13.3.2等邊三角形等邊三角形定義：三邊都相等的三角形叫等邊三角形.等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)內(nèi)角都等于60°.注意：由定義可知，等邊三角形是一種特殊的等腰三角形．也就是說(shuō)等腰三角形包括等邊三角形．題型1：等邊三角形的性質(zhì)求角度1.如圖，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，垂足為D，點(diǎn)E在線段AD上，若∠BEC＝90°，則∠ACE的度數(shù)（）A．60° B．45° C．30° D．15°【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，∴AD是線段BC的垂直平分線，∠ACB=60°，∴BE=CE，∴∠EBC=∠ECB，∵∠BEC=90°，∴∠EBC=∠ECB=45°，∴∠ACE=∠ACB∠ECB=15°，故答案為：D.【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出BE=CE，∠ACB=60°，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠EBC=∠ECB=45°，利用∠ACE=∠ACB∠ECB即可得出答案.【變式11】如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠CED=30° B．∠BDE=120° C．DE=BD D．DE=AB【答案】D【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB＝60°，∵BD是AC上的中線，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝30°，∵∠ACB＝∠CDE＋∠DEC＝60°，

又CD＝CE，∴∠CDE＝∠CED＝30°，∴∠CBD＝∠DEC，∴DE=BD，∠BDE＝∠CDB＋∠CDE＝120°，故A、B、C均正確．故答案為：D．【分析】利用等邊三角形性質(zhì)得∠ABC=∠ACB＝60°，∠ADB＝∠CDB＝90°；∠ABD＝∠CBD＝30°，再利用三角形的外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可得到∠CDE＝∠CED＝30°，可對(duì)A作出判斷；由此可推出∠CBD=∠DEC，同時(shí)可求出∠BDE的度數(shù)，可對(duì)B作出判斷；利用等角對(duì)等邊可證得DE=DB，可對(duì)C作出判斷；不能證明DE=AB，可對(duì)D作出判斷.【變式12】如圖，AB∥CD，△ACE為等邊三角形，∠BAE=20°，則∠DCE等于()A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】B【解析】【解答】解：∵△ACE為等邊三角形，∴∠ECA=∠EAC=60°，∵AB//CD，∴∠DCA+∠BAC=180°，∴∠DCE+∠ECA+∠EAC+∠EAB=180°，∵∠EAB=20°，∴40°+60°+60°+∠EAB=180°，解得∠DCE=40°，故答案為：B．

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DCA+∠BAC=180°，再利用等邊三角形的性質(zhì)可得∠ECA=∠EAC=60°，最后利用角的運(yùn)算可得∠DCE=40°。題型2：等邊三角形的性質(zhì)證明問(wèn)題2.如圖△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC到E，使CE＝CD．求證：DB＝DE．【答案】證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是中線，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∠DBC＝30°（等腰三角形三線合一）．又∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠CED．又∵∠BCD＝∠CDE+∠CED，∴∠CDE＝∠CED＝12∴∠DBC＝∠DEC．∴DB＝DE（等角對(duì)等邊）．【解析】【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠ABC＝∠ACB＝60°，∠DBC＝30°，由CE＝CD，可得∠CDE＝∠CED，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可得∠CDE＝∠CED＝12∠BCD＝30°，即得∠DBC＝∠DEC，根據(jù)等角對(duì)等邊即得結(jié)論.【變式21】如圖，已知等邊ΔABC，D，E分別在BC、AC上，且BD=CE，連接BE、AD交F點(diǎn)．求證：∠AFE=【答案】∵△ABC是等邊三角形∴∠ABC=∠C=60°，AB=BC在△ABD和△BCE中AB=BC∴△ABD≌△BCE∴∠BAD=∠CBE∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°．【解析】【分析】根據(jù)△ABC是等邊三角形得出∠ABC=∠C=60°，AB=BC，利用SAS證明△ABD≌△BCE，得出∠BAD=∠CBE，即可得出結(jié)論。【變式22】如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），過(guò)點(diǎn)C作∠ACE＝60°，且CE=BD（點(diǎn)E與點(diǎn)A在射線BC同側(cè)），連接AD，ED.求證：AD=DE.【答案】證明：如圖，在AB上截取AF=DC，連接FD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，又∵AF=DC，∴BF=BD，∴△BDF是等邊三角形，∴∠BFD=60°，BD=DF，∴∠AFD=120°，∵∠ACE＝60°，∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，∴∠DCE=∠AFD，∵CE=BD，∴CE=DF，在△ADF和△DEC中，∵CE=DF，∠DCE=∠AFD，DC=AF，∴△ADF≌△DEC（SAS），∴AD=DE.【解析】【分析】在AB上截取AF=DC，連接FD，證出△ADF≌△DEC，即可得出AD=DE.等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．題型3：等邊三角形的判定3.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為AB邊的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝DF．求證：△ABC是等邊三角形．【答案】證明：∵D為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD．∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠AED=∠BFD=90°．在Rt△ADE和Rt△BDF中，AD=BDDE=DF∴Rt△ADE≌Rt△BDF(∴∠A=∠B，∴CA=CB，∵AB=AC，∴AB=BC=AC∴ΔABC是等邊三角形．【解析】【分析】先利用“HL”證明Rt△ADE≌Rt△BDF，再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠A=∠B，再利用等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CA=CB，再結(jié)合AB=AC，可得AB=BC=AC，即可證明△ABC是等邊三角形。【變式31】如圖，△ABC≌△ADE，∠BAD＝60°．求證：△ACE是等邊三角形．【答案】解：∵△ABC≌△ADE，

