上海市延安中學2025屆高二上數學期末聯考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數列1，，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.2．在等差數列中，，則等于A.2 B.18C.4 D.93．已知數列是等比數列，，數列是等差數列，，則的值是()A. B.C. D.4．如圖，奧運五環由5個奧林匹克環套接組成，環從左到右互相套接，上面是藍、黑、紅環，下面是黃，綠環，整個造形為一個底部小的規則梯形．為迎接北京冬奧會召開，某機構定制一批奧運五環旗，已知該五環旗的5個奧林匹克環的內圈半徑為1，外圈半徑為1.2，相鄰圓環圓心水平距離為2.6，兩排圓環圓心垂直距離為1.1，則相鄰兩個相交的圓的圓心之間的距離為（）A. B.2.8C. D.2.95．在數列中，，，則（）A. B.C. D.6．已知銳角的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量，，，則的最小值為（）A. B.C. D.7．等比數列的各項均為正數，且，則（）A.5 B.10C.4 D.8．在長方體中，若，，則異而直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．已知，是雙曲線的左右焦點，過的直線與曲線的右支交于兩點，則的周長的最小值為（）A. B.C. D.10．橢圓上的一點M到其左焦點的距離為2，N是的中點，則等于（）A.1 B.2C.4 D.811．已知函數，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數只有極大值，無極小值C.若與互為相反數，則的極值與的極值互為相反數D.若與互為倒數，則的極值與的極值互為倒數12．已知集合，，則A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．萊昂哈德·歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共線．后來人們稱這條直線為該三角形的歐拉線．已知的三個頂點坐標分別是，，，則的垂心坐標為______，的歐拉線方程為______14．不透明袋中裝有完全相同，標號分別為1，2，3，…，8的八張卡片．從中隨機取出3張．設X為這3張卡片的標號相鄰的組數（例如：若取出卡片的標號為3，4，5，則有兩組相鄰的標號3、4和4、5，此時X的值是2）．則隨機變量X的數學期望______15．函數的單調遞減區間是____16．如圖，在棱長都為的平行六面體中，，，兩兩夾角均為，則________；請選擇該平行六面體的三個頂點，使得經過這三個頂點的平面與直線垂直.這三個頂點可以是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設橢圓過，兩點，為坐標原點（1）求橢圓的方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓恒有兩個交點，，且？若存在，寫出該圓的方程，并求的取值范圍；若不存在，說明理由18．（12分）設橢圓的左焦點為，上頂點為．已知橢圓的短軸長為4，離心率為（1）求橢圓的方程；（2）設點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點且（為原點），求直線的斜率19．（12分）已知圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點（1）求直線y＝x被圓C所截得的弦長；（2）圓M過點A，B，且圓心在直線y＝x+1上，求圓M的方程20．（12分）已知等差數列滿足（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和21．（12分）已知數列滿足，，.（1）證明：數列是等比數列，并求其通項公式；（2）若，求數列的前項和.22．（10分）已知命題p：點在橢圓內；命題q：函數在R上單調遞增（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若為假命題，求實數m的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據各項的分子和分母特征進行求解判斷即可.【詳解】因為，所以該數列的一個通項公式可以是；對于選項B：，所以本選項不符合要求；對于選項C：，所以本選項不符合要求；對于選項D：，所以本選項不符合要求，故選：A2、D【解析】利用等差數列性質得到，，計算得到答案.詳解】等差數列中，故選D【點睛】本題考查了等差數列的計算，利用性質可以簡化運算，是解題的關鍵.3、B【解析】根據等差數列和等比數列下標和的性質即可求解.【詳解】為等比數列，，，，；為等差數列，，，，，∴.故選：B.4、C【解析】根據題意作出輔助線直接求解即可.【詳解】如圖所示，由題意可知，在中，取的中點，連接，所以，，又因為，所以，所以即相鄰兩個相交的圓的圓心之間的距離為.故選：C5、A【解析】根據已知條件，利用累加法得到的通項公式，從而得到.【詳解】由，得，所以，所以.故選：A.6、C【解析】由，得到，根據正弦、余弦定理定理化簡得到，化簡得到，再結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，向量，，因為，所以，可得，由正弦定理得，整理得，又由余弦定理，可得，因為，所以，由，所以，因為是銳角三角形，且，可得，解得，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.故選：C7、A【解析】利用等比數列的性質及對數的運算性質求解.【詳解】由題有，則=5.故選：A8、C【解析】通過平移把異面直線平移到同一平面中，所以取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線與所成角為和所成角，通過解三角形即可得解.