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文檔簡介
PAGE8-數列§1數列1.1數列的概念學習目標核心素養1.了解數列通項公式的概念.2.能依據通項公式確定數列的某一項.(重點)3.能依據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式.(重點、難點)1.通過數列基本概念的學習培育數學抽象素養.2.通過數列通項公式的應用培育邏輯推理及數學運算素養.1.數列的基本概念閱讀教材P3~P4,完成下列問題.(1)數列的有關概念數列按肯定次序排列的一列數叫作數列項數列中的每一個數叫作這個數列的項首項數列的第1項常稱為首項通項數列中的第n項an叫數列的通項(2)數列的表示①一般形式:a1,a2,a3,…,an,…;②字母表示:上面數列也可記為{an}.③數列的分類分類標準名稱含義舉例按項的個數有窮數列項數有限的數列1,2,3,4,…,n無窮數列項數無限的數列1,4,9,…,n2,…思索:(1)數列1,2,3,4,5和數列5,4,3,2,1是同一個數列嗎?[提示]數列1,2,3,4,5和數列5,4,3,2,1不是同一個數列,因為二者的項的排列次序不同.(2)數列的項和項數有何區分?[提示]數列的項是指數列中的某一個確定的數,而項數是指這個數在數列中的位置序號,如數列1,2,3,4,5中第1項為a1=1,其項數是1.2.通項公式閱讀教材P5“抽象概括”以下至“例1”以上的內容,完成下列問題.(1)假如數列{an}的第n項an與n之間的函數關系可以用一個式子表示成an=f(n),那么這個式子就叫作這個數列的通項公式.(2)數列可以看作是定義域為正整數集N+(或它的有限子集)的函數,當自變量從小到大依次取值時,該函數對應的一列函數值就是這個數列.思索:(1)若an=2n-1,則a2+a3的值是什么?[提示]因為an=2n-1,所以a2=2×2-1=3,a3=2×3-1=5,則a2+a3=3+5=8.(2)數列的通項公式an=f(n)與函數解析式y=f(x)有什么異同?[提示]數列可以看成以正整數集N+(或它的有限子集{1,2,3,…,n})為定義域的函數an=f(n),當自變量依據從小到大的依次依次取值時所對應的一列函數值.不同之處是定義域:數列中的n必需是從1起先且連續的正整數,函數的定義域可以是隨意非空數集.1.已知數列{an}的通項公式是an=n2+1,則122是該數列的()A.第9項 B.第10項C.第11項 D.第12項C[由n2+1=122得n2=121,∴n=11.故選C.]2.數列3,4,5,6,…的一個通項公式為()A.an=n B.an=n+1C.an=n+2 D.an=2nC[經檢驗可知,它的一個通項公式為an=n+2.]3.若數列{an}的通項公式為an=sineq\f(nπ,2),則a2=________.0[a2=sineq\f(2π,2)=sinπ=0.]4.已知數列{an}的通項公式為an=(-1)n,n∈N+,則它的第8項是________,第9項是________.1-1[當n=8時,a8=(-1)8=1.當n=9時,a9=(-1)9=-1.]數列的概念【例1】(1)下列說法錯誤的是()A.數列0,1,2,3,…的首項是0B.數列{an}中,若a1=3,則從第2項起,各項都不等于3C.數列中的每一項都是數D.假如已知數列的通項公式,那么可以寫出該數列的隨意一項(2)下列各組元素能構成數列嗎?假如能,構成的數列是有窮數列,還是無窮數列?并說明理由.①8,8,8,8;②-3,-1,1,x,5,7,y,11;③當n取1,2,3,4,…時,(-1)n的值排成的一列數.(1)B[同一個數可以在一個數列中重復出現,故B錯誤.](2)[解]①能構成數列,且構成的是有窮數列.②當x,y代表數時是數列,此時構成的是有窮數列;當x,y中有一個不代表數時,便不能構成數列,這是因為數列必需是由一列數按肯定的依次排列組成的.③能構成數列,且構成的是無窮數列.所構成的數列是-1,1,-1,1,….