∴∠BAC＝∠DAE，AC＝AE．∴∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．∵∠BAD＝60°，∴∠CAE＝60°．又∵AC＝AE，∴△ACE是等邊三角形【解析】【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠BAC＝∠DAE，AC＝AE，進(jìn)而可得∠BAD＝∠CAE，然后根據(jù)有一個(gè)角為60°的等腰三角形即可判斷△ACE是等邊三角形.【變式32】如圖，在△ABC中，∠B＝60°，過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB，若∠ACD＝60°，求證：△ABC是等邊三角形.【答案】證明:證法一：∵CD∥AB，∴∠A＝∠ACD＝60°.∵∠B＝60°，在△ABC中，∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.∴∠A＝∠B＝∠ACB.∴△ABC是等邊三角形.證法二：∵CD∥AB，∴∠B＋∠BCD＝180°.∵∠B＝60°，∴∠BCD＝120°.∴∠ACB＝∠BCD－∠ACB＝60°.在△ABC中，∠A＝180°－∠B－∠ACB＝60°.∴∠A＝∠B＝∠ACB.∴△ABC是等邊三角形.【解析】【分析】證法一：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，∠A＝60°，所以∠ACB＝60°，即可證明△ABC是等邊三角形.證法二：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知，∠B＝60°，所以∠BCD＝120°，∠ACB＝60°，即可證明△ABC是等邊三角形.題型4：等邊三角形與多選項(xiàng)問(wèn)題4.如圖所示，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，則四個(gè)結(jié)論正確的是()①點(diǎn)P在∠A的平分線上；②AS=AR；③QP//AR；④△BRP≌△QSP．A．全部正確 B．①②正確 C．①②③正確 D．①③正確【答案】A【解析】【解答】解：∵PR⊥AB于R，PS⊥AC于S∴∠ARP＝∠ASP＝90°∵PR＝PS，AP＝AP∴Rt△ARP≌Rt△ASP∴AR＝AS，故②正確，∠BAP＝∠CAP∴AP是等邊三角形的頂角的平分線，故①正確∴AP是BC邊上的高和中線，即點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)∵AQ＝PQ∴點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)∴PQ是邊AB對(duì)的中位線∴PQ∥AB，故③正確∵Q是AC的中點(diǎn)，∴QC=QP，∵∠C=60°，∴△QPC是等邊三角形，∴PB=PC=PQ，∵PR＝PS，∠BRP＝∠QSP＝90°，∴△BRP≌△QSP，故④正確∴全部正確．故答案為：A．【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)、三角形全等的判定及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。【變式41】已知，如圖，△ABC是等邊三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于點(diǎn)P，下列說(shuō)法：①∠APE=∠C，②AQ=BQ，③BP=2PQ，④AE+BD=AB，其正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=AC，∠BAE=∠C=60°，

