2021屆人教A版（文科數學）空間點線面的位置關系單元測

試

已知三棱柱AB’-/BiJ的側棱垂直于底面，該棱柱的體積為2#,AB=4,AC=2,

NBAC=60。，若在該三棱柱內部有一個球，則此球表面積的最大值為（）?

A.8nB.（16-8狗匹

C.2nD.（4"回兀

2、如果用□表示1個立方體，用□表示兩個立方體疊加，用■表示3個立方體

疊加，那么圖中由7個立方體擺成的幾何體，從正前方觀察，可畫出平面圖形是

（）

/正前方

D.

3、如圖所示，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是（）

①正方體②圓錐③三棱臺④正四棱錐

①②B.①③C.①④D.②④

4、經過點（1,3）且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是（）

A.%+y=4B.y=x+2C.y=3x或x+y=4D.y=3x或

y=x+2

5、一個正三棱柱的三視圖如圖所示，這個三棱柱的側（左）視圖的面積為6省則這

俯視圖

A.12B.16C.8小D.12m

6、

矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將三角形ABC折起，當平面ABCJ?平面ACD時，四

面體ABCD的外接球的體積是（）。

125125125125

-----n-----n-----n-----n

A.12B.9C.6D.3

7、如圖，已知三棱錐的俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一直角邊長為2

的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為（）

8、若空間中〃個不同的點兩兩距離都相等，則正整數〃的取值（）

A.大于5B.等于5C.至多等于4D.至多等于3

9、已知某幾何體的外接球的半徑為其三視圖如圖所示，圖中均為正方形，則該

幾何體的體積為（)

168

A.16B.3c.3D.8

77

10、已知三棱錐A—88中，AB=AC,ABYAC,BD1DC,ZDBC=-,

6

3

若三棱錐A-BCD的最大體積為則三棱錐/-EG）外接球的表面積為

2

A.4百nB.8nC.12nD.1273n

11、如圖所示的直觀圖中，AOAB的原來平面圖形的面積為

3戊

A.3B.2C.3mD.6

12、如圖，記正方形ABCD四條邊的中點為S,M,N,T,連接四個中點得小正方形SMNT,

將正方形ABCD、正方形SMNT繞對角線AC旋轉一周得到的兩個旋轉體的體積依次記

為ViM,貝廣戶2=（）

13、

有一個圓錐與一個圓柱的底面半徑相等，此圓錐的母線與底面所成角為60。，若此

圓柱的外接球的表面積是圓錐的側面積的4倍，則此圓柱的高是其底面半徑的（）。

A.五倍B.2倍C.20倍D.3倍

14、某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（)

12

B.2+1+羅九C.2+(1+V5)冗D.

n

已知球。半徑為3行，設S、A、8、C是球面上四個點，其中

NABC=90,A8=8C=4jI,則棱錐S—ABC的體積的最大值為（）。

A6472D64夜八320n32血

3939

16、

已知正方體的棱長為2,則該正方體的外接球的直徑為（）.（）。

A.V2B.73C.20D.2下）

17、

某幾何體的三視圖如圖所示，俯視圖右側是半圓，則該幾何體的體積為（）

4+2n4+n2+2n2+n

A.3B.3c.3D.3

18、已知某三棱錐的三視圖（單位前）如圖所示，則該三棱錐的體積是（）

正視圖側視圖

俯視圖

A.6cm'B.2cm"C.3cm'D.1cm3

19、一個幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖與左視圖均為半徑是2的圓,這個幾

20、將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側視圖為

21、若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

-271-

seas

24

40--n20--n20--n

A.20-2nB.3c.3D.3

22、球。的一個截面圓的圓心為M,圓M的半徑為b，O用的長度為球O的半徑

的一半，則球O的表面積為（）

A.4萬

C.124

23、如圖，用一邊長為垃的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做

成一個蛋巢，將體積為？萬的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則

3

雞蛋最高點與蛋巢底面的距離為（）

V33

-------1----

22

24、如圖所示的幾何體，關于其結構特征，下列說法不正確的是（）

A.該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體

B.該幾何體有12條棱、6個頂點

C.該幾何體有8個面，并且各面均為三角形

D.該幾何體有9個面，其中一個面是四邊形，其余均為三角形

25、有一個半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為

26、我國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造一種標準量器

—商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若乃取3,其體積為12.6（立

方寸），則圖中的x為.

