2025屆山西省大同市煤礦第四中學高二數學第一學期期末經典試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知三棱柱中，，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則（）A. B.C. D.2．在數列中，，，，則（）A.2 B.C. D.13．雙曲線的離心率是，則雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.4．把點隨機投入長為，寬為的矩形內，則點與矩形四邊的距離均不小于的概率為（）A. B.C. D.5．設，，則與的等比中項為（）A. B.C. D.6．以下四個命題中，正確的是（）A.若，則三點共線B.C.為直角三角形的充要條件是D.若為空間的一個基底，則構成空間的另一個基底7．對于實數a，b，c，下列命題中的真命題是（）A.若，則 B.，則C.若，，則， D.若，則8．2021年7月，某文學網站對該網站的數字媒體內容能否滿足讀者需要進行了調查，調查部門隨機抽取了名讀者，所得情況統計如下表所示：滿意程度學生族上班族退休族滿意一般不滿意記滿分為分，一般為分，不滿意為分.設命題：按分層抽樣方式從不滿意的讀者中抽取人，則退休族應抽取人；命題：樣本中上班族對數字媒體內容滿意程度的方差為.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.9．若方程表示圓，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.10．如圖，在直三棱柱中，，，E是的中點，則直線BC與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.11．在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（）A. B.C. D.12．若圓與圓相切，則的值為（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將邊長為2的正方形繞其一邊所在的直線旋轉一周，所得的圓柱體積為________.14．經過、兩點的直線斜率為______.15．焦點在軸上的雙曲線的離心率為，則的值為___________.16．已知矩形的長為2，寬為1，以該矩形的邊所在直線為軸旋轉一周得到的幾何體的表面積為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數列是公比為q的等比數列，其前n項和為（1）若，，求數列的前n項和；（2）若，，成等差數列，求q的值并證明：存在互不相同的正整數m，n，p，使得，，成等差數列；（3）若存在正整數，使得數列，，…，在刪去以后按原來的順序所得到的數列是等差數列，求所有數對所構成的集合，18．（12分）函數，.（1）討論函數的單調性；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）已知圓，圓，動圓與圓外切，且與圓內切.（1）求動圓圓心的軌跡的方程，并說明軌跡是何種曲線；（2）設過點的直線與直線交于兩點，且滿足的面積是面積的一半，求的面積20．（12分）如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD為矩形，，AB=2，，平面，，，E是SA的中點（1）求直線EF與平面SCD所成角的正弦值；（2）在直線SC上是否存在點M，使得平面MEF平面SCD？若存在，求出點M的位置；若不存在，請說明理由21．（12分）已知等差數列滿足，（1）求數列的通項公式及前10項和；（2）等比數列滿足，，求和：22．（10分）近年來，由于耕地面積的緊張，化肥的施用量呈增加趨勢，一方面，化肥的施用對糧食增產增收起到了關鍵作用，另一方面，也成為環境污染，空氣污染，土壤污染的重要來源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促進糧食增產，減少對周圍環境的污染成為需要解決的重要問題.研究糧食產量與化肥施用量的關系，成為解決上述問題的前提.某研究團隊收集了10組化肥施用量和糧食畝產量的數據并對這些數據作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統計量的值，化肥施用量為x（單位：公斤），糧食畝產量為y（單位：百公斤）.