∵AE=CD，

∴△ABE≌△CAD，

∴∠ABE=∠CAD，

∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，

∴∠APE=∠BPQ=60°，

∴∠APE=∠C，故①正確；

②無(wú)法證明AQ=BQ，故②錯(cuò)誤；

③∵BQ⊥AD于Q，

∴∠PBQ=90°∠BPQ=90°∠APE=90°60°=30°，

∴BP=2PQ，故③正確；

④∵△ABE≌△CAD，

∴AE=CD，

∴AE+BD=CD+BD=BC=AB，故④正確，

∴正確的個(gè)數(shù)由3個(gè).故答案為：C.

【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠C=60°，再證出△ABE≌△CAD，得出∠ABE=∠CAD，從而得出∠APE=∠BPQ=60°，即可判斷①正確；

②無(wú)法證明AQ=BQ，即可判斷②錯(cuò)誤；

③證出∠PBQ=30°，從而得出BP=2PQ，即可判斷③正確；

④根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出AE=CD，從而得出AE+BD=CD+BD=BC=AB，即可判斷④正確.

【變式42】如圖點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，△CBE，△ADC都是等邊三角形，AE，BD相交于點(diǎn)O，且分別與CD，CE交于點(diǎn)M，N，連接M，A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解析】【解答】解：∵△DAC和△EBC均是等邊三角形，∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∠MCN=180°∠ACD∠BCE=60°，在△ACE和△DCB中，AC=CD∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△DCB（SAS），則①符合題意；∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，在ACM和△DCN中，∠ACM=∠DCNAC=CD∴△ACM≌△DCN（ASA），∴CM=CN，AM=DN；則②符合題意；∵∠MCN=60°，∴ΔCMN為等邊三角形；則③符合題意；∵∠DAC=∠ECB=60°，∴AD∥CE，∴∠DAO=∠NEO=∠CBN，∴∠EOB=∠OAC+∠CBN=∠OAC+∠DAO=60°；則④符合題意；∴正確的結(jié)論由4個(gè)；故答案為：D．

【分析】根據(jù)三角形全等的判定以及等邊三角形的性質(zhì)判斷即可。題型5：等邊三角形的判定與性質(zhì)綜合5.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，連接BD，CE交于點(diǎn)F，CE∥AB．（1）判斷△DEF的形狀，并說(shuō)明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的長(zhǎng)．【答案】（1）解：△DEF是等邊三角形．理由是：∵AB=AD，∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形．∴∠ABD=∠ADB=60°．∵CE∥AB，∴∠CED=∠A=60°，∠DFE=∠ABD=60°，∴∠CED=∠ADB=∠DFE，∴△DEF是等邊三角形；（2）連接AC交BD于點(diǎn)O，∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分線，即AC⊥BD．∵AB=AD，∠BAD=60°，∴∠BAC=∠DAC=30°．∵CE∥AB，∴∠BAC=∠ACE=∠CAD=30°，∴AE=CE=8，∴DE=ADAE=128=4．∵△DEF是等邊三角形，∴EF=DE=4，∴CF=CEEF=84=4．【解析】【分析】（1）先求出△ABD是等邊三角形，再求出∠CED=∠ADB=∠DFE，最后證明求解即可；