1卜!,5.4卜3T

正視圖惻視圖

俯視圖

27、已知AABC的三個頂點在以0為球心的球面上，且cosA二二一,BC=1,AC=3,

3

三棱錐0-ABC的體積為—，則球0的表面積為_________。

6

28、一個簡單幾何體的主視圖、俯視圖如下圖所示，則其左視圖不可能為

29、已知在直三棱柱ABC-AIB?中，NBAC=12O。，AB=AC=AA1=2,若棱AA】在正視

圖的投影面a內，且AB與投影面a所成角為磯30。4846。。）.設正視圖的面積為m,側

視圖的面積為n,當。變化時，mn的最大值是.

30、如圖，長方體A3CO-44GA的三個面的對角線A。，\B,AC的長分

別是3,2,3,則該長方體的外接球的表面積為.

H

31、圓臺上、下底面面積分別為團、國，側面積是畫,這個圓臺的高為

32、一塊邊長為10cm的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四

個全等的等腰三角形作側面，以它們的公共頂點P為頂點，加工成一個如圖所示的

正四棱錐容器，當x=6cm時，該容器的容積為cm'.

(第11題圖)

33、請將圖中各圖補上適當的虛線，使它們能比較直觀地看出是立體圖形.

34、面體至少有幾個面?這個多面體是怎樣的幾何體？

35、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺.

36、已知圓柱的側面展開圖是邊長為4和6的矩形，則該圓柱的表面積為

37、如圖，在三棱錐S-ABC中，SAJ■底面ABC,4ABe=90°,且點4/是

SB的中點，4V-SC且交SC于點N.

(1)求證：SCJ■平面AMN；

(2)當AB=BC=1時，求三棱錐M-SAN的體積.

38、已知正四面體棱長為1,分別求該正四面體的外接球與內切球半徑.

39、請給以下各圖分類.

。11AA

(5)(6)(7)(8)

40、下圖為一個正方體表面的一種展開圖，圖中的線段AB、CD、歷和GH在原正

方體中不在同一平面內的共有多少對？

41、如圖所示，正三棱柱的底面邊長是4cm,過BC的一個平面交側棱AA'于點

若AO的長為2cm,求截面△BCD的面積.

42、如圖，已知4B是圓柱底面圓。的直徑，底面半徑R=l,圓柱的表面積

為8兀；點C在底面圓。上，且NAOC=120°.

(1)求三棱錐A-4CB的體積;

(2)求異面直線與0C所成的角的大小(結果用反三角函數值表示).

43、一個圓錐的底面半徑為2cm,高為4cm,其中有一個高為xcm的內接圓柱:

(1)求圓錐的側面積；

(2)當尤為何值時，圓柱側面積最大？并求出最大值.

44、如圖所示，在邊長為5+W的正方形ABCD中，以A為圓心畫一個扇形，以0

為圓心畫一個圓，M,N,K為切點，以扇形為圓錐的側面，以圓0為圓錐底面,

圍成一個圓錐，求圓錐的表面積與體積.

參考答案

1、答案C

已知三棱柱ABC-A1B/1的側棱垂直于底面，AB=4,AC=2,々BAC=60。，

由余弦定理可得：BC=2^,.-.B^+AC^AB2,.-.BC1AC,此直角三角形內切圓半徑

2強=—x2x2J3AA].._C

又?.?該棱柱的體積為2\可得A/--,

而22，，若在該三棱柱內部有一個球，則此球半徑的最大值為2,故此球

表面積的最大值為2m.故選C.

