沈陽(yáng)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知p：，那么p的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.2．已知圓的方程為，直線：恒過定點(diǎn)，若一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)直線上一點(diǎn)反射后到達(dá)圓上的一點(diǎn)，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.63．中國(guó)古代有一道數(shù)學(xué)題：“今有七人差等均錢，甲、乙均七十七文，戊、己、庚均七十五文，問戊、己各若干？”意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚七個(gè)人分錢，所分得的錢數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分得77文，戊、己、庚三人共分得75文，則戊、己兩人各分得多少文錢？則下列說法正確的是（）A.戊分得34文，己分得31文 B.戊分得31文，己分得34文C.戊分得28文，己分得25文 D.戊分得25文，己分得28文4．已知雙曲線，則“”是“雙曲線的焦距大于4”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，若（，且），則i的取值集合是（）A. B.C. D.6．以下說法：①將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變；②設(shè)有一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位③線性回歸方程必過④設(shè)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，之間的線性相關(guān)程度越高；⑤在一個(gè)列聯(lián)表中，由計(jì)算得的值，那么的值越大，判斷兩個(gè)變量間有關(guān)聯(lián)的把握就越大。其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1C.2 D.37．在的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則含的項(xiàng)的系數(shù)為（）A.-20 B.-15C.-6 D.158．若不等式組表示的區(qū)域?yàn)椋坏仁奖硎镜膮^(qū)域?yàn)椋騾^(qū)域均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中的芝麻數(shù)約為（）A. B.C. D.9．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則角所在象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．函數(shù)，的最小值為（）A.2 B.3C. D.11．已知球O的半徑為2，球心到平面的距離為1，則球O被平面截得的截面面積為（）A. B.C. D.12．設(shè)異面直線、的方向向量分別為，，則異面直線與所成角的大小為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列滿足，，若為等差數(shù)列，則___________，若，則數(shù)列的前項(xiàng)和為___________.14．已知水平放置的是按“斜二測(cè)畫法”得到如下圖所示的直觀圖，其中，，則原的面積為______.15．已知函數(shù)，若遞增數(shù)列滿足，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.16．如圖，甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn)處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)處，已知庫(kù)底與水壩斜面所成的二面角為，測(cè)得從，到庫(kù)底與水壩斜面的交線的距離分別為，，若，則甲，乙兩人相距________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓M經(jīng)過原點(diǎn)和點(diǎn)，且它的圓心M在直線上.（1）求圓M的方程；（2）若點(diǎn)D為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，求線段CD的中點(diǎn)P的軌跡方程.18．（12分）已知橢圓C：過兩點(diǎn)（1）求C的方程；（2）定點(diǎn)M坐標(biāo)為，過C右焦點(diǎn)的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，判斷是否為定值？若是，求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由19．（12分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)F到上頂點(diǎn)的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）是否存在過點(diǎn)F且與x軸不垂直的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，使得點(diǎn)C（）在線段AB的中垂線上？若存在，求出直線l：若不存在，說明理曲.20．（12分）已知拋物線，過點(diǎn)作直線（1）若直線的斜率存在，且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線的方程（2）若直線過拋物線的焦點(diǎn)，且交拋物線于兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng)21．（12分）設(shè)函數(shù)（1）求在處的切線方程；（2）求在上的最大值與最小值22．（10分）橢圓：（）的離心率為，遞增直線過橢圓的左焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的斜率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】A選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：，，正確；D選項(xiàng)：，錯(cuò)誤.故選：C.2、B【解析】求得定點(diǎn)，然后得到關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為，然后可得，計(jì)算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則由,解得,所以點(diǎn)坐標(biāo)為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以的最小值為4.故選:B.3、C【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，再根據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.【詳解】依題意，設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為，，，，，，，則，解得，所以戊分得（文），己分得（文），故選：C.4、A【解析】先找出“雙曲線的焦距大于4”的充要條件，再進(jìn)行判斷即可【詳解】若的焦距，則；若，則故選：A5、C【解析】首先求出等差數(shù)列的首先和公差，然后寫出數(shù)列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設(shè)公差為d，由題知，，解得，，所以數(shù)列為，故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的基本量的求解，屬于基礎(chǔ)題.6、C【詳解】方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小，將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后，方差不變，故①正確；一個(gè)回歸方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均減少5個(gè)單位，故②不正確；線性回歸方程必過樣本中心點(diǎn)，故③正確；根據(jù)線性回歸分析中相關(guān)系數(shù)的定義：在線性回歸分析中，相關(guān)系數(shù)為r，越接近于1，相關(guān)程度越大，故④不正確；對(duì)于觀察值來說，越大，“x與y有關(guān)系”的可信程度越大，故⑤正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查用樣本估計(jì)總體、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想.7、C【解析】先由只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，求出n=6；再由展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，用賦值法求出,用通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)的系數(shù).