6．3角6．3.2角的比較與運算第六章幾何圖形初步逐點導講練課堂小結作業提升課時講解1課時流程2角的大小比較角的和、差角平分線知識點角的大小比較知1－講1方法具體操作示例度量法用量角器量出角的度數，然后比較它們的大小如量得∠AOB=36°，∠ECF=60°，則∠AOB

＜∠ECF知1－講方法具體操作示例疊合法把要比較的兩個角的頂點重合，把它們的一條邊疊合在一起，另一邊放在疊合邊的同側，通過觀察另一條邊的位置來比較兩個角的大小知1－講特別解讀1.度量法是從“數”的角度比較大小，疊合法是從“形”的角度比較大小.2.比較角的大小也可用估測法：直接通過觀察，比較角的大小，此方法較為直觀，但不精準，僅適用于角度差別較大的角的大小比較.知1－講特別提醒使用疊合法比較角的大小時要注意兩點：(1)重合，即頂點重合，一條邊重合；(2)同側，即另一條邊放在重合邊的同一側.知1－練例1根據圖6.3－11，完成下列操作：解題秘方：利用角的兩種比較大小的方法比較角的大小.知1－練(1)比較∠FOD與∠BOD的大小；解：∠

FOD

與∠

BOD

有重合邊和重合頂點，且射線OF

在∠

BOD

的內部，根據疊合法可知∠

FOD<∠

BOD.知1－練(2)比較∠AOD與∠BOD的大小；解：由圖可知，∠

AOD

是鈍角，∠

BOD

是銳角，所以∠

AOD>∠

BOD.知1－練(3)借助量角器比較∠

AOE

與∠DOF的大小.解：用量角器量得∠

AOE=30°，∠

DOF=30°，所以∠

AOE=∠

DOF.知1－練方法點撥：比較角的大小的方法：用疊合法比較角的大小時，一定要將兩個角的另一邊落在重合邊的同側．兩邊都不重合，或有一邊重合但另—邊在重合邊的異側的兩角，可通過度量法比較大小.知1－練1-1.如圖，用同樣大小的三角板比較∠

A

和∠

B

的大小，下列判斷正確的是(

)A．∠

A

＞∠

BB．∠

A

＜∠

BC．∠

A

＝∠

BD．沒有量角器，無法確定B知2－講知識點角的和、差2文字描述數學語言圖示角的和∠

AOC

是∠

AOB與∠

BOC

的和∠

AOC=∠

AOB＋∠

BOC

角的差∠

AOB

是∠

AOC與∠

COB

的差∠AOB=∠

AOC－∠

COB知2－講特別解讀1.兩個角的和或差，仍然是一個角，角的和或差的度數，就是它們度數的和或差.2.在計算兩個角的和或差時要將度與度、分與分、秒與秒分別相加或相減，分、秒相加時逢60要進位，相減時要借1當60.知2－練計算：(1)27°26′＋53°48′；(2)90°－79°18′6″.解題秘方：利用有理數的運算法則，結合角的單位的換算方法和進制進行計算.例2解：(1)27°26′＋53°48′=80°74′=81°14′.(2)90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″=10°41′54″.知2－練2－1.計算：(1)33°16′28″＋24°46′37″．(2)180°－(35°54′＋21°33′)．解：33°16′28″＋24°46′37″＝57°62′65″＝58°3′5″；180°－(35°54′＋21°33′)＝179°60′－57°27′＝122°33′.知2－練如圖6.3－12，回答下列問題.解題秘方：根據圖中角的位置關系得到角的和差關系.例3知2－練(1)∠