名師名師點評先通過計算得底面為直角三角形，進而得內切圓半徑為r=43，再根據

AA,￡

AA-份—=—<5/3-1

體積得高A、-#,比較22,從而得解.與球有關的組合體問題，一種是內

切，一種是外接.解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的

數量關系，并作出合適的截面圖，如球內切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正

方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對

角線長等于球的直徑.

2、答案B

分析

根據題意和圖可知，左邊和右邊各為一個正方體，當中下面為三個正方體，上面為兩個

正方體，然后根據題中定義好的表示方法組合在一起即可.

詳解

由題意和圖可知，左邊和右邊各為一個正方體，用表示，

當中為三個正方體，用■表示，

上面為兩個正方體，用□表示，

所以答案B是符合題意的，

故選：B.

名師點評

本題考查幾何體的正視圖的畫法，解題關鍵是注意用什么樣的小正方形，代表幾個小正

方體.

3、答案D

4、答案D

5、答案D

設此三棱柱底面邊長為。，高為人，則由圖示知立。=2百，.-.a=4,側視圖面積為

2

20x/?=6百，〃=3.這個三棱柱的體積為由x42x%=12百.故D正確。

4

6、答案C

設矩形ABCD的對角線AC,BD的交點為點O,

0A=OB=0C=0D=-M+42=-

由矩形的性質結合題意可知：2丫2,

在翻折過程中。人，。8，比,0。才長度不變，據此可知點。為球心，

54,4125125

R=0A=一V=—JTR=—rex=n

外接球半徑2,外接球的體積3386.

本題選擇C選項.

7、答案C

8、答案C.

〃=3：平面上3點構成正三角形，符合題意，〃=4：空間中4點構成正四面體，符合

題意，〃=5：顯然任三點不共線，考慮四個點構成的正四面體，第5個點必為正四面

體的外接球的球心，但其半徑與正四面體的棱長顯然不相等，故不成立，故選C.

考查目的：空間幾何體的結構特征.

9、答案C

由該三視圖可知：該幾何體是一個正方體，切去四個角所得的正四面體，其外接球等同

國3a=2

于該正方體的外接球，設正方體的棱長為a,則有2,故該正四面體的體積為

1138

V=23—x4x-x2=-

323,選C.

10、答案C

取的中點。，連接AO,DO,作于點E,設AB=AC=x.

AB_LAC,BD1DC

...AO=OB=OC=OD,即。三棱錐A—BCO外接球的球心.

AB=AC,AB1AC

：.AO=OB=OC=OD=—x

2

71

,：ZDBC=-

6

：.CD=—x

2

...DE=—x

4

3

：三棱錐A-BCD的最大體積為-

2

.?.當DE為三棱錐A-BCD的高時，三棱錐A-BCD的體積最大，即

二x=&，則三棱錐A-BCD的外接球的半徑為—xV6=V3.

2

三棱錐A-BCD的外接球的表面積為4萬x（百丫=12兀.

故選C.

名師點評：本小題主要考查幾何體外接球的表面積的求法，考查三角形外心的求解方法.

在解決有關幾何體外接球有關的問題時，主要的解題策是找到球心，然后通過解三角形

求得半徑.找球心的方法是先找到一個面的外心，再找另一個面的外心，球心就在兩個

外心垂線的交點位置.

11、答案D

根據直觀圖的畫法（斜二測畫法），還原出平面圖形，即可求出平面圖形的面積

詳解

直觀圖4AOB,還原為平面圖形是一個直角三角形，直角邊長為：3,4;所以它的面積為：

1

-x3x4=6

2故答案為：D

名師點評

求直觀圖面積的關鍵是，找出實際圖形中的底邊長和高，實際圖形中的高線，在直觀圖

中變為與水平線成45°角，長度為原來一半的線段；也就說說，直觀圖還原成實際圖形,

平行于x軸的線段長度不變，平行于y軸的線段變成原來的2倍。

12、答案B

將正方形ABCD、正方形SMNT繞對角線AC旋轉一周得到的兩個旋轉體分別為同底圓錐的

組合體和圓柱，假設小正方形邊長為1,求出旋轉后的幾何體的底面半徑和高，分別代入

圓錐與圓柱的體積公式，求出兩圓錐的體積以及圓柱的體積，從而可得結果.