（2）先求出∠BAC=∠DAC=30°，再求出EF=DE=4，最后計(jì)算求解即可。【變式51】如圖，△ABD，△AEC都是等邊三角形，連接CD，BE交于點(diǎn)F．求證：（1）∠BFC＝120°；（2）FA平分∠DFE．【答案】（1）解：∵△ABD、△AEC都是等邊三角形，∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAC+60°，∠BAE=∠BAC+60°，∴∠DAC=∠BAE，在△DAC和△BAE中，AD=AB∠DAC=∠BAE∴△DAC≌△BAE（SAS），∴∠ABE=∠ADC，令A(yù)B與DC的交點(diǎn)為G，∵∠BGD=∠ABE+∠BFG，∠BGD=∠ADC+∠DAG，∴∠ABE+∠BFG=∠ADC+∠DAG，∴∠BFG=∠DAG=60°，∴∠BFC=180°∠BFG=120°；（2）解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DC，AG⊥BE，垂足分別為H、G．∵AH⊥DC，AG⊥BE，∴∠DHA=∠BGA=90°．∵△DAC≌△BAE，∴∠ADC=∠ABE．在△DAH和△BAG中∠ADC=∠ABE∠DHA=∠BGA∴△DAH≌△BAG．∴AH=AG．又∵AH⊥DC，AG⊥BE，∴FA為∠DFE的角平分線．【解析】【分析】（1）先可利用“SAS”證明△DAC≌△BAE，再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠ABE=∠ADC，再結(jié)合∠BGD=∠ABE+∠BFG，∠BGD=∠ADC+∠DAG，可得∠BFG=∠DAG=60°，即可得到∠BFC=180°∠BFG=120°；

（2）先利用“AAS”證明△DAH≌△BAG，再利用全等三角形的性質(zhì)可得AH=AG，再利用角平分線的判定結(jié)合AH⊥DC，AG⊥BE，即可證明FA為∠DFE的角平分線．【變式52】如圖，點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)D是△ABC外一點(diǎn)，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，連接OD．（1）求證：△OCD是等邊三角形；（2）當(dāng)α＝150°時(shí)，試判斷△AOD的形狀，并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)α＝∠AOB，AO＝8cm時(shí)，求OC的長(zhǎng)度．【答案】（1）解：∵△BOC≌△ADC，∴OC=OD，∠OCB=∠ACD，∴∠OCD=∠ACB，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠OCD=60°，∴△OCD是等邊三角形；（2）解：△AOD是直角三角形，理由如下：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC=∠COD=60°，∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，∴∠ADO=90°，∴△AOD是直角三角形；（3）解：∵△OCD是等邊三角形，∴∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=110°，∴∠ADO=∠ADC∠ODC=50°，∵∠BOC=∠AOB=110°，∴∠AOD=360°∠AOB∠BOC∠COD=80°，∴∠OAD=180°∠ADO∠AOD=50°，∴∠OAD=∠ADO，∴AO=OD，∵AO＝8cm，∴OC=OD＝8cm．【解析】【分析】（1）根據(jù)△BOC≌△ADC，得出∠OCD=∠ACB，再根據(jù)△ABC為等邊三角形，得出∠OCD=60°，∠ACB=60°，即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)△OCD是等邊三角形，得出∠ODC=∠COD=60°，再根據(jù)△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=150°，由此得出結(jié)論；

（3）根據(jù)△OCD是等邊三角形，得出∠ODC=∠COD=60°，OC=OD，再根據(jù)△BOC≌△ADC，得出∠ADC=∠BOC=110°，從而得出∠OAD=∠ADO，AO=OD，計(jì)算即可。題型6：等邊三角形動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題6.如圖，等邊△ABC，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，分別連結(jié)AP、BP、AQ、CQ，∠ABP=∠ACQ，BP=CQ.（1）求證：△ABP?△ACQ；（2）連結(jié)PQ，說(shuō)明△APQ是等邊三角形；【答案】（1）證明：如圖，∵△ABC是等邊三角形（已知），∴AB=AC，∠BAC=60°（等邊三角形的性質(zhì)）.在△ABP和△ACQ中，AB=AC∠ABP=∠ACQ∴△ABP?△ACQ(SAS)；（2）解：∵△ABP?△ACQ，∴AP=AQ，∠1=∠2（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等）.∵∠1+∠3=60°，∴∠2+∠3=60°.即∠PAQ=60°.∴△APQ是等邊三角形（有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形）.【解析】【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，用邊角邊可證△ABP≌△ACQ；

