錯誤！鏈接無效。平面BDF，FD平面BDF，∴EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG，CE平面CGE，∴平面CGE∥平面BDF，又CG平面CGE，∴CG∥平面BDF，又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG平面PAC，∴FO∥CG.又O為AC的中點，∴F為AG中點，∴FG＝GP＝1，∴E為PD的中點，PE∶ED＝1∶1.[破題技法]線線、線面平行的證明方法方法關鍵適用題型利用線面平行的判定定理證線面平行在該平面內找或作始終線，證明其與已知直線平行平行線易作出利用面面平行的性質證線面平行過該線找或作一平面，證明其與已知平面平行面面平行較明顯利用線面平行性質證線線平行過線作平面，產生交線已知線面平行考點二平面平行的判定與性質挖掘平面平行的判定與應用/自主練透[例](1)已知m，n，l1，l2表示不同直線，α、β表示不同平面，若mα，nα，l1β，l2β，l1∩l2＝M，則α∥β的一個充分不必要條件是()A．m∥β且l1∥α B．m∥β且n∥βC．m∥β且n∥l2 D．m∥l1且n∥l2[解析]對于選項A，當m∥β，且l1∥α時，α，β可能平行也可能相交，故A中條件不是α∥β的充分條件；對于選項B，當m∥β且n∥β時，若m∥n，則α，β可能平行也可能相交，故B中條件不是α∥β的充分條件；對于選項C，當m∥β且n∥l2時，α，β可能平行也可能相交，故C中條件不是α∥β的充分條件；對于選項D，當m∥l1，n∥l2時，由線面平行的判定定理可得l1∥α，l2∥α，又l1∩l2＝M，由面面平行的判定定理可以得到α∥β，但α∥β時，m∥l1且n∥l2不確定成立，故D中條件是α∥β的一個充分條件．故選D.[答案]D(2)(2024·安徽蚌埠二模改編)如圖所示，菱形ABCD的邊長為2，∠D＝60°，點H為DC的中點，現以線段AH為折痕將菱形折起，使點D到達點P的位置且平面PHA⊥平面ABCH，點E，F分別為AB，AP的中點．求證：平面PBC∥平面EFH.[證明]菱形ABCD中，E，H分別為AB，CD的中點，所以BE綊CH，所以四邊形BCHE為平行四邊形，則BC∥EH，又EH平面PBC，所以EH∥平面PBC.又點E，F分別為AB，AP的中點，所以EF∥BP，又EF平面PBC，所以EF∥平面PBC.而EF∩EH＝E，所以平面EFH∥平面PBC.(3)如圖所示，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是菱形，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，G和H分別是CE和CF的中點．求證：平面BDGH∥平面AEF.[證明]在△CEF中，因為G，H分別是CE，CF的中點，所以GH∥EF，又因為GH平面AEF，EF平面AEF，所以GH∥平面AEF，連接AC，設AC∩BD＝O，連接OH(圖略)，在△ACF中，因為OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，又因為OH平面AEF，AF平面AEF，所以OH∥平面AEF.又因為OH∩GH＝H，OH，GH平面BDGH，所以平面BDGH∥平面AEF.[破題技法]判定面面平行的4種方法(1)面面平行的定義，即推斷兩個平面沒有公共點．(2)面面平行的判定定理．(3)垂直于同一條直線的兩平面平行．(4)平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行．考點三平行關系的探究問題挖掘1探究條件(開放性問題)/自主練透[例1](1)(2024·福建泉州模擬)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中點，P是DD1的中點，設Q是CC1上的點，當點Q________時，平面D1BQ∥平面PAOA．與C重合 B．與C1重合C．為CC1的三等分點 D．為CC1的中點[解析]在正方體ABCD-A1B1C1D1∵O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點，∴PO∥BD1，當點Q為CC1的中點時，連接PQ，則PQ綊AB，∴四邊形ABQP是平行四邊形，∴AP∥BQ，∵AP∩PO＝P，BQ∩BD1＝B，AP、PO平面PAO，BQ、BD1平面D1BQ，∴平面D1BQ∥平面PAO.故選D.[答案]D(2)如圖所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，D，D1分別是AC，A1C1上的點，當eq\f(AD,DC)，eq\f(A1D1,D1C1)分別為何值時，平面BC1D∥平面AB1D1.[解析]如圖所示，連接A1B與AB1交于點O，連接OD1.因為平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，所以BC1∥OD1.同理AD1∥DC1.由BC1∥OD1，得eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1，即A1D1＝D1C1.由AD1∥DC1，AD∥D1C1，得四邊形ADC1D1是平行四邊形，所以AD＝D1C1，所以A1D1＝DC.所以eq\f(DC,AD)＝eq\f(A1D1,D1C1)＝1，即當eq\f(AD,DC)＝eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，平面BC1D∥平面AB1D1.[破題技法]對平行關系條件的探究常采納以下三種方法：(1)先猜后證，即先視察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探究出命題成立的條件，再證明其充分性；(3)把幾何問題轉化為代數問題，探究命題成立的條件．挖掘2探究結論(創新性問題)/互動探究[例2](1)如圖，透亮塑料制成的長方體容器ABCD-A1B1C1D1內灌進一些水，固定容器底面一邊BC①沒有水的部分始終呈棱柱形；②水面EFGH所在四邊形的面積為定值；③棱A1D1始終與水面所在平面平行；④當容器傾斜如圖所示時，BE·BF是定值．其中正確命題的個數是()A．1 B．2C．3 D．4[解析]由題圖，明顯①是正確的，②是錯誤的；對于③，∵A1D1∥BC，BC∥FG，∴A1D1∥FG且A1D1平面EFGH，FG平面EFGH，∴A1D1∥平面EFGH(水面)．∴③是正確的；對于④，∵水是定量的(定體積V)，∴S△BEF·BC＝V，即eq\f(1,2)BE·BF·BC＝V.∴BE·BF＝eq\f(2V,BC)(定值)，即④是正確的，故選C.[答案]C(2)(2024·高考全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq\f(3\r(3),4) B．eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4) D.eq\f(\r(3),2)[解析]如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與A1A，A1B1，A1D1平行，故正方體ABCD-A1B1C1D1的每條棱所在直線與平面AB如圖所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，DD1，AD的中點E，F，G，H，M，N，則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形EFGHMN＝6×eq\f(1,