第十二章全等三角形12.3角的平分線的性質(zhì)基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點1作已知角的平分線1.用直尺和圓規(guī)作已知角的平分線的示意圖如圖所示,則說明∠CAD=∠DAB的依據(jù)是()A.SSSB.SASC.ASAD.AAS2.【尺規(guī)作圖】分別畫出圖1、圖2中∠AOB的平分線.圖1圖2知識點2角平分線的性質(zhì)3.如圖,OP為∠AOB的平分線,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分別是C,D,則下列結(jié)論錯誤的是(M8112003)()A.PC=PDB.∠CPO=∠DOPC.∠CPO=∠DPOD.OC=OD4.如圖,OP平分∠AOB,PD⊥OA于點D,點E是射線OB上的一個動點,若PD=3,則PE的最小值()A.等于3B.大于3C.小于3D.無法確定5.【教材變式·P51T5】如圖,D是∠ABC平分線上的一點,DE⊥BC,DF⊥AB,垂足分別為E,F,連接EF,交BD于點O.已知∠EDF=120°,則∠DEF的度數(shù)為(M8112003)()A.40°B.35°C.30°D.25°6.(2021江蘇揚州儀征期中)如圖,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點E,S△ABC=24,DE=4,AB=7,則AC的長是()A.3B.4C.6D.57.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AD是△ABC的角平分線,BC=10cm,BD∶DC=3∶2,則點D到AB的距離為.

8.如圖,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于點E,點F在AC上,BE=FC.求證:BD=DF.(M8112003)9.(2023安徽合肥四十五中月考)如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AD⊥AB,BD平分∠ABC交AD于D點,交AC于E點.(1)求證:∠ADE=∠AED;(2)若AB=6,CE=2,求△ABE的面積.知識點3角平分線的判定10.(2023山東濟南期末)如圖,OC是∠AOB內(nèi)部的一條射線,P是射線OC上的一點,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別為D,E,下列條件中:①∠AOC=∠BOC;②PD=PE;③OD=OE;④∠DPO=∠EPO,能判定OC是∠AOB的平分線的有(M8112003)()A.1個B.2個C.3個D.4個11.如圖,在四邊形ABCD中,AD⊥AB,連接BD,∠ABD=35°,BD⊥CD,過點D作DP⊥BC于點P,若AD=PD,則∠C的度數(shù)為.

知識點4證明幾何文字命題的一般步驟12.求證:三角形的互為同旁內(nèi)角的兩個外角的平分線的交點到三角形三邊(或所在直線)的距離相等.能力提升全練13.(2020湖南懷化中考,7,★☆☆)在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AC,垂足為點E,若BD=3,則DE的長為()A.3B.3214.(2023江蘇徐州期末,7,★★☆)如圖,在△ABC中,CD是AB邊上的高,BE平分∠ABC交CD于點E,BC=10,DE=3,則△BCE的面積等于()A.9B.13C.15D.3015.(2023河南周口期末,5,★★☆)如圖,在四邊形ABCD中,∠B=90°,BC=3,連接AC,AC⊥CD,并且∠ACB=∠D,點E是AD邊上一動點,則CE的最小值是(M8112003)()A.1.5B.3C.3.5D.416.【構(gòu)造法】(2019浙江湖州中考,8,★★☆)如圖,在四邊形ABCD中,∠BCD=90°,BD平分∠ABC,AB=6,BC=9,CD=4,則四邊形ABCD的面積是()A.24B.30C.36D.4217.(2022北京中考,14,★☆☆)如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E.若AC=2,DE=1,則S△ACD=.(M8112003)

18.(2022廣東深圳實驗學(xué)校月考,14,★★☆)如圖,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB交BC于點D,DE⊥AB于點E,且AB=6cm,則△DEB的周長為.(M8112003)

19.(2021天津南開田家炳中學(xué)期中,20,★★☆)如圖,在△ABC中,∠ABC的平分線與外角∠ACE的平分線交于點P,PD⊥AC于點D,PH⊥BA,交BA的延長線于點H.(1)若PH=8cm,求點P到直線BC的距離;(2)求證:點P在∠HAC的平分線上.素養(yǎng)探究全練20.【推理能力】在△ABC中,D是BC邊上的點(不與點B、C重合),連接AD.(1)如圖①,當(dāng)點D是BC邊的中點時,S△ABD∶S△ACD=;

(2)如圖②,當(dāng)AD是∠BAC的平分線時,若AB=m,AC=n,求S△ABD∶S△ACD(用含m,n的式子表示);(3)如圖③,AD平分∠BAC,延長AD到E,使得AD=DE,連接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求S△ABC的值.

