2023-2024學年山東省青島市萊西市三校聯考八年級（上）期中數學試卷（五四學制）一．選擇題（共8小題，24分）1.在RtABC中，∠C=90°，sinA=，則tanA=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依題意，作出圖形，設，則，利用勾股定理求得，根據正切的定義求得即可．【詳解】解：如圖，在中，，，設，則，由勾股定理可得，，故選：D．【點睛】本題考查了銳角三角形函數的定義、勾股定理解直角三角形，理解三角函數的定義是解題關鍵．2.如圖，是的直徑，內接于，延長在外相交于點，若，則的度數是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，根據圓內接四邊形，得出，根據是直徑得出，則，根據垂徑定理得出，根據平行線的性質以及三角形的外角的性質，即可求解．【詳解】解：連接，∵四邊形是的內接四邊形，∴，∵是直徑，∴，∵，∴∴，，∴，∴，故選：B．【點睛】本題考查了圓內接四邊形對角互補，垂徑定理，直徑所對的圓周角是直接，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．3.如圖，在?ABCD中，點E在AD上，且AE＝2ED，CE交對角線BD于點F，若S△DEF＝2，則S△BCF為（）A.4 B.6 C.9 D.18【答案】D【解析】【分析】根據相似三角形面積比等于相似比的平方即可解決問題．【詳解】解：∵AE＝2ED，∴，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，BC＝AD，∴△EDF∽△CBF，∴，∴（）2，∵S△EDF＝2，∴S△BCF＝18．故選：D．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，平行四邊形的性質，掌握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．4.如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西30°方向航行至C港，則A，C兩港之間的距離是（）A. B.30 C.40 D.50【答案】D【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用—方位角問題、直角三角形的判定與性質，先根據方位角判斷三角形的形狀，然后利用勾股定理計算是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，由題意得：，，∴，∴，在中，，，∴A，C兩港之間的距離為，故選：D．5.如圖，在中，點D在線段上，請添加一條件使，則下列條件中不正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查添加條件證明三角形相似，根據相似三角形的判定方法，兩組對應角對應相等，和兩組對應邊對應成比例，夾角相等，進行判斷即可．【詳解】解：在和中，，要使，只需，，或或即可；當時，∵，∴，能使；綜上：只有選項A不能證明；故選A．6.如圖，是邊長為6的等邊三角形，點D，E在邊上，若，，則的長度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由于是等邊三角形，還給出，所有考慮直接把轉移到一個直角三角形中求解，那么這個角度如何利用，恰好想到過點A作的垂線直接得到了，可求，再利用正切，可求,最后在求．【詳解】∵是等邊三角形；∴；過點作的垂線，垂足為；∴；∴；∵；∴；∵；；∴；在中，；中；；∴；∴；∴；∴；∵；∴；故選．7.如圖，是的直徑，，，是上的三點，，點是的中點，點是上一動點，若的半徑為，則的最小值為（）A.1 B. C. D.﹣1【答案】C【解析】【分析】本題考查了軸對稱－最短路線問題、圓周角定理以及等腰直角三角形的性質作點關于的對稱點，連接、、、，根據軸對稱確定最短路線問題可得＋的最小值為，根據在同圓或等圓中，同弧所對的圓心角等于圓周角的倍求出，然后可得，再求出，根據對稱性及圖形得出，從而判斷出是等腰直角三角形，再根據等腰直角三角形的性質可得的長度．【詳解】解：作點關于的對稱點，連接、、、，則＋的最小值，，，，點為的中點，，由對稱性可得，，，是等腰直角三角形，，即＋的最小值為．故選C．8.如圖，等邊三角形的邊長為，的半徑為，為邊上一動點，過點作的切線，切點為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，根據切線的性質得到，勾股定理求得，即當最小時，有最小值，當時，最小，求出即得的最小值．【詳解】解：連接，∵是的切線，∴，∵，∴，即當最小時，有最小值，∵等邊三角形的邊長為，為邊上一動點，∴當時，最小，此時，∴，即的最小值為3，故選：D．【點睛】此題考查了切線的性質，勾股定理，等邊三角形的性質，熟練掌握切線的性質定理及勾股定理是解題的關鍵．二．填空題（共6小題，18分）9.如圖，一個小球由地面沿著坡度為的坡面向上前進了25cm，則此時小球水平方向前進的距離是_______cm．【答案】20【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的應用﹣坡度坡角問題，過作于，由，設cm，cm，則cm，即可求解．【詳解】解：如圖，過作于，由，設cm，cm，由勾股定理得：，解得，（cm）．