全等三角形基本模型訓練全等模型一一線三等角模型例題：【探究】如圖①，點B、C在的邊上，點E、F在內部的射線上，分別是、△CAF的外角．若，，求證：△ABE≌△CAF．【應用】如圖②，在等腰三角形ABC中，，，點D在邊上，，點E、F在線段上，，若的面積為9，則與的面積之和為．鞏固訓練1．（23-24八年級上·廣西南寧·開學考試）如圖，是經過頂點C的一條直線，，E、F分別是直線上兩點，且．(1)若直線經過的內部，且E、F在射線上．①如圖1，若，，試判斷和的數量關系，并說明理由；②如圖2，若，請添加一個關于α與關系的條件，使①中的條件仍然成立，并說明理由．(2)如圖3.若直線經過的外部，，請提出關于，，三條線段數量關系的合理猜想，并說明理由．2．（24-25八年級上·全國·假期作業）（1）如圖①，已知：中，，，直線經過點，于，于，求證：；（2）拓展：如圖②，將（1）中的條件改為：中，，、、三點都在直線上，并且，為任意銳角或鈍角，請問結論是否成立？如成立，請證明；若不成立，請說明理由；（3）應用：如圖③，在中，是鈍角，，，，直線與的延長線交于點，若，的面積是，求與的面積之和．全等模型二三垂直模型例題：通過對下面數學模型的研究學習，解決下列問題：(1)如圖1，點A在直線l上，，過點B作于點C，過點D作交于點E．得．又，可以推理得到．進而得到結論：_____，_____．我們把這個數學模型稱為“K字”模型或“一線三直角”模型；(2)如圖2，∠于點C，于點E，與直線交于點，求證：．鞏固訓練1．（2024上·吉林遼源·九年級統考期末）如圖，在中，，，直線經過點C，且于D，于E．(1)當直線繞點C旋轉到①的位置時，求證：①；②；(2)當直線繞點C旋轉到②的位置時，求證：；(3)當直線繞點C旋轉到③的位置時，試問、、具有怎樣的數量關系？請直接寫出這個等量關系，不需要證明．2．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）數學課上，老師讓同學們利用三角形紙片進行操作活動，探究有關線段之間的關系問題情境：如圖1，三角形紙片中，，.將點C放在直線上，點A，B位于直線的同側，過點A作于點D初步探究：(1)在圖1的直線上取點E，使，得到圖2，猜想線段與的數量關系，并說明理由；(2)小穎又拿了一張三角形紙片繼續進行拼圖操作，其中，.小穎在圖1的基礎上，將三角形紙片的頂點P放在直線上，點M與點B重合，過點N作于點H.如圖3，探究線段，，之間的數量關系，并說明理由3．（23-24七年級下·云南昆明·期末）綜合與實踐：(1)【問題情境】在綜合與實踐課上，何老師對各學習小組出示了一個問題：如圖1，，，，，垂足分別為點，．請證明：．(2)【合作探究】“希望”小組受此問題的啟發，將題目改編如下：如圖2，，，點是上一動點，連接，作且，連接交于點．若，，請證明：點為的中點．(3)【拓展提升】“創新”小組在“希望”小組的基礎上繼續提出問題：如圖3，，，點是射線上一動點，連接，作且，連接交射線于點．若，請直接寫出的值．全等模型三旋轉型模型例題：如圖1，把一塊直角三角尺ABC的直角頂點C放置在水平直線MN上，在中，，，試回答下列問題：（1）若把三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉，當AB∥MN時，度；（2）在三角尺ABC繞著點C按順時針方向旋轉過程中，分別作AM⊥MN于M，BN⊥MN與N，若，，求MN．（3）三角尺ABC繞著點C按順時針方向繼續旋轉到圖3的位置，其他條件不變，則AM、BN與MN之間有什么關系？請說明理由．鞏固訓練1．如圖，和都是等腰直角三角形，．（1）猜想：如圖1，點在上，點在上，線段與的數量關系是______，位置關系是______；（2）探究：把繞點旋轉到如圖2的位置，連接，，（1）中的結論還成立嗎？說明理由；（3）拓展：把繞點在平面內自由旋轉，若，，當，，三點在同一直線上時，則的長是______．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發現如圖1，當點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關系為；線段BD、AB、EB的數量關系為；（2）猜想論證當點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數量關系，并對圖2的結論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．全等模型四倍長中線模型例題：（23-24八年級上·湖北省直轄縣級單位·期中）我們規定：有兩組邊相等，且它們所夾的角互補的兩個三角形叫兄弟三角形．如圖，，，．回答下列問題：(1)求證：和是兄弟三角形．(2)取的中點，連接，試說明．小王同學根據要求的結論，想起了老師上課講的“中線（點）倍延”的輔助線構造方法，解決了這個問題．①請在圖中通過作輔助線構造，并證明．②求證：．鞏固訓練1．（23-24七年級下·山東濟南·期末）如圖，中，為的中點，是上一點，連接并延長交于．若，，，那么的長度為．2．（23-24七年級下·山東濟南·期中）閱讀下列材料，完成相應任務．數學活動課上，老師提出了如下問題：如圖1，已知中，是邊上的中線．求證：智慧小組的證法如下：證明：如圖2，延長至E，使，∵是邊上的中線，∴，在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△

CDA（依據1），∴，在中，（依據2），∴．(1)任務一：上述證明過程中的“依據1”和“依據2”分別是指：依據1：；依據2：．【歸納總結】上述方法是通過延長中線，使，構造了一對全等三角形，將，，轉化到一個三角形中，進而解決問題，這種方法叫做“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．(2)任務二：如圖3，，，則的取值范圍是；A．； B．； C．(3)任務三：利用“倍長中線法”，解決下列問題．如圖4，中，，D為中點，求證：．3．（2023上·江蘇南通·八年級統考期中）課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長到E，使，連接．請根據小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到，得到，在中求得的取值范圍，從而求得的取值范圍是．方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．(2)如圖2，是的中線，，，，試判斷線段與的數量關系，并加以證明；(3)如圖3，在中，D，E在邊上，且．求證：．4．（22-23七年級下·江蘇泰州·期末）【發現問題】（1）數學活動課上，王老師提出了如下問題：如圖1，，【探究方法】第一小組經過合作交流，得到了如下的解決方法：①延長到E，使得；②連接，通過三角形全等把轉化在中；③利用三角形的三邊關系可得的取值范圍為，從而得到的取值范圍是______；方法總結：解題時，條件中若出現“中點”、“中線”字樣，可以考慮倍長中線構造全等三角形【問題解決】（2）如圖2，是的中線，是的中線，，下列四個選項中：直接寫出所有正確選項的序號是______．①；②；③；④【問題拓展】（3）如圖3，，，與互補，連接E是的中點，求證：；（4）如圖4，在（3）的條件下，若，延長交于點，，，則的面積是______．全等模型五截長補短模型例題：在四邊形中，點C是邊的中點．(1)如圖①，平分，，寫出線段，，間的數量關系及理由；(2)如圖②，平分，平分，，寫出線段，，，間的數量關系及理由．鞏固訓練1．（23-24七年級下·四川成都·期中）在的高、交于點，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖1，求的度數；(3)如圖2，延長到點，過點作的垂線交的延長線于點，當時，探究線段、、的數量關系，并證明你的結論．2．（23-24七年級下·四川達州·期末）在數學活動課上，李老師給出以下題目條件：在四邊形中，，點E、F分別是直線上的一點，并且．請同學們在原條件不變的情況下添加條件，開展探究活動．【初步探索】（1）“興趣”小