（2）由（1）中的全等三角形可得AP=AQ，∠1=∠2，結(jié)合已知易證∠2+∠3=∠PAQ=60°，再根據(jù)有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形可求解.【變式61】如圖，在△ABC中，∠B＝60°，點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC方向，在線段BC上運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，連結(jié)AM，并以AM為邊在線段BC上方，作等邊△AMN，連結(jié)CN．（1）當(dāng)∠BAM＝°時(shí)，AB＝2BM；（2）請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件：▲，使得△ABC為等邊三角形；當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，求證：CN+CM＝AC．【答案】（1）30（2）解：AB＝AC；證明：如圖1中，∵△ABC與△AMN是等邊三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAC﹣∠MAC＝∠MAN﹣∠MAC，即∠BAM＝∠CAN，在△BAM與△CAN中，AB=AC∠BAM=∠CAN∴△BAM≌△CAN（SAS），∴BM＝CN，∴AC＝BC＝CN+MC．【解析】【解答】解：（1）當(dāng)∠BAM＝30°時(shí)，∴∠AMB＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴AB＝2BM；故答案為：30；

【分析】（1）根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；

（2）利用等邊三角形的判定即可解答；利用等邊三角形的性質(zhì)和可證△BAM≌△CAN（SAS），可得BM＝CN，即AC＝BC＝CN+MC．【變式62】三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，它的三個(gè)角都是60°．△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D在BC所在直線上運(yùn)動(dòng)，連接AD，在AD所在直線的右側(cè)作∠DAE=60°，交△ABC的外角∠ACF的角平分線所在直線于點(diǎn)E．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，請(qǐng)你猜想AD與AE的大小關(guān)系，并給出證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，依據(jù)題意補(bǔ)全圖形，請(qǐng)問(wèn)上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）結(jié)論：AD=AE．理由：如圖，在AB上取一點(diǎn)M，使BM=BD，連接MD．∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=60°，BA=BC．∴△BMD是等邊三角形，∠BMD=60°．∠AMD=120°．∵CE是外角∠ACF的平分線，∴∠ECA=60°，∠DCE=120°．∴∠AMD=∠DCE．∵∠ADE=∠B=60°，∠ADC=∠2+∠ADE=∠1+∠B∴∠1=∠2．又∵BABM=BCBD，即MA=CD．在△AMD和△DCE中，∠1＝∠2MA＝CD∴△AMD≌△DCE（ASA）．∴AD=DE．（2）正確．證明：延長(zhǎng)BA到M，使AM=CD，與（1）相同，可證△BDM是等邊三角形，∵∠CDE=∠ADB+∠ADE=∠ADB+60°，∠MAD=∠B+∠ADB=∠ADB+60°，∴∠CDE=∠MAD，同理可證，△AMD≌△DCE，∴AD=DE．【解析】【分析】（1）在AB上取一點(diǎn)M，使BM=BD，連接MD．則△BDM是等邊三角形，則易證AM=DC，根據(jù)ASA即可證得△AMD≌△DCE（ASA），根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得；（2）延長(zhǎng)BA到M，使AM=CD，與（1）相同，可證△BDM是等邊三角形，然后證明△AMD≌△DCE（ASA），根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，即可證得．題型7：等邊三角形探究性問(wèn)題（提升）7.問(wèn)題情境：如圖1，點(diǎn)D是△ABC外的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊的延長(zhǎng)線上，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE．試探究∠D與∠A的數(shù)量關(guān)系．（1）特例探究：如圖2，若△ABC是等邊三角形，其余條件不變，則∠D＝；如圖3，若△ABC是等腰三角形，頂角∠A＝100°，其余條件不變，則∠D＝；這兩個(gè)圖中，∠D與∠A度數(shù)的比是；（2）猜想證明：如圖1，△ABC為一般三角形，在（1）中獲得的∠D與∠A的關(guān)系是否還成立？若成立，利用圖1證明你的結(jié)論；若不成立，說(shuō)明理由．【答案】（1）30°；50°；1：2（2）解：成立.∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠DCE，∵∠ACE是△ABC的外角，∴∠ACE=∠ABC＋∠A，即2∠DCE=2∠DBC+∠A，∵∠DCE是△BCD的外角，∴∠DCE＝∠DBC＋∠D，∵2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），∴∠D＝12【解析】【解答】解：(1)、30；50；1：2；【分析】（1）①根據(jù)角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC=30°，∠ACD=∠DCE=60°，根據(jù)三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D，從而得出∠D=30°；②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ABC=40°，根據(jù)角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC=20°，根據(jù)三角形的外角定理得出∠ACE=∠A＋∠ABC＝140°，∠ACD=∠DCE=70°，根據(jù)三角形的外角定理得出∠DCE=∠DBC+∠D，從而得出∠D=50°；

