值為___________元.16．已知點為拋物線的焦點，，點為拋物線上一動點，當最小時，點恰好在以為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①直線l：是拋物線C的準線；②F是橢圓的一個焦點；③，對于C上的點A，的最小值為；在以上三個條件中任選一個，填到下面問題中的橫線處，并完成解答．已知拋物線C：的焦點為F，滿足_____（1）求拋物線C的標準方程；（2）是拋物線C上在第一象限內的一點，直線：與C交于M，N兩點，若的面積為，求m的值18．（12分）某工廠為了解甲、乙兩條生產線所生產產品的質量，分別從甲、乙兩條生產線生產的產品中各隨機抽取了1000件產品，并對所抽取產品的某一質量指數進行檢測，根據檢測結果按分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若該工廠認定產品的質量指數不低于6為優良級產品，產品的質量指數在內時為優等品.（1）用統計有關知識判斷甲、乙兩條生產線所生產產品的質量哪一條更好，并說明理由（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；（2）用分層抽樣的方法從該工廠樣品的優等品中抽取6件產品，在這6件產品中隨機抽取2件，求抽取到的2件產品都是甲生產線生產的概率.19．（12分）設函數，且存在兩個極值點、，其中.（1）求實數的取值范圍；（2）若恒成立，求最小值.20．（12分）命題p：關于x的不等式對一切恒成立；命題q：函數在上遞增，若為真，而為假，求實數的取值范圍21．（12分）某地從今年8月份開始啟動12-14歲人群新冠肺炎疫苗的接種工作，共有8千人需要接種疫苗.前4周的累計接種人數統計如下表：前x周1234累計接種人數y（千人）2.5344.5（1）求y關于的線性回歸方程；（2）根據（1）中所求的回歸方程，預計該地第幾周才能完成疫苗接種工作?參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，22．（10分）某廠接受了一項加工業務，加工出來的產品(單位：件)按標準分為A，B，C，D四個等級.加工業務約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費50元.該廠有甲、乙兩個分廠可承接加工業務.甲分廠加工成本費為25元/件，乙分廠加工成本費為20元/件.廠家為決定由哪個分廠承接加工業務，在兩個分廠各試加工了100件這種產品，并統計了這些產品的等級，整理如下：甲分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數40202020乙分廠產品等級的頻數分布表等級ABCD頻數28173421（1）分別估計甲、乙兩分廠加工出來的一件產品為A級品的概率；（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產品的平均利潤，以平均利潤為依據，廠家應選哪個分廠承接加工業務?

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可求得拋物線的方程，求出的坐標，分析可知點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質可求得點與原點間的距離的最小值.【詳解】將點的坐標代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點，由中垂線的性質可得，則點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，故點的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當點、、三點共線且在線段上時，取最小值，且.故選：B.2、B【解析】此點取自該圓內接正六邊形的概率是正六邊形面積除以圓的面積，分別求出即可.【詳解】如圖，在單位圓中作其內接正六邊形，該正六邊形是六個邊長等于半徑的正三角形，其面積，圓的面積為則所求概率.故選：B【點睛】此題考查幾何概率模型求解，關鍵在于準確求出正六邊形的面積和圓的面積.3、D【解析】根據扇形圖及柱形圖中的各產業與各行業所占比重，得到第三產業中“其他服務業”及“金融業”的生產總值占總生產總值的比重，進而比較出AB選項，利用“住宿和餐飲業”生產總值和“房地產”生產總值的比值，求出“房地產”生產總值，判斷出C選項，利用第三產業中“金融業”的生產總值與第二產業的生產總值比值，求出第二產業生產總值，判斷D選項.