故答案為：20．10.如圖，為等邊三角形，點D、E分別在邊、上，，如果，，那么_________．【答案】【解析】【分析】本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的判定及性質等，由等邊三角形的性質可證，從而可證，從而可得，再由求出，即可求解．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，，，，，，，，解得：；故答案：．11.如圖，湖的旁邊有一建筑物，某數學興趣小組決定測量它的高度．他們首先在點處測得建筑物最高點的仰角為，然后沿方向前進12米到達處，又測得點的仰角為．請你幫助該小組同學，計算建筑物的高度約為___________米．（結果精確到1米，參考數據）【答案】16【解析】【分析】本題考查了解直角三角形的應用仰角俯角問題，根據題意可得：，米，然后設米，則米，在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，再在中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而列出關于的方程，進行計算即可解答，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．詳解】解：由題意得：，米，設米，米，在中，，米，在中，，（米，，解得：，（米，建筑物的高度約為16米，故答案為：16．12.如圖，是等邊三角形，點D，E分別在上，，與相交于點F，是的高，若，則的長等于____．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點E作于H，先求出，，再根據等邊三角形的性質得到，則，求出，得到，則重合，由勾股定理得，則由勾股定理得，再利用等面積法求出的長即可．【詳解】解：如圖所示，過點E作于H，∵，，∴，，∵是等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴重合，中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，∵是的高，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵．13.如圖，已知為的直徑，，交于點D，交于點E，．則的度數等于_______度．【答案】23【解析】【分析】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．利用等腰三角形的性質和三角形內角和可計算出，，再根據圓周角定理得到，則利用互余可計算出，然后計算即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵為的直徑，∴，∴，∴．故答案為：23．14.如圖，在矩形中，，，以點為圓心，分別以的長為半徑作弧，兩弧分別交于點，則圖中陰影部分的面積為__________．【答案】##【解析】【分析】本題考查了矩形的性質、扇形的面積、解直角三角形等知識點，得出，再根據，代入數值進行計算即可得到答案，熟練掌握以上知識點，添加適當的輔助線是解此題的關鍵．【詳解】解：如圖，連接，，由題意得：，，在矩形中，，，，，，在中，，，，，故答案為：．三．解答題（共10小題，78分）15.（1）計算：．（2）計算：．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】根據特殊角的三角函數值的混合運算法則即可求解．【詳解】解：（1）；（2）．【點睛】本題考查的是特殊角的三角函數值的計算，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵．16.如圖，在菱形中，E為邊上一點，．（1）求證：；（2）若，，求菱形的邊長．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】本題考查了菱形的性質，相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形對應邊成比例是關鍵．（1）根據菱形的性質，得出，進而證明結論即可；（2）根據菱形的性質和相似三角形的性質，得到，即可求出菱形的邊長．【小問1詳解】證明：四邊形是菱形，，，，；【小問2詳解】解：四邊形是菱形，，，，，，，，為邊長，17.如圖，以線段為直徑作，交射線于點C，平分交于點D，過點D作直線于點E，交的延長線于點F．連接并延長交射線于點M．（1）求證：直線是的切線；（2）求證：；（3）若，，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析（2）見解析（3）【解析】【分析】此題重點考查切線的判定、直徑所對的圓周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半等知識．（1）連接，由證明，得，即可證明直線是的切線；（2）由線段是的直徑證明，再根據等角的余角相等證明，則；（3））由，，則，則是等邊三角形，所以，則，所以，因為是等邊三角形，平分，可得，即得到的直徑為8，半徑為4，再證是等邊三角形，得到，，因此，根據得到，從而利用“”證得，則陰影部分的面積等于扇形的面積．