數列及其分類的判定方法1推斷所給的對象是否為數列,關鍵看它們是不是按肯定次序排列的數.2推斷所給的數列是有窮數列還是無窮數列,只需視察數列含有限項還是無限項,若數列含有限項,則是有窮數列,否則是無窮數列.eq\o([跟進訓練])1.下列說法正確的是()A.1,2,3,4,…,n是無窮數列B.數列3,5,7與數列7,5,3是相同數列C.同一個數在數列中不能重復出現D.數列{2n+1}的第6項是13D[A錯誤,數列1,2,…,n,共n項,是有窮數列.B錯誤,數列是有次序的.C錯誤,數列中的數可以重復出現.D正確,當n=6時,2×6+1=13.]依據數列的前n項寫出數列的通項公式【例2】依據以下數列的前幾項,寫出數列的一個通項公式.(1)eq\f(2,3),eq\f(4,15),eq\f(6,35),eq\f(8,63),…;(2)eq\f(1,2),2,eq\f(9,2),8,eq\f(25,2),…;(3)-1,2,-3,4,…;(4)2,22,222,2222,….[解](1)分子均為偶數,分母分別為1×3,3×5,5×7,7×9,…是兩個相鄰奇數的乘積.故an=eq\f(2n,2n-12n+1).(2)將分母統一成2,則數列變為eq\f(1,2),eq\f(4,2),eq\f(9,2),eq\f(16,2),eq\f(25,2),…,其各項的分子為n2.∴an=eq\f(n2,2).(3)該數列的前4項的肯定值與序號相同,且奇數項為負,偶數項為正,故an=(-1)n·n.(4)通過視察分析可知所求通項公式為an=eq\f(2,9)(10n-1).由數列的前幾項求通項公式的思路(1)通過視察、分析、聯想、比較,去發覺項與序號之間的關系.(2)假如關系不明顯,可將各項同時加上或減去一個數,或分解、還原等,將規律呈現,便于找通項公式.(3)要借助一些基本數列的通項,如正整數數列、正整數的平方數列、奇數列、偶數列等.(4)符號用(-1)n或(-1)n+1來調整.(5)分式的分子、分母分別找通項,還要充分借助分子、分母的關系.eq\o([跟進訓練])2.(1)數列1,eq\f(2,3),eq\f(3,5),eq\f(4,7),eq\f(5,9),…的一個通項公式an=()A.eq\f(n,2n+1) B.eq\f(n,2n-1)C.eq\f(n,2n-3) D.eq\f(n,2n+3)(2)依據以下數列的前4項寫出數列的一個通項公式.①eq\f(1,2×4),eq\f(1,3×5),eq\f(1,4×6),eq\f(1,5×7),…;②-3,7,-15,31,…;③2,6,2,6,….(1)B[由已知得,數列可寫成eq\f(1,1),eq\f(2,3),eq\f(3,5),eq\f(4,7),eq\f(5,9),…,故通項公式為eq\f(n,2n-1).](2)[解]①均是分式且分子均為1,分母均是兩因數的積,第一個因數是項數加上1,其次個因數比第一個因數大2,所以an=eq\f(1,n+1n+3).②正負相間,且負號在奇數項,故可用(-1)n來表示符號,各項的肯定值恰是2的整數(項數加1)次冪減1,所以an=(-1)n(2n+1-1).③此數列為搖擺數列,一般求兩數的平均數eq\f(2+6,2)=4,而2=4-2,6=4+2,中間符號用(-1)n來表示.所以an=4+(-1)n·2或an=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2,n是奇數,,6,n是偶數.))通項公式的應用[探究問題]1.已知數列{an}的通項公式,如何求數列的某一項?[提示]把n的值代入通項公式進行計算即可,相當于函數中,已知函數的解析式和自變量的值求函數值關于n的方程.2.已知數列{an}的通項公式,如何推斷某一個數是否為該數列中的項?[提示]假定這個數是數列中的第n項,由通項公式可得關于n的方程,解方程求得n,若n是正整數,則該數是數列中的項;若方程無解或n不是正整數,則該數不是數列中的項.【例3】數列{an}的通項公式是an=eq\f(n2-21n,2)(n∈N+).(1)0和1是不是數列{an}中的項?