重慶西南大學附中2025屆數學高二上期末調研試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓的圓心在軸上，半徑為2，且與直線相切，則圓的方程為A. B.或C. D.或2．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.3．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結論：①正方體在每個頂點的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點數，棱數，面數滿足，則該類多面體的總曲率是常數.其中，所有正確結論的序號是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③4．在數列中，，則此數列最大項的值是（）A.102 B.C. D.1085．如圖，在長方體中，，E，F分別為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線，則“”是“雙曲線的焦距大于4”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．德國數學家萊布尼茨是微積分的創立者之一，他從幾何問題出發，引進微積分概念.在研究切線時認識到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標的差值和橫坐標的差值，以及當此差值變成無限小時它們的比值，這也正是導數的幾何意義．設是函數的導函數，若，且對，，且總有，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.8．已知數列是首項為，公差為1的等差數列，數列滿足．若對任意的，都有成立，則實數的取值范圍是（）A.， B.C.， D.9．“，”的否定是A.， B.，C.， D.，10．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線于點P，若E為線段FP的中點，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.＋1 D.11．如圖，函數的圖象在P點處的切線方程是,若點的橫坐標是5，則()A. B.1C.2 D.012．過點（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程是（）A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設公差的等差數列的前項和為，已知，且，，成等比數列，則的最小值為______14．數列的前項和為，則的通項公式為________.15．函數滿足，且，則的最小值為___________.16．在數列中，，且，則_______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知動圓過點，且與直線：相切（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）若過點且斜率的直線與圓心的軌跡交于兩點，求線段的長度18．（12分）設函數，其中是自然對數的底數，.（1）若，求的最小值；（2）若，證明：恒成立.19．（12分）已知數列滿足（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）令，求數列的前項和20．（12分）已知直線，，分別求實數的值，使得：（1）；（2）；（3）與相交.21．（12分）在中，內角所對的邊長分別為，是1和的等差中項（1）求角；（2）若的平分線交于點，且，求的面積22．（10分）已知直線l經過兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點，且與直線x+y﹣2＝0垂直（1）求直線l的方程；（2）若圓C過點（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為，求圓C的標準方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設圓心坐標，由點到直線距離公式可得或，進而求得答案【詳解】設圓心坐標，因為圓與直線相切，所以由點到直線的距離公式可得，解得或.因此圓的方程為或.【點睛】本題考查利用直線與圓的位置關系求圓的方程，屬于一般題2、C【解析】由，可得存在實數，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因為，所以存在實數，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C3、D【解析】根據曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點數各面內角和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設每個面記為邊形，則所有的面角和為，根據定義可得該類多面體的總曲率為常數，故③正確.故選：D.4、D【解析】將將看作一個二次函數，利用二次函數的性質求解.【詳解】將看作一個二次函數，其對稱軸為，開口向下，因為，所以當時，取得最大值，故選：D5、A【解析】利用平行線，將異面直線的夾角問題轉化為共面直線的夾角問題，再解三角形.【詳解】取BC中點H，BH中點I，連接AI、FI、，因為E為中點，在長方體中，，所以四邊形是平行四邊形，所以所以，又因為F為的中點，所以，所以，則即為異面直線與所成角(或其補角).設AB=BC=4，則，則,，根據勾股定理：，，，所以是等腰三角形，所以.故B，C，D錯誤.故選：A.6、A【解析】先找出“雙曲線的焦距大于4”的充要條件，再進行判斷即可【詳解】若的焦距，則；若，則故選：A7、D【解析】由，得在上單調遞增，并且由的圖象是向上凸，進而判斷選項.