【小問1詳解】解：如圖，連接，則，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，且，∴直線是的切線；【小問2詳解】∵線段是的直徑，∴，∴，∴，，∵，∴，∴．【小問3詳解】連接交于N，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵是等邊三角形，平分，∴，，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，，∵，∴，∴．18.如圖，從水平面看一山坡上的通訊鐵塔，在點A處用測角儀測得塔頂端點P的仰角是，向前走9米到達B點，用測角儀測得塔頂端點P和塔底端點C的仰角分別是和．（1）求的度數；（2）求該鐵塔的高度．（結果精確到米；參考數據：，）【答案】（1）（2）米【解析】【分析】本題考查了仰角的定義、解直角三角形、三角函數；（1）延長交直線于點F，根據直角三角形兩銳角互余求得即可；（2）設米，根據，構建方程求出x即可．【小問1詳解】延長交直線于點F，則，依題意得：，，∴．【小問2詳解】設米，∵，，∴，∴，∴米，在中，，，在中，，∴，∴，∴，∴（米），即該鐵塔的高度約為米．19.如圖，在中，，點從運動到，且．（1）求證：；（2）若，，求當長為多少時，．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，平行線的性質，三角形外角的性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定，證明．（1）先根據得出，證明，得出，根據相似三角形性質得出，即可證明結論；（2）根據平行線的性質得出，證明，得出，根據，，求出，即可得出當時，．【小問1詳解】證明：，，，，，，∴，，．【小問2詳解】解：若，，又，∴，，，，，，即當時，．20.如圖，已知在中，，，點D在邊上，，連接AD，．（1）求邊的長；（2）求的值．【答案】（1）9（2）【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，理解三角函數的定義和作出輔助線是解題關鍵．（1）設，根據，可求出長度，再根據勾股定理可求出長度，即可得到長，最后由，可解出x的值．即得到長．（2）作于點E，由，可求出長，再由勾股定理可求出，繼而得到長，即可求出．【小問1詳解】解：設，在中，，即，∴．∵，∴，∴，在，，即，解得，經檢驗，是該分式方程的解．∴．【小問2詳解】解：如圖所示，過點D作于點E，在中，，∴，∵，由（1）知．∴，∴．21.某市唐朝古塔（圖1）所示，我校社會實踐小組為了測量塔的高度，如圖2：在地面上處垂直于地面豎立了高度為米的標桿，這時地面上的點，標桿的頂端點，塔的塔尖點A正好在同一直線上，測得米，將標桿沿方向平移米到點處（米）．這時地面上的點，標桿的頂端點，塔尖點正好又在同一直線上，測得米，點與塔底處的點在同一直線上，已知，，．請你根據以上數據，計算此塔的高度有多少米？【答案】此塔的高度有30米【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關鍵．根據垂直的定義和相似三角形的判定和性質定理即可得到結論．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴（米），答：此塔的高度有30米．22.如圖，BC是⊙O直徑，點A是⊙O上一點，∠ABC＝22.5°，點D為BC延長線上一點，且AD＝OB．（1）求證：DA是⊙O的切線；（2）過點A作AE⊥BD交⊙O于點E，EO的延長線交AB于點F，若⊙O的直徑為4，求線段EF的長．【答案】（1）見解析；（2）2【解析】【分析】（1）連接AO，由∠ABC＝22.5°求出∠AOD＝45°，再由AD＝OB、OA＝OB得到∠AOD＝∠D＝45°，從而得到∠OAD＝90°，得證DA是⊙O的切線；（2）由AE⊥BD和直徑為4結合垂徑定理求得∠OAE、∠E和AE的長度，再結合∠ABC的度數求出∠AFE和∠FAE的大小，從而求出線段EF的長．【詳解】證明：連接OA，∵∠ABC＝22.5°，∴∠AOD＝2∠ABC＝45°，∵OA＝OB，AD＝OB，∴OA＝AD，∴∠AOD＝∠D＝45°，∴∠OAD＝90°，∴DA是⊙O的切線．（2）解：∵AE⊥BD，∠AOD＝45°，∴∠OAE＝∠E＝45°，∠AOE＝90°，∵直徑為4，∴OA＝OE＝2，∴AE＝2，∵OA＝OB，∠ABC＝22.5°，∴∠OAB＝ABC＝22.5°，∴∠FAE＝∠OAB+∠OAE＝22.5°+45°＝67.5°，∴∠AFE＝180°﹣∠FAE﹣∠E＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠AFE＝∠FAE，∴EF＝AE＝2．【點睛】本題考查了切線的定義、圓周角定理、垂徑定理、等腰直角三角形的三邊關系和等腰三角形的判定與性質，第一問解題的關鍵是利用圓周角定理求出∠AOD的度數和利用等邊對等角求出∠D的大小，第二問解題的關鍵是通過垂徑定理判斷出∠AFE＝∠FAE，然后利用等角對等邊求出線段EF的長度．23.在平面直角坐標系中，已知，；點從開始沿以的速度移動，點Q從點B開始沿邊向點O以的速度移動．如果P、Q同時出發，用，（1）用含t的代數式表示：線段______；________．（2）當與相似時，求出t的值．【答案】（1），；（2）或【解析】【分析】本題考查了相似三角形的性質、坐標與圖形的性質：（