（2）根據(jù)角平分線的定義得出∠ABD=∠DBC，∠ACD=∠DCE，根據(jù)三角形的外角定理得出∠ACE=∠ABC＋∠A，即2∠DCE=2∠DBC+∠A，∠DCE＝∠DBC＋∠D，從而得出2∠DBC+∠A＝2（∠DBC＋∠D），即∠D：∠A＝1：2。【變式71】“魅力數(shù)學(xué)”社團(tuán)活動(dòng)時(shí)，張老師出示了如下問(wèn)題：如圖①，已知四邊形ABCD中，AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∠B與∠D互補(bǔ)，試探究線段AB，AD，AC之間的數(shù)量關(guān)系；小敏反復(fù)探索，不得其解，張老師提示道：“數(shù)學(xué)中常通過(guò)把一個(gè)問(wèn)題特殊化來(lái)找到解題思路”，于是，小敏想，若將四邊形ABCD特殊化，看如何解決問(wèn)題：

（1）特殊情況入手添加條件：“∠B=∠D”，如圖②易知在Rt△CDA中，∠DCA=30°，所以，寫出邊AD與AC之間的數(shù)量關(guān)系，同理可得AB與AC的數(shù)量關(guān)系，由此得AB，AD，AC之間的數(shù)量關(guān)系；（2）解決原來(lái)問(wèn)題受到（1）的啟發(fā)，在原問(wèn)題上，添加輔助線，過(guò)點(diǎn)C分別作AB，AD的垂線，垂足分別為E、F，如圖③，請(qǐng)寫出探究過(guò)程；（3）解后反思“一題多解”是數(shù)學(xué)解題的魅力之一，小敏在張老師的引導(dǎo)下，受探究結(jié)論的啟發(fā)，結(jié)合圖中的60°角，通過(guò)構(gòu)造等邊三角形，利用三角形全等同樣解決了該問(wèn)題，請(qǐng)?jiān)趫D①中作出輔助線，并簡(jiǎn)述你的探究過(guò)程．【答案】（1）解：∵∠B+∠D=180°，且∠B=∠D，∴∠B=∠D=90°，又∵AC平分∠DAB，∠DAB=120°，∴∠DAC=∠BAC=60°，∴∠ACD=∠ACB=30°，則AD=12AC，AB=1∴AD+AB=12AC+1（2）解：∵AC為∠DAB的平分線，CF⊥AD，CE⊥AB，∴CF=CE．∵∠B與∠ADC互補(bǔ)，∠ADC與∠CDF互補(bǔ)，∴∠CDF=∠B．又∵∠F=∠CEB=90°，∴△CDF≌△CBE（AAS），∴DF=BE．∴AB+AD=AE+BE+AD=AE+DF+AD=AE+AF=AC，即AB+AD=AC（3）解：如圖，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)E，使得AE=AC．∵∠CAB=12∴△ACE為等邊三角形．∴AC=EC，∠DAC=∠E=60°．又∵∠ABC與∠D互補(bǔ)，∴∠D=∠CBE．∴△ADC≌△EBC（AAS），∴AD=EB．∴AC=AE=AB+EB=AB+AD【解析】【分析】（1）由∠B+∠D=180°，且∠B=∠D，可得∠B=∠D=90°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠DAC=∠BAC=60°，進(jìn)而可得∠ACD=∠ACB=30°，由30°的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得AD=12AC，AB=12AC，進(jìn)而可得AD+AB=12先根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形可判斷△ACE為等邊三角形．由等邊三角形的性質(zhì)可得AC=EC，∠DAC=∠E=60°．由等角的補(bǔ)角相等可得∠D=∠CBE．根據(jù)角角邊判定△ADC≌△EBC，由全等三角形的性質(zhì)可得AD=EB．根據(jù)等量代換可得AC=AE=AB+EB=AB+AD。一、單選題1．下列說(shuō)法正確的是（）A．所有的等邊三角形都是全等三角形B．三角形的三條高一定在三角形內(nèi)部交于一點(diǎn)C．已知兩邊及其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形全等D．三角形的任意一條中線一定將這個(gè)三角形的面積等分【答案】D【解析】【解答】解：AAA不能判定兩個(gè)三角形全等，所以所有的等邊三角形不都是全等三角形，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；三角形的三條高的交點(diǎn)不一定在三角形的內(nèi)部，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；三角形的任意一條中線將三角形的面積分成兩個(gè)相等的部分，故D選項(xiàng)正確.故答案為：D.【分析】根據(jù)AAA和SSA不能判斷兩個(gè)三角形全等；三角形的三條高的交點(diǎn)可能在三角形內(nèi)、可能在三角形上或三角形外；三角形的中線將這個(gè)三角形的面積分成兩個(gè)相等的部分等知識(shí)點(diǎn)即可求解.2．下列命題正確的是（）A．等腰三角形的角平分線、中線、高線互相重合B．在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上C．有一個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形D．有兩邊及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等【答案】B【解析】【解答】解：A、等腰三角形底邊上的高、中線、頂角的角平分線互相重合，原說(shuō)法錯(cuò)誤；B、在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，原說(shuō)法正確；C、有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，原說(shuō)法錯(cuò)誤；D、有兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等，原說(shuō)法錯(cuò)誤.故答案為：B.【分析】由等腰三角形的三線合一的條件可知A選項(xiàng)不正確，由三角形角平分線的性質(zhì)可知B選項(xiàng)正確，由等邊三角形的判定可知C選項(xiàng)錯(cuò)誤，根據(jù)全等三角形的判定判斷D選項(xiàng)錯(cuò)誤.3．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．不等邊三角形 D．不能確定【答案】B【解析】【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，△ABC是等邊三角形.故答案為：B.【分析】根據(jù)等邊對(duì)等角得出∠B=∠C，又∠A=∠C，故∠A=∠B=∠C，根據(jù)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形即可得出結(jié)論：△ABC是等邊三角形.4．如圖，△ABC是等邊三角形，BC⊥CD，且AC=CD，則∠BAD的度數(shù)為（）