【詳解】由，得在上單調遞增，因為，所以，故A不正確；對，，且，總有，可得函數的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數圖象上各點處的切線的斜率，由函數圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點與點連線的斜率，由圖可知，所以D正確，C不正確.故選：D.【點睛】本題考查以數學文化為背景，導數的幾何意義，根據函數的單調性比較函數值的大小，屬于中檔題型.8、D【解析】由等差數列通項公式得，再結合題意得數列單調遞增，且滿足，，即，再解不等式即可得答案.【詳解】解：根據題意：數列是首項為，公差為1的等差數列，所以，由于數列滿足，所以對任意的都成立，故數列單調遞增，且滿足，，所以，解得故選：9、D【解析】通過命題的否定的形式進行判斷【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，故“，”的否定是“，”.故選D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，屬基礎題.10、A【解析】設F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，根據圓的切線性質和三角形中位線得到|OE|＝a，|PF′|＝2a，利用雙曲線的定義求得|PF|＝4a，得到|EF|＝2a，在Rt△OEF中，利用勾股定理建立關系即可求得離心率的值.【詳解】不妨設E在x軸上方，F′為雙曲線的右焦點，連接OE，PF′，如圖所示:因為PF是圓O的切線，所以OE⊥PE，又E，O分別為PF，FF′的中點，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據雙曲線的定義，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A.【點睛】本題考查雙曲線的離心率的求法，聯想到雙曲線的另一個焦點，作輔助線，利用雙曲線的定義是求解離心率問題的有效方法.11、C【解析】函數的圖象在點P處的切線方程是，所以，在P處的導數值為切線的斜率，2，故選C考點：本題主要考查導數的幾何意義點評：簡單題，切線的斜率等于函數在切點的導函數值12、A【解析】設出直線方程，利用待定系數法得到結果.【詳解】設與直線平行的直線方程為，將點代入直線方程可得，解得則所求直線方程為．故A正確【點睛】本題主要考查兩直線的平行問題，屬容易題．兩直線平行傾斜角相等，所以斜率相等或均不存在．所以與直線平行的直線方程可設為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.4【解析】應用等比中項的性質及等差數列通項公式求公差d，進而寫出等差數列的通項公式、前n項和公式，再求目標式的最小值.【詳解】由題設，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當時目標式有最小值為.故答案為：14、【解析】討論和兩種情況，進而利用求得答案.【詳解】由題意，時，，時，，則，于是，故答案為：15、6【解析】化簡得出，由化簡后根據均值不等式建立不等式，求解二次不等式即可得解.【詳解】，由得：，（當且僅當時取等號），所以的最小值為6.故答案為：616、##【解析】根據數列的遞推公式，發現規律，即數列為周期數列，然后求出即可【詳解】根據題意可得：，，，故數列為周期數列可得：故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由題意分析圓心符合拋物線定義，然后求軌跡方程；（2）直接聯立方程組，求出弦長.【詳解】解：（1）圓過點，且與直線相切點到直線的距離等于由拋物線定義可知點的軌跡是以為焦點、以為準線的拋物線，依題意，設點的軌跡方程為，則，解得，所以，動圓圓心的軌跡方程是（2）依題意可知直線，設聯立，得，則，所以，線段的長度為【點睛】（1）待定系數法、代入法可以求二次曲線的標準方程；（2）“設而不求”是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題.18、（1）（2）證明見解析【解析】（1）當時，，求出，可得答案；（2）設，，，，，設，求出利用單調性可得答案.【小問1詳解】當時，，則，所以單調遞增，又，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以.【小問2詳解】設，若，則，若，則，設，則，所以單調遞增，又，當時，，上單調遞減，當時，，單調遞增，所以，所以，綜上，恒成立.【點睛】本題考查了求函數值域或最值的問題，一般都需要通過導數研究函數的單調性、極值、最值來處理，特別的要根據所求問題，適時構造恰當的函數，再利用所構造函數的單調性、最值解決問題是常用方法，考查了學生分析問題、解決問題的能力.19、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據等比數列的定義證明數列是以為首項，2為公比的等比數列，進而求解得答案；（2）根據錯位相減法求和即可.【小問1詳解】解：數列滿足，∴數列是以為首項，2為公比的等比數列，，即；∴【小問2詳解】解：，，，，20、（1）或（2）或（3）且【解析】（1）根據直線一般式平行的條件列式計算；（2）根據直線一般式垂直的條件列式計算；（3）根據相交和平行的關系可得答案.【小問1詳解】，，解得或又時，直線，，兩直線不重合；時，直線，，兩直線不重合；故或；【小問2詳解】，，解得或；【小問3詳解】與相交故由（1）得且.21、（1）；（2）【解析】（1）根據是1和的等差中項得到，再利用正弦定理結合商數關系，兩角和與差的三角函數化簡得到求解；（2）由和求得b，c的關系，再結合余弦定理求解即可.【詳解】（1）由已知得，在中，由正弦定理得，化簡得，因為，所以，所以；（2）由正弦定理得，又，即，由余弦定理得，所以，所以【點睛】方法點睛：在解有關三角形的題目時，要有意識地考慮用哪個定