第四章指數函數與對數函數4.1.1n次方根與分數指數冪教學目標

理解n次方根、根式的概念與分數指數冪的概念（重點）01

掌握分數指數冪和根式之間的互化、化簡、求值（重點、難點）02掌握分數指數冪的運算性質（重點、難點）03

04

n次方根與分數指數冪學科素養

n次方根、根式的概念與分數指數冪的概念數學抽象

直觀想象

分數指數冪的運算性質邏輯推理

分數指數冪和根式之間的互化、化簡、求值數學運算

數據分析

數學建模

n次方根與分數指數冪01知識回顧RetrospectiveKnowledge指數

為了研究指數函數，我們需要把指數的范圍拓展到全體實數。初中已經學過整數指數冪．冪指數底數讀作“a的n次方”或“a的n次冪”求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做冪.指數運算整數指數冪的運算性質：整數指數冪：02新

知

探

索NewKnowledgeexplore

為了研究指數函數，我們需要把指數的范圍拓展到全體實數.在學習冪函數時，我們把正方形場地的邊長c關于面積S的函數，記作．像這樣以分數為指數的冪，其意義是什么呢？下面從已知的平方根、立方根的意義入手展開研究．乘方運算開方運算乘方和開方是互逆運算因為(±4)2=16，所以±4叫做16的平方根;因為(±3)2=9，所以±3叫做9的平方根；因為23=8，所以2叫做8的立方根；因為(-2)3=-8，所以-2叫做-8的立方根；如果x2=a，那么x叫做a的平方根；如果x3=a，那么x叫做a的立方根；類似地，

因為(±2)4=16，我們把±2叫做16的4次方根;

因為25=32，我們把2叫做32的5次方根；n次方根

當n是奇數時，正數的n次方根是一個正數，負數的n次方根是一個負數，0的n次方根為0，這時，a的n次方根用符號表示．

例如：奇次方根

1.正數的奇次方根是一個正數；

2.負數的奇次方根是一個負數；3.0的奇次方根為0．n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．奇次方根

當n是偶數時：正數的n次方根是有兩個，這兩個數互為相反數，這時候，正數a的正的n次方根用符號表示，負的n次方根用符號表示.正的n次方根和負的n次方根合并寫成；

例如：0的n次方根為0.

n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．偶次方根

負數有沒有偶次方根，因為任何實數的偶次方都是非負數.偶次方根

2.負數沒有偶次方根；1.正數的偶次方根有兩個且互為相反數；3.0的偶次方根為0．

負數有沒有偶次方根？為什么？？偶次方根(n為奇數)(當n是偶數，且a＞0)0的任何次方根都是0，記作．根式:式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．根式根據n次方根的意義，可得：

表示

的n次方根，

一定成立嗎？如果不一定成立，那么

等于什么？探究根式性質例1

求下列各式的值：

當根式的被開方數的指數不能被根指數整除時，根式是否也能表示為分數指數冪的形式呢？把根式表示為分數指數冪的形式的時候，例如：分數指數冪正數的正分數指數冪：正數的負分數指數冪：規定：

0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒意義．分數指數冪

一般的，無理數指數冪

aα（a>0，α為無理數）是一個確定的實數，冪中的指數的取值范圍就從整數拓展到了有理數，并拓展到了實數．

實數指數冪是一個確定的實數．對任意實數r，s，均有下面的性質：指數運算性質例2

求下列各式的值：根式化簡與求值的思路及注意點：(1)思路：首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的性質進行化簡．(2)注意點：①正確區分“”與“”兩式；（注意分析是否有意義）②運算時注意變式、整體代換，以及平方差、立方差和完全平方公式、完全立方公式的運用，必要時要進行討論．例3

用分數指數冪的形式表示下列各式：例4

計算下列各式（式子中的字母均是正數）：例4

計算下列各式（式子中的字母均是正數）：03拓展提升ExpansionAndPromotion化簡并求值：利用指數冪的運算性質化簡求值的方法：（1）進行指數冪的運算時，一般化負指數為正指數，化根式為分數指數

冪，化小數為分數，同時兼顧運算的順序；（2）在明確根指數的奇偶(或具體次數)時，若能明確被開方數的符號，

則可以對根式進行化簡運算；（3）對于含有字母的化簡求值的結果，一般用分數指數冪的形式表示．04歸納總結SumUp奇次方根

1.正數的奇次方根是一個正數；

2.負數的奇次方根是一個負數；3.0的奇次方根為0．n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．偶次方根

1.正數的偶次方根有兩個且互為相反數；2.負數沒有偶次方根；3.0的偶次方根為0．(n為奇數)(當n是偶數，且a＞0)0的任何次方根都是0，記作．根式:式子叫做根式，這里n叫做根指數，a叫做被開方數．n次方根定義:

一般地，如果xn=a，則x