2024年“江南十校”高二年級聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并收回．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求．1.等差數(shù)列中，，，則（）A. B. C.0 D.2【答案】C【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)得：，即，又，即，故．故選：C2.安徽省某市石斛企業(yè)2024年加入網(wǎng)絡(luò)平臺直播后，每天石斛的銷售量（單位：盒），估計300天內(nèi)石斛的銷售量約在1950到2050盒的天數(shù)大約為（）（附：若隨機變量，則，，）A.205 B.246 C.270 D.286【答案】A【解析】【分析】由題意可得，進而由可得結(jié)論.【詳解】由，所以，所以銷售量約在1950到2050盒的概率為，所以由可知大約有205天．故選：A.3.已知，，圓M經(jīng)過A，B兩點，且圓的周長被x軸平分，則圓M的標準方程為（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求出線段的中垂線，求得與軸的交點即為圓心坐標，進而求得圓的方程.【詳解】由題意，，中點為，所以線段的中垂線為，令得，所以，半徑，所以圓M的標準方程為．故選：B.4.“一帶一路”2024國際冰雪大會中國青少年冰球國際邀請賽在江蘇無錫舉行，現(xiàn)將4名志愿者分成3組，每組至少一人，分赴3個不同場館服務(wù)，則不同的分配方案種數(shù)是（）A.18 B.36 C.54 D.72【答案】B【解析】【分析】先將4人分成3組，一組2人，一組1人，一組1人，再分配.【詳解】將4人分成3組，一組2人，一組1人，一組1人，分法有種，再分配給3個不同場館有，所以不同的分配方案種數(shù)種．故選：B.5.在棱長均相等的正三棱柱中,E為棱AB的中點,則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題線面角的定義,作出線面角,根據(jù)勾股定理算出線面角所在直角三角形的邊長,進而求出正弦值.【詳解】過E作,F為垂足,連接,則為直線與平面所成角,設(shè)三棱柱的棱長為2,則,,∴.故選：A6.已知是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，，，則數(shù)列的最小項為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)公比為，可得，可求的通項公式，進而可得，進而可得時，，可得結(jié)論.【詳解】由，，是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，設(shè)其公比為，則有，解得或（舍去），所以，，由得，所以時，，又，，，故最小．故選：B.7.已知拋物線的焦點為F，直線l過點F且與拋物線交于P，Q兩點，若，則直線l傾斜角的正弦值為（）A. B. C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由拋物線的定義作出圖象，結(jié)合幾何關(guān)系求出即可.【詳解】過P，Q分別作，垂直于準線，垂足分別為，，過Q作，垂足為R，設(shè)，則，，．故選：A.8.已知函數(shù)，若在上單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)有：要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào)，對函數(shù)求導(dǎo)，代特殊值求得，結(jié)合函數(shù)在上單調(diào)，可知在上恒成立，即可知，確定值并檢驗即可求解.【詳解】因為，且，所以為奇函數(shù)，要使函數(shù)在上單調(diào)，只要函數(shù)在上單調(diào)；又，且，又函數(shù)在上單調(diào)，故函數(shù)在上只能單調(diào)遞減，由，即，解得，當時，，時，，，故有在上恒成立，經(jīng)檢驗知，時符合題意．故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷出導(dǎo)數(shù)的取值情況，由此確定值并檢驗.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知函數(shù)，下列關(guān)于的說法正確的是（）A.在上單調(diào)遞減 B.在上單調(diào)遞增C.有且僅有一個零點 D.存在極大值點【答案】BC【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的正負的單調(diào)性和極值，即可判斷ABD；令可判斷D.【詳解】對于AB，由題意知函數(shù)的定義域為，所以，令，得，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增；故A錯誤.B正確；對于D，由上可知，是的極小值點，無極大值點.故D錯誤；令，得，當時，，故為的唯一零點，故C正確．故選：BC10.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，各裝有若干個大小相同的小球（如圖），則下列說法正確的是（）A.