【詳解】根據長方體的對稱性可得體對角線過中心點，取，的中點，易知且過中心點，所以異而直線和所成角為和所成角，連接，在中，，，，所以則異而直線與所成角的余弦值為：，故選：C.9、C【解析】根據雙曲線的定義和性質，當弦垂直于軸時，即可求出三角形的周長的最小值.【詳解】由雙曲線可知：的周長為.當軸時,周長最小值為故選：C10、C【解析】先利用橢圓定義得到，再利用中位線定理得即可.【詳解】由橢圓方程，得，由橢圓定義得，又，，又為的中點，為的中點，線段為中位線，∴.故選：C.11、C【解析】求出函數的導函數，通過在某點處的導數為該點處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過結合與互為相反數，若與互為倒數，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數，以及是否互為倒數.【詳解】，，令，得，所以，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，故A錯；當時，存在使，且當時，；當時，，即有極小值，無極大值，故B錯誤；設為的極值點，則，且，所以，，當時，；當時，，故C正確，D錯誤.12、B【解析】由交集定義直接求解即可.【詳解】集合，，則.故選B.【點睛】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.##(0,1.5)②.【解析】由高線聯立可得垂心，由垂心與重心可得歐拉線方程.【詳解】由，可知邊上的高所在的直線為，又，因此邊上的高所在的直線的斜率為，所以邊上的高所在的直線為：，即，所以，所以的垂心坐標為，由重心坐標公式可得的重心坐標為，所以的歐拉線方程為：，化簡得.故答案為：；14、##【解析】設為這3張卡片的標號相鄰的組數，則的可能取值為0，1，2，利用列舉法分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的數學期望【詳解】解：不透明袋中裝有完全相同，標號分別為1，2，3，，8的八張卡片從中隨機取出3張，共有種，設為這3張卡片的標號相鄰的組數，則的可能取值為0，1，2，的情況有：，2，，，3，，，4，，，5，，，6，，，7，，共6個，，的情況有：取，另外一個數有5種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有4種取法；取，另外一個數有5種取法的情況一共有：，，，隨機變量的數學期望：故答案為：15、【解析】求導，根據可得答案.【詳解】由題意，可得，令，即，解得，即函數的遞減區間為.故答案為：.【點睛】本題考查運用導函數的符號，研究函數的單調性，屬于基礎題.16、①.②.點或點（填出其中一組即可）【解析】（1）以向量，，為基底分別表達出向量和，展開即可解決；（2）由上一問可知，用上一問同樣的方法可以證明出，這樣就證明了平面與直線垂直.【詳解】（1）令，，，則，則有，故（2）令，，，則，則有，故故，即又由（1）之,,故直線垂直于平面同理可證直線垂直于平面故答案為：0;點或點三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）存在，，【解析】（1）根據橢圓E：（）過，兩點，直接代入方程解方程組，解方程組即可.（2）假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且，當切線斜率存在時，設該圓的切線方程為，聯立，根據，結合韋達定理運算，同時滿足，則存在，否則不存在；在該圓的方程存在時，利用弦長公式結合韋達定理得到，結合題意求解即可，當切線斜率不存在時，驗證即可.【小問1詳解】將，的坐標代入橢圓的方程得，解得，所以橢圓的方程為【小問2詳解】假設滿足題意的圓存在，其方程為，其中，設該圓的任意一條切線和橢圓交于，兩點，當直線的斜率存在時，令直線的方程為，①將其代入橢圓的方程并整理得，由韋達定理得，，②因為，所以，③將①代入③并整理得，聯立②得，④因為直線和圓相切，因此，由④得，所以存在圓滿足題意當切線的斜率不存在時，易得，由橢圓方程得，顯然，綜上所述，存在圓滿足題意當切線的斜率存在時，由①②④得，由，得，即當切線的斜率不存在時，易得，所以綜上所述，存在圓心在原點的圓滿足題意，且18、（1）（2）或【解析】（1）根據已知條件求得，由此求得橢圓方程.（2）設出直線的方程，并與橢圓方程聯立，求得點坐標，根據列方程，化簡求得直線的斜率.【小問1詳解】設橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，．所以，橢圓的方程為小問2詳解】由題意，設．設直線的斜率為，又，則直線的方程為，與橢圓方程聯立整理得，可得，代入得，進而直線的斜率．在中，令，得，所以直線的斜率為由，得，化簡得，從而所以，直線的斜率為或19、（1）；（2）.【解析】（1）根據已知條件，結合垂徑定理，以及點到直線的距離公式，即可求解（2）根據已知圓的方程，令y＝0，結合韋達定理，求出圓心的橫坐標，即可求出圓心，再結合勾股定理，即可求出半徑【小問1詳解】∵圓C：，∴，即圓心為(－1,1)，半徑r＝3，∵直線y＝x，即x－y＝0，∴圓心(－1,1)到直線x－y＝0的距離d＝，∴直線y＝x被圓C所截得的弦長為＝【小問2詳解】設A（x1，y1），B（x2，y2），∵圓C：，圓C與x軸交于A，B兩點，∴x2－2x－7＝0，則，|x1－x2|＝＝，∴圓心的橫坐標為x＝，∵圓心在直線y＝x+1上，∴圓心為(1,2)，∴半徑r＝，故圓M的方程為20、（1）（2）【解析】（1）設等差數列的公差為d，由題意得列出方程組，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比數列的定義，可證數列為等比數列，結合前n項和公式，即可得答案.【小問1詳解】設等差數列的公差為d，由題意得，解得，所以通項公式【小問2詳解】由（1）可得，，又，所以數列是以4為首項，4為公比的等比數列，所以21、（1）證明見解析，；（2）.【解析】（1）由已知條件，可得為常數，從而得證數列是等比數