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文檔簡介
華師版八年級上第13章全等三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)2.角平分線中常用的作輔助線的方法
因為角的平分線已經(jīng)具備了全等三角形的兩個條件(角
相等和公共邊)，所以在處理角的平分線的問題時，常作出
全等三角形的第三個條件，截兩邊相等(S.A.S.)或向兩邊
作垂線段(A.A.S.)等來構(gòu)造全等三角形.方法1作一邊的垂線段法構(gòu)造對稱圖形1.
已知：如圖，
D
為△
ABC
外角∠
ACP
平分線上一點，且
DA
＝
DB
，
DM
⊥
BP
于點
M
.
(1)若
AC
＝6，
DM
＝2，求△
ACD
的面積；1234【解】如圖，過點
D
作
DN
⊥
AC
于點
N
.
1234(2)求證：
AC
＝
BM
＋
CM
.
【證明】∵
DM
⊥
BP
，
DN
⊥
AC
，∴∠
DMB
＝∠
DNC
＝∠
DNA
＝90°.∵
CD
＝
CD
，
DM
＝
DN
，∴Rt△
CDM
≌Rt△
CDN
(H.L.).∴
CM
＝
CN
.
∵
AD
＝
BD
，
DN
＝
DM
，∴Rt△
ADN
≌Rt△
BDM
(H.L.).∴
AN
＝
BM
.
∴
AC
＝
AN
＋
CN
＝
BM
＋
CM
.
1234方法2作兩邊的垂線段法構(gòu)造對稱圖形2.
[新考法·等面積法]如圖，點
F
，
G
是
OA
上兩點，點
M
，
N
是
OB
上兩點，且
FG
＝
MN
，△
PFG
和△
PMN
的面積相等.試判斷點
P
是否在∠
AOB
的平分線
上，并說明理由.1234【解】點
P
在∠
AOB
的平分線上.理由如下：如圖，過點
P
作
PD
⊥
OA
于點
D
，
PE
⊥
OB
于點
E
.
S△
PFG
＝
S△
PMN
，
又∵
FG
＝
MN
，∴
PD
＝
PE
.
∴點
P
在∠
AOB
的平分線上.1234方法3補(bǔ)形法構(gòu)造對稱圖形3.
如圖，在△
AOB
中，
AO
＝
OB
，∠
AOB
＝90°，
BD
平
分∠
ABO
交
AO
于點
D
，
AE
⊥
BD
交
BD
的延長線于點
E
.
求證：
BD
＝2
AE
.
【證明】如圖，延長
AE
交
BO
的延長線于點
F
.
∵
AE
⊥
BE
，∴∠
AEB
＝∠
FEB
＝90°.∵
BD
平分∠
ABO
，∴∠
ABE
＝∠
FBE
.
1234又∵
BE
＝
BE
，∴△
ABE
≌△
FBE
(A.S.A.).∴
AE
＝
FE
.
∴
AF
＝2
AE
.
∵∠
AOF
＝∠
BEF
＝90°，∴∠
OAF
＋∠
AFO
＝90°，∠
OBD
＋∠
AFO
＝90°.∴∠
OAF
＝∠
OBD
.
又∵
OA
＝
OB
，∠
AOF
＝∠
BOD
＝90°，∴△
AOF
≌△
BOD
(A.S.A.).∴
AF
＝
BD
.
∴
BD
＝2
AE
.
1234方法4翻折法構(gòu)造對稱圖形4.
如圖，
AD
為△
ABC
的中線，
DE
，
DF
分別是△
ADB
和
△
ADC
的角平分線.求證：
BE
＋
CF
＞
EF
.
【證明】如圖，在
AD
上截取
DH
＝
BD
，連結(jié)
EH
，
FH
.
∵
AD
是
BC
邊上的中線，∴
BD
＝
CD
＝
DH
.
1234∵
DE
平分∠
ADB
，∴∠
BDE
＝∠
HDE
.
又∵
DE
＝
DE
，∴△
BDE
≌△
HDE
(S.A.S.).∴
BE
＝
HE
.
同理可證△
CDF
≌△
HDF
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