2025屆湛江市重點中學高二數學第一學期期末學業水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．與直線關于軸對稱的直線的方程為（）A. B.C. D.2．已知空間向量，，且，則的值為（）A. B.C. D.3．設等比數列的前項和為，若，，則（）A.66 B.65C.64 D.634．若“”是“”的充分不必要條件，則實數a的取值范圍為A. B.或C. D.5．設等差數列的前n項和為，若，，則（）A.60 B.80C.90 D.1006．某種產品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關系如下表：245683040605070若已知與的線性回歸方程為，那么當廣告費支出為5萬元時，隨機誤差的效應（殘差）為萬元（殘差=真實值-預測值）A.40 B.30C.20 D.107．設雙曲線C：的左、右焦點分別為，點P在雙曲線C上，若線段的中點在y軸上，且為等腰三角形，則雙曲線C的離心率為（）A B.2C. D.8．已知a，b為不相等實數，記，則M與N的大小關系為（）A. B.C. D.不確定9．等差數列中，，則前項的和（）A. B.C. D.10．命題：“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是（）A.x>0，使得x2－x+1≤0 B.x>0，使得x2－x+1>0C.x>0，都有x2－x+1>0 D.x≤0，都有x2－x+1>011．設函數在R上可導，其導函數為，且函數的圖像如題（8）圖所示，則下列結論中一定成立的是A.函數有極大值和極小值B.函數有極大值和極小值C.函數有極大值和極小值D.函數有極大值和極小值12．圓與圓的位置關系為（）A.內切 B.相交C.外切 D.外離二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，四邊形和均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動點在線段上，、分別為、的中點.設異面直線與所成的角為，則的最大值為____14．某中學高一年級有420人，高二年級有460人，高三年級有500人，用分層抽樣的方法抽取部分樣本，若從高一年級抽取21人，則從高三年級抽取的人數是__________15．已知的頂點A(1，5)，邊AB上的中線CM所在的直線方程為，邊AC上的高BH所在直線方程為，求（1）頂點C的坐標；（2）直線BC的方程；16．在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則下列說法中，正確的有_________（請填入所有正確說法的序號）①當時，的周長為定值②當時，三棱錐的體積為定值③當時，有且僅有一個點P，使得④當時，有且僅有一個點P，使得平面三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知點、，點M滿足，記點M的軌跡為C（1）求C的方程；（2）若直線l過圓圓心D且與圓交于A，B兩點，點P為C上一個動點，求的最小值18．（12分）已知函數.（1）求曲線在點處的切線的方程.（2）若直線為曲線切線，且經過坐標原點，求直線的方程及切點坐標.19．（12分）若存在實常數k和b，使得函數和對其公共定義域上的任意實數x都滿足：和恒成立，則稱此直線y＝kx＋b為和的“隔離直線”.已知函數，.（1）證明函數在內單調遞增；（2）證明和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.20．（12分）如圖1是直角梯形，以為折痕將折起，使點C到達的位置，且平面與平面垂直，如圖2（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）在棱上是否存在點P，使平面與平面的夾角為？若存在，則求三棱錐的體積，若不存在，則說明理由21．（12分）設拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，橢圓右焦點也為，離心率為（1）求拋物線方程和橢圓方程；（2）若不經過的直線與拋物線交于、兩點，且（為坐標原點），直線與橢圓交于、兩點，求面積的最大值22．（10分）設AB是過拋物線焦點F的弦，若，，求證：（1）；（2）（為弦AB的傾斜角）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】點關于x軸對稱，橫坐標不變，縱坐標互為相反數，據此即可求解.【詳解】設(x，y)是與直線關于軸對稱的直線上任意一點，則(x，－y)在上，故，∴與直線關于軸對稱的直線的方程為.故選：D.2、B【解析】根據向量垂直得，即可求出的值.【詳解】.故選：B.3、B【解析】根據等比數列前項和的片段和性質求解即可.【詳解】解：由題知：，，，所以，，成等比數列，即5，15，成等比數列，所以，解得.故選：B.4、D【解析】“”是“”的充分不必要條件，結合集合的包含關系，即可求出的取值范圍.【詳解】∵“”是“”的充分不必要條件∴或∴故選：D.【點睛】本題考查充分必要條件，根據充要條件求解參數的范圍時，可把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合間的關系，由此得到不等式（組）后再求范圍.解題時要注意，在利用兩個集合之間的關系求解參數的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現漏解或增解的現象.5、D【解析】由題設條件求出，從而可求.【詳解】設公差為，因為，，故，解得，故，故選：D.6、D【解析】分析：把所給的廣告費支出5萬元時，代入線性回歸方程，做出相應的銷售額，這是一個預測值，再求出與真實值之間有一個誤差即得.詳解：與的線性回歸方程為，當時，50，當廣告費支出5萬元時，由表格得：，故隨機誤差的效應（殘差）為萬元.故選D.點睛：本題考查回歸分析的初步應用，考查求線性回歸方程，考查預測y的值，是一個綜合題7、A【解析】根據是等腰直角三角形，再表示出的長，利用三角形的幾何性質即可求得答案.【詳解】線段的中點在y軸上,設的中點為M，因為O為的中點，所以,而,則，為等腰三角形，故，由，得，又為等腰直角三角形，故，即，解得，即，故選：A.8、A【解析】利用作差法即可比較M與N的大小﹒【詳解】因為，又，所以，即故選：A9、D【解析】利用等差數列下標和性質可求得，根據等差數列求和公式可求得結果.