【詳解】∵在的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴在的展開式有7項(xiàng)，即n=6；而展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，令x=1，代入，即，所以.∴是展開式的通項(xiàng)公式為：，要求含的項(xiàng)，只需，解得，所以系數(shù)為.故選：C8、A【解析】作出兩平面區(qū)域，計(jì)算兩區(qū)域的公共面積，利用幾何概型得出芝麻落在區(qū)域Γ內(nèi)的概率，進(jìn)而可得答案.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中三角形ABC及其內(nèi)部，不等式表示的區(qū)域如下圖中的圓及其內(nèi)部：由圖可得，A點(diǎn)坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為點(diǎn)坐標(biāo)為.區(qū)域即的面積為，區(qū)域的面積為圓的面積，即，其中區(qū)域和區(qū)域不相交的部分面積即空白面積，所以區(qū)域和區(qū)域相交的部分面積，所以落入?yún)^(qū)域的概率為.所以均勻隨機(jī)撒顆芝麻，則落在區(qū)域中芝麻數(shù)約為.故選:A.9、D【解析】根據(jù)題意得出的符號(hào)，進(jìn)而得到的象限.【詳解】由題意，，所以在第四象限.故選：D.10、B【解析】求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性即可求解最小值【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為故選：B.11、B【解析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】由球的性質(zhì)可知，截面圓的半徑為，所以截面的面積.故選：B12、C【解析】利用空間向量夾角的公式直接求解.【詳解】，，，.由異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成的角為.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.##②.【解析】利用遞推關(guān)系式，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得公差，進(jìn)而得到；利用遞推關(guān)系式可知數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，采用裂項(xiàng)相消的方法可求得前項(xiàng)和.【詳解】由得：，解得：；為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，解得：，；由知：數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列；，又，，數(shù)列的前項(xiàng)和，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系求解數(shù)列中的項(xiàng)、裂項(xiàng)相消法求和的問題；解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式得到數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，由此可通過裂項(xiàng)相消的方法求得所求數(shù)列的和.14、【解析】根據(jù)直觀圖畫出原圖，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算可得.【詳解】解：依題意得到直觀圖的原圖如下：且，所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查斜二測(cè)畫法中原圖和直觀圖面積之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】根據(jù)的單調(diào)性列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】由于是遞增數(shù)列，所以.所以的取值范圍是.故答案為：16、【解析】首先構(gòu)造二面角的平面角，如圖，再分別在和中求解.【詳解】作，且，連結(jié)，，，，平面且，四邊形時(shí)平行四邊形，，平面，平面，中，,中，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）.（2）.【解析】（1）設(shè)圓M的方程為，由已知條件建立方程組，求解即可；（2）設(shè)，，依題意得.代入圓M的方程可得點(diǎn)P的軌跡方程.【小問1詳解】解：設(shè)圓M的方程為，則圓心依題意得，解得.所以圓M的方程為.【小問2詳解】解：設(shè)，，依題意得，得.點(diǎn)為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，得，化簡(jiǎn)得P的軌跡方程為.18、（1）；（2）為定值.【解析】（1）根據(jù)題意，列出的方程組，求解即可；（2）對(duì)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化，求解即可.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓過兩點(diǎn)，故可得，解得，故橢圓方程為：.【小問2詳解】由（1）可得：，故橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線的方程為：，代入橢圓方程，可得，不妨取，又，故.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立橢圓方程，可得：，設(shè)坐標(biāo)為，故可得，則.綜上所述，為定值.【點(diǎn)睛】本題考察橢圓方程的求解，以及橢圓中的定值問題；處理問題的關(guān)鍵是合理的利用韋達(dá)定理，將目標(biāo)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，屬中檔題.19、（1）（2）存在，【解析】（1）由題意可得，，求得的值即可求解；（2）由（1）得，假設(shè)存在滿足條件的直線：，代入橢圓方程消去可得、，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，由求得的值即可求解.小問1詳解】由題意可得，，，解得，，所以橢圓的方程為【小問2詳解】由（1）得，假設(shè)存在滿足條件的直線：，代入橢圓方程整理可得，設(shè)，，則，，可得，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，解得：，所以存在直線，且直線的方程為20、（1）或；（2）8【解析】（1）根據(jù)題意設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)公共點(diǎn)，則求解.（2）拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，再根據(jù)過拋物線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式求解.【詳解】（1）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，則，解得或，∴直線的方程為：或（2）拋物線的焦點(diǎn)為，則直線的方程為，設(shè)，聯(lián)立，消去得，∴，∴【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21、（1）（2），【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后求出，，運(yùn)用點(diǎn)斜式即可