答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.A從角平分線的作法得出,△AFD與△AED的三邊對應(yīng)相等,則△AFD≌△AED(SSS),所以∠CAD=∠DAB.故選A.2.解析如圖所示,射線OC即為角平分線.3.B∵OP平分∠AOB,PC⊥OA,PD⊥OB,∴PC=PD,在Rt△OPC和Rt△OPD中,OP∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL),∴OC=OD,∠CPO=∠DPO,∴選項A、C、D正確,故選B.4.A過P點作PH⊥OB于H,如圖,∵OP平分∠AOB,PD⊥OA,PH⊥OB,∴PH=PD=3,∵點E是射線OB上的一個動點,∴點E與點H重合時,PE有最小值,最小值為3.故選A.5.C∵D是∠ABC平分線上的一點,DE⊥BC,DF⊥AB,∴DE=DF,∵BD=BD,∴Rt△BDE≌Rt△BDF(HL),∴∠BDE=∠BDF,在△DEO與△DFO中,DE∴△DEO≌△DFO(SAS),∴∠DEO=∠DFO,∵∠EDF=120°,∴∠DEF=30°.故選C.6.D過點D作DF⊥AC于F,如圖,∵AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,∴DF=DE=4,∵S△ADB+S△ADC=S△ABC,∴12×4×7+12×4×AC∴AC=5,故選D.7.答案4cm解析∵BC=10cm,BD∶DC=3∶2,∴DC=4cm,∵AD是△ABC的角平分線,∠ACB=90°,∴點D到AB的距離等于DC的長,即點D到AB的距離為4cm.故答案為4cm.8證明∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∠C=90°,∴DC=DE,在△DCF和△DEB中,DC∴△DCF≌△DEB(SAS),∴BD=DF.9.解析(1)證明:∵AD⊥AB,∴∠DAB=90°,∴∠D+∠ABD=90°,∵∠C=90°,∴∠CEB+∠CBE=90°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴∠D=∠CEB,∵∠CEB=∠AED,∴∠ADE=∠AED.(2)過點E作EF⊥AB,垂足為F,如圖,∵BD平分∠ABC,∠ACB=90°,∴EF=CE=2,∵AB=6,∴△ABE的面積=12AB·EF=1210.D∵∠AOC=∠BOC,∴OC是∠AOB的平分線,故①符合題意;∵PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE,∴OC是∠AOB的平分線,故②符合題意;在Rt△POD和Rt△POE中,OP∴Rt△POD≌Rt△POE,∴∠AOC=∠BOC,∴OC是∠AOB的平分線,故③符合題意;在△DPO和△EPO中,∠∴△DPO≌△EPO,∴∠AOC=∠BOC,∴OC是∠AOB的平分線,故④符合題意,故選D.11.答案55°解析∵AD⊥AB,DP⊥BC,AD=PD,∴BD是∠ABC的平分線,∴∠DBC=∠ABD=35°.∵BD⊥CD,∴∠BDC=90°,∴∠C=90°-∠DBC=90°-35°=55°.12.證明已知:如圖,BD為△ABC的外角∠CBG的平分線,CE為△ABC的外角∠BCH的平分線,BD、CE相交于點P.求證:點P到△ABC的三邊(或所在直線)的距離相等.證明:如圖,過點P作PF⊥BC,PM⊥AG,PN⊥AH,垂足分別為F,M,N.∵PF⊥BC,PM⊥AG,且BD平分∠CBG,∴PF=PM.同理PF=PN,∴PF=PM=PN,即點P到△ABC的三邊(或所在直線)的距離相等.能力提升全練13.A∵∠B=90°,∴DB⊥AB,又∵AD平分∠BAC,DE⊥AC,∴DE=BD=3,故選A.14.C過E作EF⊥BC于F,如圖,∵CD是AB邊上的高,BE平分∠ABC,∴EF=DE=3,∵BC=10,∴△BCE的面積=12BC·EF=15,故選C15.B過點C作CH⊥AD于點H,如圖所示,當(dāng)點E運動到點H時,CE最短.∵AC⊥DC,∴∠ACD=90°,∵∠D+∠ACD+∠CAD=180°,∠ACB+∠B+∠BAC=180°,∠ACB=∠D,∠ACD=∠B=90°,∴∠BAC=∠DAC,∴AC是∠BAD的平分線,∵BC⊥BA,CH⊥AD,∴BC=CH,∵BC=3,∴CH=3,∴CE的最小值為3,故選B.16.B過D作DH⊥AB交BA的延長線于H,如圖,∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴四邊形ABCD的面積=S△ABD+S△BCD=12AB·DH+12BC·CD=12×9×4=30,故選B17.答案1解析如圖,過D作DH⊥AC于點H,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DH⊥AC,∴DH=DE=1,∴S△ACD=12AC·DH=1218.答案6cm解析∵AD平分∠CAB,∠C=90°,DE⊥AB,∴CD=DE,在Rt△ACD和Rt△AED中,AD∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL),∴AC=AE,∴△DEB的周長=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB,∵AB=6cm,∴△DEB的周長為6cm.19.解析(1)過P作PQ⊥BE于Q,如圖,∵BP平分∠ABC,PH⊥AB,∴PQ=PH=8cm,即點P到直線BC的距離為8cm.(2)證明:∵CP平分∠ACE,PQ⊥BE,PD⊥AC,∴PD=PQ,∵PH=PQ,∴PD=PH,∵PD⊥AC,PH⊥BH,∴點P在∠HAC的平分線上.素養(yǎng)探究全練20.解析(1)如圖,過A作AE⊥BC于E,∵點D是BC邊的中點,∴BD