湖南省臨澧一中2025屆高二數學第一學期期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知動點的坐標滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.2．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.3．在區間內隨機取一個數則該數滿足的概率為（）A. B.C. D.4．知點分別為圓上的動.點，為軸上一點，則的最小值（）A. B.C. D.5．定義域為的函數滿足，且的導函數，則滿足的的集合為A. B.C. D.6．已知，且直線始終平分圓的周長，則的最小值是（）A.2 B.C.6 D.167．圓關于直線l：對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.8．已知、，直線，，且，則的最小值為（）A. B.C. D.9．過兩點和的直線的斜率為（）A. B.C. D.10．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學家，也是著名的數學家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓的對稱軸為坐標軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標準方程為（）A. B.C. D.11．在四棱錐中，底面為平行四邊形，為邊的中點，為邊上的一列點，連接，交于，且，其中數列的首項，則（）A. B.為等比數列C. D.12．觀察，，，由歸納推理可得：若定義在上的函數滿足，記為的導函數，則=A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線中心在坐標原點，左右焦點分別為，漸近線分別為，過點且與垂直的直線分別交于兩點，且，則雙曲線的離心率為________14．已知，分別是橢圓和雙曲線的離心率，，是它們的公共焦點，M是它們的一個公共點，且，則的最大值為______15．總體由編號為01，02，…，30的30個個體組成.選取方法是從下面隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字，則選出來的第5個個體的編號為____________.66065747173407275017362523611665118918331119921970058102057864532345647616．已知是雙曲線的左、右焦點，點M是雙曲線E上的任意一點（不是頂點），過作角平分線的垂線，垂足為N，O是坐標原點．若，則雙曲線E的漸近線方程為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓．離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由18．（12分）為了了解高二段1000名學生一周課外活動情況，隨機抽取了若干學生的一周課外活動時間，時間全部介于10分鐘與110分鐘之間，將課外活動時間按如下方式分成五組：第一組，第二組，…，第五組．按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示，已知圖中從左到右前3個組的頻率之比為3∶8∶19，且第二組的頻數為8（1）求第一組數據的頻率并計算調查中隨機抽取了多少名學生的一周課外活動時間；（2）求這組數據的平均數19．（12分）橢圓的左右焦點分別為，，焦距為，為原點.橢圓上任意一點到，距離之和為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的斜率為2的直線交橢圓于、兩點，求的面積.20．（12分）已知函數，為自然對數的底數.（1）當時，證明，，；（2）若函數在上存在極值點，求實數的取值范圍.21．（12分）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，橢圓上的動點到焦點的最大距離為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過作一條不與坐標軸垂直的直線交橢圓于兩點，弦的中垂線交軸于，當變化時，是否為定值?若是，定值為多少?22．（10分）設函數（Ⅰ）求的單調區間；（Ⅱ）若，為整數，且當時，恒成立，求的最大值．（其中為的導函數．）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】此方程表示點到點的距離與到點的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.2、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.3、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計算公式可得：在區間內隨機取一個數則該數滿足的概率為.故選：.4、B【解析】求出圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，以及半徑，然后求解圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，即可求出的最小值.【詳解】圓關于軸的對稱圓的圓心坐標，半徑為1，圓的圓心坐標為，半徑為1，∴若與關于x軸對稱，則，即，當三點不共線時，當三點共線時，所以同理(當且僅當時取得等號)所以當三點共線時，當三點不共線時，所以∴的最小值為圓與圓的圓心距減去兩個圓的半徑和，∴.故選：B.5、B【解析】利用2f(x)<x＋1構造函數g(x)＝2f(x)－x－1，進而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調性結合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因為f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調增函數因為f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當x<1時，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點睛】本題主要考察導數的運算以及構造函數利用其單調性解不等式．屬于中檔題6、B【解析】由已知直線過圓心得，再用均值不等式即可.【詳解】由已知直線過圓心得：，，當且僅當時取等.