AOC

是哪兩個角的和？解：∠

AOC=∠

AOB＋

∠

BOC.(2)∠

AOB

是哪兩個角的差？∠

AOB=∠

AOD－

∠

BOD=∠

AOC－

∠

BOC.知2－練(3)如果∠

AOB=∠

COD，那么∠

AOC

與∠DOB相等嗎？為什么？解：相等.因為∠

AOB=∠

COD，所以∠

AOB＋

∠

BOC=∠

COD＋

∠

BOC，即∠

AOC=∠

DOB.知2－練3-1.在所給的：①15°，②65°，③75°，④135°，⑤

145°角中，可以用一副三角尺畫出來的是()A.②④⑤

B.①②④C.①③⑤

D.①③④D知2－練如圖6.3－13，將兩塊直角三角尺的直角頂點C

疊放在一起.解題秘方：此題考查角的計算問題，關鍵是記憶三角尺各角的度數，把所求的角轉化為已知角的和與差.例4知2－練(1)若∠

DCE=35°，求∠

ACB

的度數；解：由題意得，∠

ACD=90°，∠

ECB=90°.因為∠

DCE=35°，∠

ACE=∠

ACD－∠

DCE.所以∠

ACE=55°.又因為∠

ACB=∠

ACE＋

∠

ECB，所以∠

ACB=55°＋90°=145°.知2－練(2)若∠

ACB=140°，求∠

DCE

的度數.解：因為∠

ACB=∠

DCB＋

∠

ACD=140°，所以∠DCB=140°－90°=50°.又因為∠DCE=∠ECB－

∠

DCB，所以∠DCE=90°－50°=40°.知2－練4-1.如圖，已知∠

AOC=∠

BOD=90°，∠

AOD=150°，則∠

BOC

的度數為(

)A．30°

B．45°C．50°

D．60°A知3－講知識點角平分線31.角平分線文字語言一般地，從一個角的頂點出發，把這個角分成兩個相等的角的射線，叫作這個角的平分線圖形語言幾何語言判定方法知3－講2.角的n

等分線類似角的平分線，從角的頂點引出的射線，將角分成相等的n

個角，叫作角的n

等分線，例如角的三等分線、四等分線等.知3－講特別解讀1.角平分線的“三要素”：(1)是從角的頂點引出的射線；(2)在角的內部；(3)將已知角平分.2.角的平分線只有一條，而角的n等分線有(n－1)條.知3－練如圖6.3－14，OC

是∠

AOD

的平分線，OE

是∠

BOD的平分線.例5解題秘方：利用角平分線的定義及角的和差關系，將要求的角向已知的角進行轉化，找出它們之間的數量關系進行解答.知3－練(1)如果∠

AOB=130°，那么∠

COE

是多少度？

知3－練(2)在(1)的條件下，如果∠DOC=20°，那么∠

BOE

是多少度？解：由(1)可知∠

COE=65°.因為∠DOC=20°，所以∠DOE=∠

COE－

∠DOC=45°.因為OE

平分∠

BOD，所以∠

BOE=∠

DOE=45°.知3－練5-1.[期末·北京東城區]如圖，OC

是∠

AOB

的平分線，∠

COD=20°.知3－練(1)若∠

AOD=30°，求∠

AOB

的度數；解：因為∠COD＝20°，∠AOD＝30°，所以∠AOC＝∠COD＋∠AOD＝20°＋30°＝50°.因為OC是∠AOB的平分線，所以∠AOB＝2∠AOC＝100°.知3－練(2)若∠BOD=2∠

AOD，求∠AOB的度數.知3－練如圖6.3－15，O

為直線AB

上一點，∠

AOC=50°，OD平分∠

AOC，∠EOD=90°例6知3－練(1)求∠BOD的度數；解題秘方：利用∠

BOD=∠

BOC＋

∠

DOC

求解即可；

知3－練(2)小明發現OE

平分∠

BOC，請你通過計算說明理由.解題秘方：分別求出∠

COE

和∠

BOE

的度數即可.解：因為∠

DOE=90°，∠

DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－∠

DOC=90°－25°=65°.又因為∠BOE=∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠

COE=∠

BOE，即OE

平分∠

BOC.知3－練6-1.如圖，∠1=∠2，∠

3=∠4，則下列結論正確的有()①

AD

平分∠

BAE；②

AF

平分∠

EAC；③

AE

平分∠

DAF；④

AF

平分∠

BAC；⑤

AE

平分∠

BAC.A.4個

B.3個C.2個

D.1個C知3－練計算：(1)62°24′17″×4；

(2)107°45′÷5．例7解：62°24′17″×4=248°96′68″=249°37′8″.107°45′÷5=(107°÷5)＋(45′÷5)=21.4°＋9′=21°＋0.4×60′＋9′=21°33′．知3－練7-1.計算：(1)24°31′×4－62°10′；(2)64°15′÷5＋12°25′×3.解：原式＝96°124′－62°10′＝34°114′＝35°54′；原式＝12°51′＋37°15′＝50°6′.角的比較與運算角的比較與運算角的比較角的運算度量法疊合法角的和差角的平分線如圖6.3－16，已知∠

BOC=2∠

AOC，OD

平分∠

AOB

且∠

AOC=40°，求∠COD的度數.方法直接利用和差倍分關系計算角的度數1例8思路引導：

方法點撥角之間的和差倍分的度數，就是它們度數的和差倍分.[期中·

煙臺萊州市]下列各小題中，都有OE

平分∠

AOC，OF

平分∠

BOC．方法利用整體思想求角的度數2思路引導：例9(1)如圖6.3－17①，

若點A，O，B

在一條直線上，∠

EOF=______.

90°(4)如圖6.3－17③，若OA

在∠

BOC

的內部，∠

AOB

和∠

EOF

還存在上述的數量關系嗎？請簡單說明理由.