詳解

將正方形ABCD繞對角線AC旋轉一周得到的旋轉體為同底的兩個圓錐的組合體，

將正方形SMNT繞AC旋轉一周得到的幾何體為圓柱,

設正方形SMNT的邊長為1,則正方形ABCD的邊長為國,

則圓錐的底面半徑和高均為1,

1

圓柱的底面半徑為2,高為1,

1227T/1\2n

V=2x-xnxlx1=—=nx-x1=-

則33\2j4,

V18

-=—

V23,gpVrV2=8:3,故選B.

名師點評

本題主要考查幾何體的體積以及空間想象能力，屬于中檔題.空間幾何體體積問題的常

見類型及解題策：（1）求簡單幾何體的體積時若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則

可直接利用公式求解；（2）求組合體的體積時，若所給定的幾何體是組合體，不能直接

利用公式求解，則常用轉換法、分割法、補形法等進行求解.（3）求以三視圖為背景的幾

何體的體積時應先根據三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據條件求解.

13、答案B

設圓柱的高為〃，底面半徑為r,圓柱的外接球的半徑為R,則4=（4、2

+r2.

12

7

因為圓錐的母線與底面所成角為60°,所以圓錐的高為百r,母線長l=2r.

所以圓錐的側面積為兀lr=2兀/，

所以4成2=4%9+/=4x2/，所以0+r=2,，所以〃2=4’,所以

”2.

r

故選B.

14、答案A

解：由三視圖知幾何體為半個圓錐，且圓錐的底面圓半徑為1,高為2,

母線長為泥，_

圓錐的表面積S=S?+S71X/+X2X2+XJIXIX泥=2+工坐打.

故選A.

15、答案A

s

根據題意知，直角三角形血?。的面積為16.其所在球的小

圓的圓心在斜邊AC的中點上，若四面體S-ABC的體積的最大值，由于底面積1A.

不變，高最大時體積最大，所以，SQ與面ABC垂直時體積最大.設球小圓的圓心為

Q,如圖.設球心為0,半徑為R,則在直角中，OA1=AQ2+OQ2,即

R2=(少+(SQ-R)2,-.?R=372,SQ=472

則棱錐S—ABC的體積最大值為為V=|SMCxSQ="2.

故選A.

名師點評本題考查的知識點是球內接多面體，球的表面積，其中分析出何時四面體ABCD

的體積的最大值，是解答的關鍵，考查等價轉化思想思想.

16、答案D

正方體的對角線就是正方體外接球的直徑，

由于正方體的棱長是2,

所以該正方體的外接球的直徑為,2?+2?+2?=2百.

本題選擇〃選項.

名師點評：與球有關的組合體問題，一種是內切，一種是外接.解題時要認真分析圖形,

明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數量關系，并作出合適的截面圖，如球內切

于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，

正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.

17、答案B

根據此幾何體的三視圖可知，該幾何體一半是四棱錐，另一半是半圓錐組合而成，所以

1114+n

-xlx2x2+-x-n-12x2=------

其體積為33.故選B.

18、答案D

解：由三視圖知，幾何體是一個三棱錐，底面是直角邊長為1cm和2cm的直角三角形，

面積是LxiXZWcm?,三棱錐的一條側棱與底面垂直，且長度是3cm,這是三棱錐的高,

2

.?.三棱錐的體積是」XlX3=lcm\故選D

3

19、答案B

由三視圖可知，該幾何體是球去掉四分之一后剩余的部分，

，“同nX2-8JI.

20、答案D

由于對角線被擋住，看不到，畫成虛線，注意位置.

21、答案C

首先確定幾何體的空間結構，然后求解其體積即可.

詳解

由三視圖可知，該幾何體是由一個四棱柱去掉半個球形成的組合體，

其中，棱柱的底面為對角線為2亞的正方形，則其邊長為a=2,高為h=5,

球的直徑為正方形的邊長，則其半徑R=i,

142

V=22x5—x-xnx13=20—n

據此可知，組合體的體積233.