A．50° B．45° C．40° D．35°【答案】B【解析】【解答】∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=∠ACB=60°，

∵BC⊥CD，

∴∠BCD=90°，

∴∠ACD=60°+90°=150°，

∵AC=CD，

∴∠DAC=180°?150°2=15°，

∴∠BAD=60°15°=45°．

【分析】先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAC=∠ACB=60°，再由BC⊥CD可知∠BCD=90°，進(jìn)而可得出∠ACD的度數(shù)，根據(jù)AC=CD即可得出∠DAC的度數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，熟知等邊三角形的各內(nèi)角是60°是解答此題的關(guān)鍵．5．如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長(zhǎng)為（）A．13 B．12 C．2【答案】B【解析】【解答】解：過(guò)P作PM∥BC，交AC于M；∵△ABC是等邊三角形，且PM∥BC，∴△APM是等邊三角形；又∵PE⊥AM，∴AE=EM=12∵PM∥CQ，∴∠PMD=∠QCD，∠MPD=∠Q；又∵PA=PM=CQ，在△PMD和△QCD中∠PDM=∠CDQ∴△PMD≌△QCD（AAS）；∴CD=DM=12∴DE=DM+ME=12（AM+MC）=12AC=【分析】過(guò)P作BC的平行線，交AC于M；則△APM也是等邊三角形，在等邊三角形APM中，PE是AM上的高，根據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)知AE=EM；易證得△PMD≌△QCD，則DM=CD；此時(shí)發(fā)現(xiàn)DE的長(zhǎng)正好是AC的一半，由此得解．6．如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，下面四個(gè)結(jié)論:①△ABQ≌△CAP；；②∠CMQ的度數(shù)不變，始終等于60°③BP＝CM；正確的有幾個(gè)()A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】【解答】解：①∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，根據(jù)題意得：AP=BQ，在△ABQ和△CAP中，∵AB=AC，∠B=∠CAP，BQ=AP，∴△ABQ≌△CAP（SAS），①正確；②∵△ABQ≌△CAP，∴∠BAQ=∠ACP，∴∠AMP=∠ACP+∠CAQ=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，∴∠QMC=60°，②正確；③∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，∴∠CQM≠60°，∴CQ≠CM，∵BP=CQ，∴CM≠BP，③錯(cuò)誤.故答案為：C.【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，根據(jù)題意得出AP=BQ，從而可以利用SAS判斷出△ABQ≌△CAP，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠BAQ=∠ACP，從而根據(jù)三角形外角定理及等量代換得出∠AMP=∠ACP+∠CAQ=∠BAQ+∠CAQ=∠BAC=60°，再根據(jù)對(duì)頂角相等得出∠QMC=60°，根據(jù)題意可知∠QMC=60°≠∠CQM，故CQ≠CM，又BP=CQ，故CM≠BP，綜上所述即可得出答案。二、填空題7．如圖矩形ABCD中，AD=2，F(xiàn)是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是CF上一點(diǎn)，∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F=20°，則AB=．【答案】6【解析】【解答】解：由三角形的外角性質(zhì)得，∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°，∵∠ACG=∠AGC，∴∠CAG=180°∠ACG∠AGC=180°2×40°=100°，∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°，∴∠BAC=∠CAF∠BAF=30°，在Rt△ABC中，AC=2BC=2AD=22，由勾股定理，AB=AB