參考數據：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根據散點圖判斷與，哪一個適宜作為糧食畝產量y關于化肥施用量x的回歸方程類型（給出判斷即可，不必說明理由）；（2）根據（1）的判斷結果及表中數據，建立y關于x的回歸方程；并預測化肥施用量為27公斤時，糧食畝產量y的值；（3）經生產技術提高后，該化肥的有效率Z大幅提高，經試驗統計得Z大致服從正態分布N），那這種化肥的有效率超過58%的概率約為多少？附：①對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為；②若隨機變量，則有，；③取.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】在三棱柱中，，轉化為結合已知條件計算即可.【詳解】在三棱柱中，滿足，且，則，，D點是線段上靠近A的一個三等分點，則，由向量的減法運算得，.故選：A【點睛】關鍵點點睛：在三棱柱中，，由向量的減法運算得，再展開利用數量積運算.2、A【解析】根據題中條件，逐項計算，即可得出結果.【詳解】因為，，，所以，因此.故選：A.3、B【解析】利用雙曲線的離心率，以及漸近線中，關系，結合找關系即可【詳解】解：，又因為在雙曲線中，，所以，故，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：B4、A【解析】確定矩形四邊的距離均不小于的點構成的區域，由幾何概型面積型的公式計算可得結果.【詳解】若點與矩形四邊的距離均不小于，則其落在如圖所示的陰影區域內，所求概率.故選：A.5、C【解析】利用等比中項的定義可求得結果.【詳解】由題意可知，與的等比中項為.故選：C.6、D【解析】利用向量共線的推論可判斷A，利用數量積的定義可判斷B，利用充要條件的概念可判斷C，利用基底的概念可判斷D.【詳解】對于A，若，，所以三點不共線，故A錯誤；對于B，因為，故B錯誤；對于C，由可推出為直角三角形，由為直角三角形，推不出，所以為直角三角形的充分不必要條件是，故C錯誤；對于D，若為空間的一個基底，則不共面，若不能構成空間的一個基底，設，整理可得，即共面，與不共面矛盾，所以能構成空間的另一個基底，故D正確.故選：D.7、C【解析】對于選項A，可以舉反例判斷；對于選項BCD可以利用作差法判斷得解.【詳解】解：A.若，則不一定成立.如：.所以該選項錯誤；B.，所以，所以該選項錯誤；C.，所以該選項正確；D.，所以該選項錯誤.故選：C8、A【解析】由抽樣比再乘以可得退休族應抽取人數可判斷命題，求出上班族對數字媒體內容滿意程度的平均分，由方差公式計算方差可判斷，再由復合命題的真假判斷四個選項，即可得正確選項.【詳解】因為退休族應抽取人，所以命題正確；樣本中上班族對數字媒體內容滿意程度的平均分為，方差為，命題正確，所以為真，、、為假命題，故選：9、D【解析】將方程化為標準式即可.【詳解】方程化為標準式得，則.故選：D.10、D【解析】以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標系，利用向量法即可求出答案.【詳解】解：由題意知，CA，CB，CC1兩兩垂直，以，，的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，設平面的法向量為，則令，得.因為，所以，故直線BC與平面所成角的正弦值為.故選：D.11、A【解析】利用空間向量加法運算，減法運算，數乘運算即可得到答案.【詳解】如圖故選：A12、C【解析】分類討論:當兩圓外切時，圓心距等于半徑之和；當兩圓內切時，圓心距等于半徑之差，即可求解.【詳解】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為.①當兩圓外切時，有，此時.②當兩圓內切時，有，此時.綜上，當時兩圓外切；當時兩圓內切.故選：C【點睛】本題考查了圓與圓的位置關系，解答兩圓相切問題時易忽略兩圓相切包括內切和外切兩種情況.解答時注意分類討論，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】依題意可得圓柱的底面半徑、高，再根據圓柱的體積公式計算可得；【詳解】解：依題意可得圓柱的底面半徑，高，所以；故答案為：14、【解析】利用斜率公式可求得結果.【詳解】由斜率公式可知，直線的斜率為.故答案為：.15、【解析】將雙曲線的方程化為標準式，可得出、，由此可得出關于的等式，即可解得的值.【詳解】雙曲線的標準方程為，由題意可得，則，，，所以，，解得.故答案為：.16、或##或【解析】分兩種情況進行解答，①以邊長為2的邊為軸旋轉，②以邊長為1的邊為軸旋轉．