【詳解】A選項，第三產業中“其他服務業”的生產總值占總生產總值的，因為，所以第三產業中“其他服務業”的生產總值明顯高于第一產業的生產總值，A錯誤；B選項，第三產業中“金融業”的生產總值占總生產總值的，因為，故第一產業的生產總值少于第三產業中“金融業”的生產總值，B錯誤；“住宿和餐飲業”生產總值和“房地產”生產總值的比值為，若“住宿和餐飲業”生產總值為7500億元，則“房地產”生產總值為億元，故C錯誤；第三產業中“金融業”的生產總值占總生產總值的，與第二產業的生產總值比值為，若“金融業”生產總值為41040億元，則第二產業生產總值為166500億元，D正確.故選：D4、B【解析】根據線線，線面，面面位置關系的判定方法即可逐項判斷.【詳解】A：若，，則或a，故A錯誤；B：若，，則a⊥β，又，則a⊥b，故B正確；C：若，，則或α與β相交，故C錯誤；D：若，，，則不能判斷α與β是否垂直，故D錯誤.故選：B.5、B【解析】可根據已知條件，設出公差為，選項A，可借助等比數列的定義使用數列是等差數列，來進行判定；選項B，數列，可以取，即可判斷；選項C，可設，表示出再進行判斷；選項D，可采用換元，令，求得的關系即可判斷.【詳解】數列是等差數列，設公差為，選項A，數列是等差數列，那么為常數，又，則數列一定是等比數列，所以選項A正確；選項B，當時，數列不存在，故該選項錯誤；選項C，數列是等差數列，可設（A、B為常數），此時，，則為常數，故數列一定是等差數列，所以該選項正確；選項D，，則，當時，，此時數列可能是常數數列，故該選項正確.故選：B.6、C【解析】先判斷命題p,q的真假，從而判斷的真假，再根據“或”“且”命題的真假判斷方法，可得答案.【詳解】當時，表示圓，故命題p：“是方程表示橢圓”的充要條件是假命題，命題q：“是a，b，c成等比數列”的必要不充分條件為真命題，則是真命題，是假命題，故是假命題，是假命題，是真命題，是假命題，故選：C7、C【解析】由直線平行及直線所過的點，應用點斜式寫出直線方程即可.【詳解】與直線平行，且經過點（2，3）的直線的方程為，整理得故選：C8、A【解析】把拋擲兩枚硬幣的情況均列舉出來，利用古典概型的計算公式，把，，算出來，判斷四個選項的正誤.【詳解】兩枚硬幣，記為與，則拋擲兩枚硬幣，一共會出現的情況有四種，A正B正，A正B反，A反B正，A反B反，則，，，所以A錯誤，BCD正確故選：A9、B【解析】由得出，再利用不等式的基本性質和基本不等式來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】，，，，A選項正確；，B選項錯誤；由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，，則等號不成立，所以，C選項正確；，，D選項正確.故選：B.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，涉及不等式的基本性質和基本不等式，考查推理能力，屬于基礎題.10、C【解析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設，設，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設，由在長方體中，，，設，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因為，所以.故選：C.11、D【解析】由已知可得或，結合等差數列和等比數列的定義，可得答案【詳解】由，得或，即或，若，則數列是等差數列，則B錯誤；若，當時，數列是等差數列，當時，數列是等比數列，則A錯誤數列是等差數列，也可以是等比數列；由，不能得到數列為非0常數列，則不可以既是等差又是等比數列，則C錯誤；可以既不是等差又不是等比數列，如1，3，5，10，20，，故D正確；故選：D12、C【解析】由可得出，利用空間向量數量積的坐標運算可得出關于實數的等式，由此可解得實數的值.【詳解】若，則，所以，所以，解得.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】按題意求得，兩點坐標，以代數式表達出條件，即可得到關于的關系式，進而解得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線的右焦點為,其漸近線為，垂線方程為，則，，，由，得，即即，則，離心率故答案為：14、2【解析】O是平面OAB上一個點，設點P到平面OAB的距離為d,則d=∵=(-1,3,2)．