本題選擇C選項.

名師點評

（1）求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及

直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應體積公式求解；（2）若所給幾何體的體

積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解.

22、答案D

由題設可得=3,即R=2,故S=4乃x4=16%.故應選D.

4

考查目的：球的半徑及球心距之間的關系球的面積公式等知識的綜合運用.

23、答案D

由題得，蛋巢的底面是邊長為1的正方形，故經過4個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑

為1,由于雞蛋的體積為47竺r，故雞蛋（球）的半徑為1,故球心到截面圓的距離為

3

J1一出=與，而垂直折起的4個小直角三角形的高為;，故雞蛋最高點與蛋巢底

面的距離為走+1+L正+-,故選D.

2222

考查目的：組合幾何體的面積、體積問題

24、答案D

根據幾何體的直觀圖，得出該幾何體的結構特征，由此判斷選項A、B、C正確，選項D

錯誤.

詳解

根據幾何體的直觀圖，得

該幾何體是由兩個同底的四棱錐組成的幾何體，

且有棱MA、MB、MC、MD,AB、BC、CD、DA、NA、NB,NC和ND,共12條；

頂點是M、A、B、C、D和N共6個；

且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共個，且每個

面都是三角形.

所以選項A、B、C正確，選項D錯誤.

故選:D.

名師點評

本題考查了利用空間幾何體的直觀圖判斷幾何體結構特征的應用問題，是基礎題目.

15

25、答案—I—二萬

36

由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個半球，下部是一個四棱錐,

半球的直徑為棱錐的底面對角線，

由棱錐的底底面棱長為1,可得2R=O.故R=包,

2

故半球的體積為：

3

棱錐的底面面積為：1,高為1,故棱錐的體積V=

3

故組合體的體積為'+也萬

16

即答案為二+半乃

名師點評本題考查由三視圖還原幾何體，并求其體積和表面積，根據已知的三視圖，判

斷幾何體的形狀是解答的關鍵.

26、答案1.6

由圖可得7x（；）xx+3xlx（5.4—x）=12.6=>x=1.6.

考查目的：1、三視圖；2、體積.

方法點晴本題主要考查三視圖和體積，計算量較大，屬于中等題型.應注意把握三個視

圖的尺寸關系：主視圖與俯視圖長應對正（簡稱長對正），主視圖與左視圖高度保持平

齊（簡稱高平齊），左視圖與俯視圖寬度應相等（簡稱寬相等），若不按順序放置和不

全時，則應注意三個視圖名稱.此外本題應注意掌握柱體的體積公式.

27、答案16不

設球的半徑為R,AABC的外接圓半徑為r,球心0到截面ABC的距離為d,由

人2近伯..1

cosA=----得，sinA=—,

I2=BC~=AC2+AB'-2ACxABcosA=9+AB2-2x3ABx,解得AB=2>/2,

3

所以ACsinA=夜，所以％-.BC==Jx&x"=，解得

233。

d=—,由正弦定理知，2廠匹-=5=3,所以r=3,由球的截面性質知，

2sinA12

3

R=yjr2+d2=2,所以球0的表面積為47/?2=16乃.

28、答案直角梯形

當幾何體是一個長方體，其中一個側面為正方形時，A可能；當幾何體是橫放的一個圓

柱時，B可能；當幾何體是橫放的三棱柱時，C可能.于是只有D不可能.故選D.

29、答案12而

利用AB與投影面a所成角為“BA。=120°,AB=AC=2,AA】=2/BAD=6,將正視圖的面積m

和側視圖的面積n用。的三角函數表示，利用輔助角公式結3。°48460°,可求解mn的最

大值.