故選:B.7、A【解析】首先求出圓的圓心坐標與半徑，再設圓心關于直線對稱的點的坐標為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標，從而求出對稱圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設圓心關于直線對稱的點的坐標為，則，解得，即圓關于直線對稱的圓的圓心為，半徑，所以對稱圓的方程為；故選：A8、D【解析】先由，可得，變形得，所以，化簡后利用基本不等式求解即可【詳解】因為、，直線，，且，所以，即，所以，所以，所以，當且僅當，即時，取等號，所以的最小值為，故選：D9、D【解析】應用兩點式求直線斜率即可.【詳解】由已知坐標，直線的斜率為.故選：D10、C【解析】由題意，設出橢圓的標準方程為，然后根據橢圓的離心率以及橢圓面積列出關于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.11、A【解析】由得，為邊的中點得，設，所以，根據向量相等可判斷A選項；由得是公比為的等比數列，可判斷B選項；代入可判斷C選項；當時可判斷D選項.【詳解】由得，因為為邊的中點，所以，所以設，所以，所以，當時，A選項正確；，由得，是公比為的等比數列，所以，所以，所以，不是常數，故B選項錯誤；所以，由得，故C選項錯誤；當時，，所以，此時為的中點，與重合，即，，故D錯誤.故選：A.12、D【解析】由歸納推理可知偶函數的導數是奇函數，因為是偶函數，則是奇函數，所以，應選答案D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】判斷出三角形的形狀，求得點坐標，由此列方程求得，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】依題意設雙曲線方程為，雙曲線的漸近線方程為，右焦點，不妨設.由于，所以是線段的中點，由于，所以是線段的垂直平均分，所以三角形是等腰三角形，則.直線的斜率為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，由解得，則，即，化簡得，所以雙曲線的離心率為.故答案為：14、【解析】利用橢圓、雙曲線的定義以及余弦定理找到的關系，然后利用三角換元求最值即可.【詳解】解析：設橢圓的長半軸為a，雙曲線的實半軸為，半焦距為c，設，，，因為，所以由余弦定理可得，①在橢圓中，，①化簡為，即，②在雙曲線中，，①化簡為，即，③聯立②③得，，即，記，，，則，當且僅當，即，時取等號故答案為：.15、23【解析】根據隨機表，由編號規則及讀表位置列舉出前5個符合要求的編號，即可得答案.【詳解】由題設，依次得到的數字為57，47，17，34，07，27，50，17，36，25，23，……根據編號規則符合要求的依次為17，07，27，25，23，……所以第5個個體編號為23.故答案為：23.16、【解析】延長交于點，利用角平分線結合中位線和雙曲線定義求得的關系，然后利用，及漸近線方程即可求得結果.【詳解】延長交于點，∵是的平分線，，，又是中點，所以，且，又，，，又，雙曲線E的漸近線方程為故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）是定值，理由見解析.【解析】（1）由題意有，點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形有，即可寫出橢圓方程；（2）直線與橢圓交于兩點，聯立方程結合韋達定理即有，已知應用點線距離公式、三角形面積公式即可說明的面積是否為定值；【詳解】（1）橢圓離心率為，即，∵點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形，∴，綜上有：，，故橢圓方程為，（2）由直線與橢圓交于兩點，聯立方程：，整理得，設，則，，，，原點到的距離，為定值；【點睛】本題考查了由離心率求橢圓方程，根據直線與橢圓的相交關系證明交點與原點構成的三角形面積是否為定值的問題.18、（1）0.06，50名（2）64（分鐘）【解析】（1）利用頻率和為1可求解頻率，再利用頻率，頻數，總數之間的關系可求解學生人數；（2）平均數：頻率分布直方圖中每個小長方形的中點乘以對應的長方形面積之和；【小問1詳解】設圖中從左到右前3個組的頻率分別為3x，8x，19x依題意，得所以．所以第一組數據的頻率為，設調查中隨機抽取了n名學生的課外活動時間，則，得，所以調查中隨機抽取了50名學生的課外活動時間小問2詳解】由題意，這組數據的平均數(分鐘)19、（1）（2）【解析】（1）根據題意和橢圓的定義可知a，c，再根據，即可求出b，由此即可求出橢圓的方程；（2）求出直線方程，將其與橢圓方程聯立，根據弦長公式求出的長度，再根據點到直線的距離公式求出點O到直線AB的距離，再根據面積公式即可求出結果.【小問1詳解】由題意可得，，∴，，，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】直線l的方程為，代入橢圓方程得，設，，則，，，∴，又∵點O到直線AB的距離，∴，即△OAB的面積為.20、（1）證明見解析：（2）【解析】(1)代入,求導分析函數單調性,再的最小值即可證明.(2),若函數在上存在兩個極值點,則在上有根.再分,與,利用函數的零點存在定理討論導函數的零點即可.【詳解】(1)證明：當時,,則,當時,,則,又因為,所以當時,,僅時,,所以在上是單調遞減,所以,即.(2),因為,所以,①當時,恒成立,所以在上單調遞增,沒有極值點.②當時,在區間上單調遞增,因為.當時,,所以在上單調遞減,沒有極值點.當時,,所以存在,使當時,時,所以在處取得極小值,為極小值點.綜上可知,若函數在上存在極值點,則實數.【點睛】本題主要考查了利用導函數求解函數的單調性與最值,進而證明不等式的方法.同時也考查了利用導數分析函數極值點的問題,需要結合零點存在定理求解.屬于難題.21、（1）（2）是，【解析】(1)由拋物線方程求出其焦點坐標，結合橢圓的幾何性質列出，的方程，解方程求，由此可得橢圓方程，(2)聯立直線橢圓橢圓方程，求出弦的長和其中垂線方程，再計算，由此完成證明.【小問1詳解】拋物線的交點坐標為（1，0），，又，又，∴，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】設直線的斜率為，則直線的方程為，聯立消元得到，顯然，，∴，又的中點坐標為，直線的中垂線的斜率為∴直線的中垂線方程為，令，，（常數）.【點睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值22、（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）的定義域為，，分和兩種情況解不等式和即可得單調遞增區間和單調遞減區間；（Ⅱ）由題意可得對于恒成立，分離可得，令，只需，利用導數求最小值即可求解.【詳解】（Ⅰ）函數的定義域為，當時，對于恒成立，此時函數在上單調遞增；當時，由可得；由可得；此時在上單調遞減，在上單調遞增；綜上所述：