(2,-2,1)=-6,∴d==2即點P到平面OAB的距離為2考點：空間向量在立體幾何中的運用15、3600【解析】先設分割大房間為間，小房間為間，收益為元，列出約束條件，再根據約束條件畫出可行域，設，再利用的幾何意義求最值，只需求出直線過可行域內的整數點時，從而得到值即可【詳解】解：設裝修大房間間，小房間間，收益為萬元，則，目標函數，由，解得畫出可行域，得到目標函數過點時，有最大值，故應隔出大房間3間和小房間8間，每天能獲得最大的房租收益最大，且為3600元故答案為：360016、【解析】設點，根據拋物線的定義表示出，將用表示，并逐步轉化為一個基本不等式形式，從而求出取最小值時的點的坐標，再根據雙曲線的定義及離心率的公式求值.【詳解】由題意可得，，，拋物線的準線為，設點，根據對稱性，不妨設，由拋物線的定義可知，又，所以，當且僅當時，等號成立，此時，設以為焦點的雙曲線方程為，則，即，又，，所以離心率.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是將的坐標表達式逐漸轉化為一個可以用基本不等式求最值的式子，從而找出取最小值時的點的坐標.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或.【解析】（1）選條件①，由準線方程得參數，從而得拋物線方程；選條件②，由橢圓的焦點坐標與拋物線焦點坐標相同求得得拋物線方程；選條件③，由F，A，B三點共線時，，再由兩點間距離公式求得得拋物線方程；（2）求出點坐標，由點到直線距離公式求得到直線的距離，設，，直線方程代入拋物線方程，判別式大于0保證相交，由韋達定理得，由弦長公式得弦長，再計算出三角形的面積后可解得【小問1詳解】選條件①：由準線方程為知，所以拋物線C的方程為選條件②：因為拋物線的焦點坐標為所以由已知得橢圓的一個焦點為.所以，又，所以，所以拋物線C的方程為選條件③：由題意可知得，當F，A，B三點共線時，，由兩點間距離公式，解得，所以拋物線C的方程為.【小問2詳解】把代入方程，可得，設，，聯立，消去y可得，由，解得，又知，，所以，由到直線的距離為，所以，即，解得或經檢驗均滿足，所以m的值為或.18、（1）甲更好，詳細見解析（2）【解析】（1）根據頻率分布直方圖計算甲、乙兩條生產線所生產產品的質量指數的平均數，比較大小即可得答案；（2）由題意可知，甲、乙生產線的樣品中優等品件數，利用分層抽樣可得從甲生產線的樣品中抽取的優等品有件件，記為，從乙生產線的樣品中抽取的優等品有件，記為；列出抽取到的2件產品的所有基本事件，根據古典概型計算即可.【小問1詳解】解：甲生產線所生產產品的質量指數的平均數為：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生產線所生產產品的質量指數的平均數為：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因為，所以甲生產線生產產品質量的平均水平高于乙生產線生產產品質量的平均水平，故甲生產線所生產產品的質量更好.【小問2詳解】由題意可知，甲生產線的樣品中優等品有件，乙生產線的樣品中優等品有件，從甲生產線的樣品中抽取的優等品有件件，記為，從乙生產線的樣品中抽取的優等品有件，記為；從這6件產品中隨機抽取2件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，E），（a，F），（b，c），（b，d），（b，E），（b，F），（c，d），（c，E），（c，F），（d，E），（d，F），（E，F），共15種；其中符合條件的情況有：（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種.故抽取到的2件產品都是甲生產線生產的概率為：19、（1）（2）【解析】（1）存在兩個極值點，等價于其導函數有兩個相異零點；（2）適當構造函數，并注意與關系，轉化為函數求最大值問題，即可求得的范圍.【小問1詳解】（），，函數存在兩個極值點、，且，關于的方程，即在內有兩個不等實根，令，，即，，實數的取值范圍是.【小問2詳解】函數在上有兩個極值點，由（1）可得，由，得，則，，，，，，，，令，則且，令，，，再設，則，，，即在上是減函數，（1），，在上是增函數，（1），，恒成立，恒成立，，的最小值為.【點睛】關鍵點點睛：本題考查導函數，函數的單調性，最值，不等式證明，考查學生分析解決問題的能力，解題的關鍵是將恒成