存在解題策略在求角度的過程中，若發現該角分成的幾個角的度數無法直接求出(或直接求出非常復雜)，可考慮用整體思想，分析要求的角度整體上與已知的角度存在的數量關系.模型解讀雙角平分線模型：雙角平分線和型雙角平分線差型OC

是∠

AOB

內一條射線OC

是∠

AOB

外一條射線OD，OE

分別為∠

AOC，

∠

BOC

的平分線[期末·

煙臺棲霞市]如圖6.3－18，已知∠

AOC

∶∠BOC=1∶3，∠AOD：∠BOD=5∶7，若∠COD=15°，求∠

AOB

的度數．方法利用方程思想求角的度數3解題秘方：根據∠

AOD－

∠

AOC=∠

COD=15°

設出合適未知數，列方程求解.例10

解題策略當很難直接找到已知角和所求角的聯系時，可以考慮逆向思維，設出其中關鍵角的度數，以某個已知角的度數作為“橋梁”，寫出相等關系，建立方程模型來解決問題.[期末·

新鄉長垣市]已知O

是直線AB

上的一點，∠COD是直角，OE

平分∠

BOC．方法利用代數思想探究角的規律4思路引導：例11初步嘗試：(1)如圖6.3－19①，若∠

AOC

＝30°，求∠DOE的度數.

類比探究：(2)在圖6.3－19①中，若∠AOC＝α，求∠DOE的度數(用含α

的代數式表示).

解決問題：(3)如圖6.3－19②，O

是直線AB

上的一點，∠

COD

是直角，OE

平分∠

BOC，探究∠

AOC

和∠

DOE

的度數之間的數量關系.解：因為OE

平分∠

BOC，所以∠

COB=2∠

COE，所以∠

AOC=180°

－

∠

COB=180°

－2∠

COE=2(90°－

∠COE).因為∠

COD

是直角，所以∠

DOE=90°－

∠COE，所以∠

AOC=2∠

DOE．方法點撥所謂“代數思想”，如本題在探究幾何問題時，運用角平分線的定義及角的和差關系直接探究較復雜，而將角的和差關系轉化為代數中的整式運算去解決則變得很簡單，我們把這種解題思想稱為“代數思想”.易錯點忽視角的位置關系而出錯在平面內，已知∠

AOB=70°，∠

BOC=40°，求∠

AOC

的度數.例12錯解：∠AOC=∠AOB＋∠BOC=70°＋40°=110°.正解：分兩種情況進行討論：(1)當∠

BOC

在∠

AOB

的外部時，

如圖6.3－20①，∠

AOC=∠

AOB＋

∠

BOC=70°＋40°=110°；(2)當∠

BOC

在∠

AOB

的內部時，

如圖6.3－20②，∠

AOC=∠

AOB－

∠

BOC=70°－40°=30°.綜上，∠

AOC

的度數為110°或30°.診誤區：1.通常具有公共邊的兩個不相等的角的位置關系有兩種：(1)較小的角在較大的角的內部；(2)較小的角在較大的角的外部.2.在無圖的題中，畫圖時切記要考慮圖形可能出現的各種情形.考法利用角平分線求角的度數1[中考·樂山]如圖6.3－21，點O在直線AB

上，OD

是∠

BOC

的平分線，若∠

AOC=140°，則∠

BOD

的度數為_______.20°例13試題評析：本題考查角的運算，掌握平角及角平分線定義是解題關鍵.

考法利用方程思想求角的度數2

例14試題評析：本題考查利用方程思想求角的度數，解題的關鍵是利用圖形中角的關系列出方程.

1.[期末·泰安岱岳區]在∠

AOB

內取一點C，作射線OC，則下列結論一定成立的是(

)A.∠

AOC=∠

BOCB.∠

AOC

＞∠

BOCC.∠

BOC

＞∠

AOCD.∠

AOB

＞∠

AOCD2.[期末·

襄陽襄城區]如圖，點O

在直線AB

上，

射線OC

平分∠

DOB.若∠

COB=35°，則∠

AOD

等于(

)A.110°B.145°C.35°D.70°A3.如圖，將一副三角尺的直角頂點重合放置于A

點處(兩塊三角尺看成在同一平面內)，下列結論一定成立的是(

)A.∠

BAE－

∠

CAD=90°B.∠

EAC

≠∠

BADC.∠

BAD=∠

CAED.∠

BAE＋

∠

CAD=90°C4.[期末·南京秦淮區]如圖，將三個大小相同的正方形的一個頂點重合放置，則α

，β

，γ

三個角的數量關系為(

)A.α

＋β

＋γ=90°B.α

＋β

－γ=90°C.α

－β

＋γ=90°D.α

＋2β

－γ=90°C5.如圖，已知M是直線AB

上一點，∠

AMC=54°48′，∠BMD=64°19′，則∠CMD=_______.60°53′

457.計算：(1)53°39′38″＋26°28′17″；(2)53°25′3″×5.解：53°3