進行解答即可【詳解】解：①以邊長為2的邊為軸旋轉，表面積兩個底面積側面積，即：，②以邊長為1的邊為軸旋轉，表面積兩個底面積側面積，即：，故答案為：或三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）,證明見解析.（3）不存在，【解析】（1）數列為首項為公差為的等差數列，利用等差數列的求和公式即可得出結果；（2），，成等差數列，則+=2，根據等比數列求和公式計算可解得，進而計算可得，即可判斷結果；（3）由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數列是等差數列,則，解方程組可得無解，則所有數對所構成的集合為.【小問1詳解】，，數列是公比為q的等比數列，，數列為，數列為首項為公差為的等差數列，數列的前n項和.【小問2詳解】，，成等差數列，+=2，當時,+=,2,不符題意舍去，當時，.,即，，，（舍）或即，存在互不相同的正整數，使得，，成等差數列，，，.【小問3詳解】由題意列出，，…，,,,,,…，在刪去以后,按原來的順序所得到的數列是等差數列,則，,即，解得：方程組無解.即符合條件的不存在，所有數對所構成的集合為.18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求出函數的定義域為，求得，分、、三種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；（2）構造函數，由題意可知恒成立，對實數分和兩種情況討論，利用導數分析函數在區間上的單調性，驗證是否成立，由此可得出實數的取值范圍.【詳解】（1）函數的定義域為，.（i）當時，，函數在上單調遞增；（ii）當時，令得.若，則；若，則.①當時，，函數在上單調遞增；②當時，，當時，，函數單調遞增；當時，，函數單調遞減；綜上，可得，當時，函數在上單調遞增；當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；（2）設，，則.當時，單調遞增，則.所以，函數在上單調遞增，且.當時，，于是，函數在上單調遞增，恒成立，符合題意；當時，由于，，，所以，存在，使得.當時，，函數單調遞減；當時，，函數單調遞增.故，不符合題意，綜上所述，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數求解函數的單調區間，同時也考查了利用導數研究函數不等式恒成立問題，考查分類討論思想的應用，屬于難題.19、（1）（2）或【解析】（1）設圓的半徑為，圓的半徑為，圓的半徑為，由題意，，從而可得，由橢圓的定義即可求解；（2）由題意，直線的斜率存在且不為0，設，，聯立直線與橢圓方程，利用韋達定理及點為線段的中點，可得，利用弦長公式求出及到直線AB的距離即可得的面積.【小問1詳解】解：圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，設圓的半徑為，由題意，，所以，由橢圓的定義可知，動圓圓心的軌跡是以，為焦點，長軸長為的橢圓，則，所以，所以動圓圓心的軌跡的方程為；【小問2詳解】解：由題意，直線的斜率存在且不為0，設，，由，可得，所以①，②，且，即，因為的面積是面積的一半，所以點為線段的中點，所以，即③，聯立①②③可得，所以，因為到直線AB的距離，，所以，所以當時，，當時，.所以的面積為或.20、（1）（2）存在，M與S重合【解析】（1）分別取AB，BC中點M，N，易證兩兩互相垂直，以為正交基底，建立空間直角坐標系，先求得平面SCD的一個法向量，再由求解；（2）假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，再求得平面MEF的一個法向量，然后由求解.小問1詳解】解：分別取AB，BC中點M，N，則，又平面則兩兩互相垂直，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，，所以，設平面SCD的一個法向量為，，，則，，直線EF與平面SBC所成角的正弦值為.【小問2詳解】假設存在點M，使得平面MEF平面SCD，，，設平面MEF的一個法向量，，令，則，平面MEF平面SCD，，，存在點，此時M與S重合.21、（1），175（2）【解析】（1）由已知結合等差數列的通項公式先求出公差，然后結合通項公式及求和公式即可求解；（2）結合等比數列的性質先求出，然后結合等比數列性質及求和公式可求【小問1詳解】解：等差數列滿足，，所以，，；【小問2詳解】解：因為等比數列滿足，，所以或（舍去），由等比數列的性質可知，是以1為首項，4為公比的等比數列，所以，所以22、（1）；（2）；