詳解

AB與投影面a所成角為。時，平面ABC如圖所示，

0

???BC=Z^ZACE=60-6(

???BD=ABsin6,DA=ABcos&AE=ACcos(60°-9)；

ED=DA+AE=2cos(60°-0)+2cosG；

故正視圖的面積為m=ED*AM4[COS(6O0-0)+cosG]

側視圖的面積為n=BDxAA廣4sin。，

mn=16sin0[cos(6O°-0)+cos9|

=16sin0[cos6O0cos0+sin0sin6O°+cos0]

12sin20+8J3sin0

=8^0(26-30°)+4^5

v30°<0<60°,.*.30°<26-30°<90°,

故mn的最大值12區故答案為12亞

名師點評

本題考查了三視圖的投影的認識和理解，以及二倍角公式與利用輔助角公式求最值，屬

于中檔題.求與三角函數有關的最值常用方法有以下幾種：①化成y=asin2x+bsinx+q^j

asinx+b

形式利用配方法求最值；②形如,-csinx+d的可化為sinx=(P(y)的形式利用三角函數有界

性求最值；③丫=asinx+bcosx型，可化為丫=/+b2$in(x+⑼求最值.

30、答案11%

724.02

設長方體的長、寬、高分別為a,仇c,所以/+/+02=:一=故長方體的

2

外接球的直徑為2R=yja2+b2+c2=VT1,所以長方體的外接球的體積為4萬R2=11兀。

31、答案同

由于圓臺的側面積公式為S圓臺仞廣萬(R+r)/.所以母線所以由半徑差與高即母線

構成的直角三角形可解出高等于?.故填畫.本小題關鍵是通過側面積求出母線的

長，從而利用重要的直角三角形解出圓臺的高.

32、答案48

33、答案用虛線把被平面遮住的部分畫出，如下圖的立體圖形.

①②③④

34、答案多面體至少有4個面，它是三棱錐.

35、答案畫三棱錐可分三步完成

第一步：畫底面---畫一個三角形；

第二步：確定頂點一一在底面外任一點；

第三步：畫側棱一一連結頂點與底面三角形各頂點.

==

阿四棱可分三步完成

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側棱上取一點，從這點開始，順次在各個面內畫與底面對應線段

平行的線段?

第三步;將M余線段擦去.

24+2或24+±

36、答案""

37、答案：：(1)證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發給予

證明，而線線垂直的證明與尋找，往往從兩個方面，一是利用線面垂直性質定理轉化為

線線垂直，另一是結合平幾條件，如本題利用等腰三角形底邊中線性質得AM，SB(2)

求三棱錐體積，關鍵在于確定高，即線面垂直.由(1)得SCI平面AMN,因此

VM-SMN=VS-AMN=3AAMNSN,這樣只需在對應三角形中求出對應邊即可?

試題(1)SA底面ABC,???BC1SA,BC1AB,BC1?面SAB/BCAM,又因為SA=AB,M

是SB的中點，二AM±SB,???AM1面SBC,SC1AM由已知AN1SC,???SC1平面AMN.

(2)???SCJ?平面AMN,二SN1平面AMN,而SA=AB=BC=1,???AC=SC=由，又

AN±SC,AN=-X???AMJ■平面SBC,AM1MN而

3

母m1也加由11

AM=—,???MN=—,???=XYXT=77'"VS-AMN=7SAAMN'SN=

2622612336

__1

\'M-SMN=''s-AMN=W

考查目的：線面垂直判定與性質定理，三棱錐體積

思想名師點評垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.

38、答案逅，逅

412

試題分析：設正四面體為PABC,兩球球心重合，設為0.

設P0的延長線與底面ABC的交點為D,則PD為正四面體PABC的高，PDL底面ABC,且

P0=R,0D=r,0D=正四面體PABC內切球的高.

設正四面體PABC底面面積為S.

將球心0與四面體的4個頂點PABC全部連接，

可以得到4個全等的正三棱錐，球心為頂點，以正四面體面為底面.

每個正三棱錐體積％=!？S?r而正四面體PABC體積V2=!?S?（R+r）

33

11

所

以4?-?s?r=-?s?

根據刖面的分析，4?VFV2,33(R+r),

3i

所以R=3r,所以R尸。"