甲盒中一次取出3個球，至少取到一個紅球的概率是B.乙盒有放回的取3次球，每次取一個，取到2個白球和1個紅球的概率是C.甲盒不放回的取2次球，每次取一個，第二次取到紅球的概率是D.甲盒不放回的多次取球，每次取一個，則在第一、二次都取到白球的條件下，第三次也取到白球的概率是【答案】ABC【解析】【分析】A選項利用超幾何分布求概率公式即可計算；B根據(jù)二項分布求概率公式計算即可；C選項、D選項利用全概率公式與條件概率公式即可求解.【詳解】對于A，記“甲盒中取3球至少一個紅球”，則，故A正確；對于B，記“乙盒有放回的取3次球，取到2個白球”，則，故B正確；對于C，記“甲盒不放回第i次取到紅球”，則，故C正確.對于D，，故D不正確.故選：ABC.11.達·芬奇方磚是在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案，如圖1，把三片這樣的達·芬奇方磚拼成圖2的組合，這個組合再轉(zhuǎn)化為圖3所示的幾何體，圖3中每個正方體的棱長為1，E，F(xiàn)為棱，AB的中點，則（）A.點P到直線CQ的距離為2B.直線平面C.平面和平面的距離為D.平面截正方體所得的截面的周長為【答案】ABD【解析】【分析】由余弦定理可求得，可求P到CQ的距離的距離，判斷A；以點D為坐標原點，以DA，DC，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，利用向量法平面，判斷B；結(jié)合B，可求得到平面的距離，到平面的距離，可求得平面與平面的距離，判斷C；連接并延長交CD延長線于U，連接UF交AD于V，交CB的延長線于W，可得截面為，求得截面的周長判斷D.【詳解】由勾股定理可得，，，由余弦定理得，得，P到CQ的距離為，所以A正確；選項B：如圖，以點D為坐標原點，以DA，DC，所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，則，，，，，∴，設(shè)平面的法向量分別為，所以，∴，所以平面，故B正確；選項C：由B可知平面，同理可證平面，易求，設(shè)到平面的距離為，由，可得，所以，解得，所以到平面距離為，同理可得到平面的距離為，所以平面與平面的距離為，故C不正確；選項D：連接并延長交CD延長線于U，連接UF交AD于V，交CB的延長線于W，，，，，所以截面周長為，所以D正確．故選：ABD.【點睛】方法點睛：求點到面的距離，常用等體積法轉(zhuǎn)化為一個面上的高的方法處理，求截面周長，關(guān)鍵是作出截面圖形.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.展開式中的常數(shù)項為______．【答案】135【解析】【分析】根據(jù)二項式展開式的通項特征，即可求解.【詳解】展開式的通項為，令，所以常數(shù)項為，故答案為：13513.已知函數(shù)，其中，若是的極小值點，則實數(shù)a的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)可得，由是的極小值點，結(jié)合已知可得，求解可得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，求導(dǎo)得，令，可得或，因為是的極小值點，又，所以，從而．所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：14.過雙曲線的左焦點F作漸近線的垂線，與雙曲線及漸近線的交點分別為A，B，點A，B均在第二象限，且A為線段FB的中點，則______．【答案】1【解析】【分析】首先利用點到直線的距離公式計算出，進而得到，在根據(jù)雙曲線的定義計算出，然后在中使用余弦定理即可求解。【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，由，得，，中，，又，，所以，解得，所以．故答案為：四、解答題：本小題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足．（1）求及；（2）若，求滿足條件的最大整數(shù)n的值．【答案】（1），（2）3【解析】【分析】（1）由已知可得，可得是以為首項、為公比的等比數(shù)列，可求，；（2）由（1）可得，可得，求解即可.【小問1詳解】由，可得，兩式相減得，又得，故是以為首項、為公比的等比數(shù)列，從而，；【小問2詳解】由，由，可得，所以，解得，則滿足條件的最大整數(shù)n為3.16.如圖，某市有三條連接生活區(qū)與工作區(qū)城市主干道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，在出行高峰期主干道Ⅰ有三個易堵點，它們出現(xiàn)堵車的概率都是；主干道Ⅱ有，兩個易堵點，它們出現(xiàn)堵車的概率分別為和；主干道Ⅲ有四個易堵點，它們出現(xiàn)堵車的概率都是，某人在出行高峰期開車從生活區(qū)到工作區(qū)，假設(shè)以上各路點是否被堵塞互不影響．（1）若選擇了主干道Ⅰ行駛，求三個易堵點至少有一個出現(xiàn)堵塞的概率；（2）已知主干道Ⅰ的每個易堵點平均擁堵4分鐘，主干道Ⅱ的每個易堵點平均擁堵5分鐘，主干道Ⅲ的每個易堵點平均擁堵3分鐘，若按照“平均擁堵時間短的路線是較優(yōu)出行路線”的標準，則從生活區(qū)到工作區(qū)最優(yōu)的出行路線是哪一條？