【詳解】數列為等差數列，，解得：；.故選：D.10、B【解析】全稱命題的否定是特稱命題，把任意改為存在，把結論否定.【詳解】“x>0，都有x2－x+1≤0”的否定是“x>0，使得x2－x+1>0”.故選：B11、D【解析】則函數增；則函數減；則函數減；則函數增；選D.【考點定位】判斷函數的單調性一般利用導函數的符號，當導函數大于0則函數遞增，當導函數小于0則函數遞減12、C【解析】將圓的一般方程化為標準方程，根據圓心距和半徑的關系，判斷兩圓的位置關系.【詳解】圓的標準方程為，圓的標準方程為，兩圓的圓心距為，即圓心距等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】如圖所示，建立空間直角坐標系，設，，，，，由向量法可得，令，，，利用導數研究函數的單調性即可求得的最大值，從而可得答案【詳解】解：由題意，根據已知條件，直線AB，AD，AQ兩兩互相垂直，所以建立如圖所示空間直角坐標系不妨設，則，0，，，0，，，1，，設，，，，，，，，，，，令，，則，函數在上單調遞減，時，函數取得最大值，的最大值為故答案為：14、25【解析】由條件先求出抽樣比，從而可求出從高三年級抽取的人數.【詳解】由題意抽樣比例：則從高三年級抽取的人數是人故答案為：2515、（1）；（2）.【解析】（1）設出點C的坐標，進而根據點C在中線上及求得答案；（2）設出點B的坐標，進而求出點M的坐標，然后根據中線的方程及求出點B的坐標，進而求出直線BC的方程.【小問1詳解】設C點的坐標為，則由題知，即.【小問2詳解】設B點的坐標為，則中點M坐標代入中線CM方程則由題知，即，又，則，所以直線BC方程為.16、②④【解析】①結合得到P在線段上，結合圖形可知不同位置下周長不同；②由線面平行得到點到平面距離不變，故體積為定值；③結合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯誤；④結合圖形得到有唯一的點P，使得線面垂直.【詳解】由題意得：，，，所以P為正方形內一點，①，當時，，即，，所以P在線段上，所以周長為，如圖1所示，當點P在處時，，故①錯誤；②，如圖2，當時，即，即，，所以P在上，，因為∥BC，平面，平面，所以點P到平面距離不變，即h不變，故②正確；③，當時，即，如圖3，M為中點，N為BC的中點，P是MN上一動點，易知當時，點P與點N重合時，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因為平面，則，當時，點P與點M重合時，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯誤；④，當時，即，如圖4所示，D為的中點，E為的中點，則P為DE上一動點，易知，若平面，只需即可，取的中點F，連接，又因為平面，所以，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當且僅當點P與點E重合時，故只有一個點P符合要求，使得平面，故④正確.故選：②④【點睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊點，特殊值進行排除選項，或者用等體積法進行轉化等思路進行解決.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）23【解析】（1）根據雙曲線的定義判斷軌跡，直接寫出軌跡方程即可；（2）設，利用向量坐標運算計算，再由二次函數求最值即可.【小問1詳解】由，則軌跡C是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡C的方程為，則，可得，，所以C的方程為；【小問2詳解】設，則，且，圓心，則因為，則當時，取最小值23.18、(1)；(2)直線的方程為，切點坐標為.【解析】（1）先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據點斜式得結果，（2）設切點，根據導數幾何意義得切線斜率，根據點斜式得切線方程，再根據切線過坐標原點解得結果.【詳解】（1）.所以在點處的切線的斜率，∴切線的方程為；（2）設切點為，則直線的斜率為，所以直線的方程為：，所以又直線過點，∴，整理，得，∴，∴，的斜率，∴直線的方程為，切點坐標為.【點睛】本題考查導數幾何意義以及利用導數求切線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎題.19、（1）見解析（2）見解析【解析】（1）由導數得出在上的單調性；（2）設和之間的隔離直線為y＝kx＋b，由題設條件得出對任意恒成立，再由二次函數的性質求解即可.【小問1詳解】，當時，在上單調遞增在內單調遞增【小問2詳解】設和之間的隔離直線為y＝kx＋b則對任意恒成立，即對任意恒成立由對任意恒成立，得當時，則有符合題意；當時，則有對任意恒成立的對稱軸為又的對稱軸為即故和之間存在“隔離直線”，且b的最小值為－4.【點睛】關鍵點睛：在解決問題一時，求了一階導得不了函數的單調性，再次求導得，進而得出在恒成立，得在上的單調性.20、（1）（2）存在，靠近點D的三等分點.【解析】（1）由題意建立空間直接坐標系，求得的坐標，由求解；（2）假設棱上存在點P，設，求得點p坐標，再求得平面PBE的一個法向量，由平面，得到為平面的一個法向量，然后由求解.【小問1詳解】解：因為，所以四邊形ABCE是平行四邊形，又，所以四邊形ABCE是菱形，，又平面與平面垂直，又平面與平面=EB，所以平面，建立如圖所示空間直接坐標系：則，所以，則，所以異面直線與所成角的余弦值是；【小問2詳解】假設棱上存在點P，使平面與平面的夾角為，設，則，又，設平面PBE的一個法向量為，則，即，則，由平面，則為平面的一個法向量，所以，解得.21、（1）拋物線方程為，橢圓方程為（2）【解析】（1）由，可得，繼而可得，故，再利用離心率，以及，即得解；（2）設直線方程為，與拋物線聯立，，結合韋達定理可得，再與橢圓聯立，，韋達定理代入，結合均值不等式即得解【小問1詳解】由題意，解得：，故，，，，，所以拋物線方程為，橢圓方程為【小問2詳解】設直線方程為，由消去得，，設，，則因，所以