假如是,那么是第幾項?(2)數列{an}中是否存在連續且相等的兩項?若存在,分別是第幾項?思路探究:(1)eq\x(令an=0,an=1)?eq\x(求n)?eq\x(推斷)(2)eq\x(假設存在連續且相等的兩項)?eq\x(列方程)?eq\x(求解)?eq\x(推斷)[解](1)若0是{an}中的第n項,則eq\f(n2-21n,2)=0,因為n∈N+,所以n=21.所以0是{an}中的第21項.若1是{an}中的第n項,則eq\f(n2-21n,2)=1,所以n2-21n=2,即n2-21n-2=0.因為方程n2-21n-2=0不存在正整數解,所以1不是{an}中的項.(2)假設{an}中存在第m項與第m+1項相等,即am=am+1,解得m=10.所以數列{an}中存在連續的兩項,即第10項與第11項相等.1.(變條件)在例3中,把“an=eq\f(n2-21n,2)”改為“an=n2-3n”,解答(1)(2)兩題.[解](1)若0是{an}中的第n項,則n2-3n=0,因為n∈N+,所以n=3,故0是{an}中的第3項.若1是{an}中的第n項,則n2-3n=1,即n2-3n-1=0,因為方程n2-3n-1=0不存在正整數解,所以1不是{an}中的項.(2)假設{an}中存在第m項與第m+1項相等,即am=am+1,所以m2-3m=(m+1)2-3(m+1),解得m=1.所以數列{an}中存在連續的兩項,第1項與第2項相等.2.(變結論)例3的條件不變,求a3+a4的值和a2n.[解]a3+a4=eq\f(32-21×3,2)+eq\f(42-21×4,2)=-61,a2n=eq\f(2n2-21×2n,2)=2n2-21n.1.由通項公式寫出數列的指定項,主要是對n進行取值,然后代入通項公式,相當于函數中,已知函數解析式和自變量的值求函數值.2.推斷一個數是否為該數列中的項,其方法是可由通項公式等于這個數求方程的根,依據方程有無正整數根便可確定這個數是否為數列中的項.1.視察法寫通項公式的留意事項據所給數列的前幾項求其通項公式時,需細致視察分析,抓住以下幾方面的特征:①分式中分子、分母的特征;②相鄰項的改變特征;③拆項后的特征;④各項的符號特征和肯定值特征.并對此進行聯想、轉化、歸納.2.并非每一個數列均有通項公式,例如由eq\r(2)的不足近似值構成的數列1,1.4,1.41,1.414,…,便無通項公式.1.推斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)數列中的項不能相等. ()(2)數列1,2,3,4,…,n-1,只有n-1項. ()(3)數列1,2,3,4,…,n2是無窮數列. ()[答案](1)×(2)√(3)×[提示]數列中的項可以相等,故(1)錯;數列1,2,3,4,…,n2共n2項,是有窮數列,故(3)錯.2.在數列-1,0,eq\f(1,9),eq\f(1,8),…,eq\f(n-2,n2),…中0.08是它的()A.第100項 B.第12項C.第10項 D.第8項C[由題意知,an=eq\f(n-2,n2).令an=0.08,即eq\f(n-2,n2)=eq\f(8,100),所以n=10,n=eq\f(5,2)(舍去),故選C.]3.若數列{an}的通項公式是an=3-2n,則a2n=________,eq\f(a2,a3)=________.3-4neq\f(1,5)[依據通項公式我們可以求出這個數列的隨意一項.因為an=3-2n,所以a2n=3-22n=3-4n,eq\f(a2,a3)=eq\f(3-22,3-23)=eq\f(1,5).]4.已知數列{an}的通項公式為an=eq\f(4,n2+3n).(1)寫出數列的前三項;(2)eq\f(1,10)和eq\f(16,27)是不是數列{an}中的項?假如是,是第幾項?[解](1)數列的前三項:a1=eq\f(4,12+3×1)=1,a2=eq\f(4,2
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