【答案】（1）（2）選擇主干道Ⅲ行駛最優(yōu)【解析】【分析】（1）利用獨立重復(fù)試驗的概率及對立事件的概率公式計算即得.（2）利用二項分布的期望公式求出主干道Ⅰ和Ⅲ平均擁堵時間，再求出主干道Ⅱ擁堵時間的分布列及期望即可得解.小問1詳解】記“三個路點中至少有一個被堵塞”，則．【小問2詳解】記主干道Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ路線平均擁堵時間分別為，記選擇主干道Ⅰ行駛遇到的堵塞次數(shù)為，所以，；記選擇主干道Ⅱ行駛遇到的堵塞次數(shù)為，則由題可得，，故平均擁堵時間分布列為：0510P所以；記選擇主干道Ⅲ行駛遇到的堵塞次數(shù)為，則，，，所以選擇主干道Ⅲ行駛最優(yōu).17.在我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》中，有一種名為“羨除”的幾何體，它由古代的隧道形狀抽象而來，如圖，ABCDFE為五面體，，四邊形ABCD，AEFD，BEFC均為等腰梯形，平面平面AEFD，，，，EF到平面ABCD的距離為3，BC和AD的距離為2，點G在棱BC上且．（1）證明：；（2）求平面ABE與平面BEF夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過點G作，證明直線平面即可；（2）建立空間直角坐標系，求平面和平面的法向量即可計算兩平面夾角的余弦值.【小問1詳解】如圖①所示，過點G作，垂足為O，連接OE，因為平面平面，平面，平面平面，從而平面AEFD，所以，，在BC上取一點I使得，過I作，H為垂足，則，且，因為，四邊形為等腰梯形，所以，即，又，所以平面，又平面，所以；【小問2詳解】如圖②所示，以點O為坐標原點，以O(shè)E，OD，OG所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，則，，，，設(shè)平面，平面的法向量分別為，，令，得，令，得，，故平面ABE與平面BEF夾角的余弦值．18.已知直線l：與函數(shù)．（1）記，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若直線l與函數(shù)的圖象相切，求實數(shù)k的值；（3）若時，直線l始終在函數(shù)圖象的上方，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）2（3）【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)得，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性法求出的單調(diào)區(qū)間可得結(jié)果；（2）設(shè)出切點坐標，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得條件，令，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性解出方程的根可得結(jié)果；（3）解法一：依題意得當時，恒成立，令，，分類討論得出單調(diào)性可得結(jié)果；解法二：由題意整理得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，結(jié)合洛必達法則分析求解.【小問1詳解】由題意得，，，則，令，解得，所以在上為增函數(shù)，令，解得，所以在上為減函數(shù)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．【小問2詳解】設(shè)直線l：與函數(shù)相切于點，則，得，令，則，故在上單調(diào)遞減，從而至多一根，又，故，．【小問3詳解】解法一：由題意知，當時，恒成立，令，，則，，①當時，，則，所以在上單調(diào)遞增，故．②當時，令得，，由且得，故當時，，在上單調(diào)遞減，從而，不符合題意；綜上所述：k的取值范圍為；解法二：由題意知，當時，恒成立，整理得，構(gòu)建，則，構(gòu)建，則當恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即當恒成立，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且當x趨近于1時，趨近于2，可得，所以k的取值范圍為.19.已知橢圓的離心率為，焦距為2，，分別為橢圓的左、右焦點，M為橢圓上異于長軸端點的一個動點，直線，與橢圓的另外一個交點分別為P，Q．（1）求橢圓的標準方程；（2）若點M在x軸上方，，求直線MP的方程；（3）設(shè)，的面積分別為，，求的取值范圍．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率和焦距得到方程，求出，，得到橢圓方程；（2）設(shè)：，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，由得到，結(jié)合兩根之和，兩根之積，得到，求出答案；（3）表達出，設(shè)的方程，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，