【分析】由三角形外角的性質(zhì)知∠AGC=∠ACG=∠GAF+∠F，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°得到∠CAF=120°，繼而∠CAB=∠CAF∠BAF，在Rt△ABC中根據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一般得到AC，然后用勾股定理得到AB.8．如圖，已知O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，D是線段BO延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且OD=OA，∠AOB=120°，那么∠BDC=．【答案】60°【解析】【解答】解：∵ΔABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．∵∠AOB=120°，∠AOD+∠AOB=180°，∴∠AOD=60°．又∵OD=OA，∴ΔAOD為等邊三角形，∴AO=AD，∠OAD=60°，∠ADO=60°．∵∠BAO+∠OAC=∠OAC+∠CAD=60°，∴∠BAO=∠CAD．在ΔBAO和ΔCAD中，AB=AC∠BAO=∠CAD∴ΔBAO?ΔCAD(SAS)，∴∠ADC=∠AOB=120°，∴∠BDC=∠ADC?∠ADO=60°．故答案為：60．

【分析】先利用“SAS”證明ΔBAO?ΔCAD，得到∠ADC=∠AOB=120°，再利用鄰補(bǔ)角求出∠AOD=60°，得到ΔAOD為等邊三角形，即可得到∠AOD=60°，再用∠ADC?∠ADO即可。9．如圖，將邊長(zhǎng)為4個(gè)單位的等邊ΔABC沿邊BC向右平移3個(gè)單位得到ΔA′B′C【答案】1【解析】【解答】解：∵等邊ΔABC的邊長(zhǎng)為4，∴AB=BC=AC=4由平移可得：AA∴故答案為：1.【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=BC=AC=4，根據(jù)平移的性質(zhì)可得A′B′=B′C′=A′C′=4，AA′=BB′=CC′=3，然后根據(jù)B′C=BCBB′進(jìn)行計(jì)算.三、解答題10．如圖是屋架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁AB的中點(diǎn)，立柱BC，DE垂直于橫梁AC，AB=7.4cm，∠A=30°，立柱BC、DE要多長(zhǎng)？【答案】解：∵DE⊥AB，BC⊥AC，∠A=30°，BC=12AB，DE=1∴BC=12又AD=12∴DE=12XAD=1答：立柱BC的長(zhǎng)是3.7m,DE的長(zhǎng)是1.85m【解析】【分析】根據(jù)“在直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊時(shí)斜邊的一半”，可得BC=12AB，DE=111．如圖，在等邊ΔABC中，D,E分別是BC,AC上的點(diǎn)，且AE=CD,AD與BE相交于點(diǎn)F,CF⊥BE，求AF:BF的值.

【答案】解：∵ΔABC是等邊三角形，AE=CD，則有ΔDAC?ΔEBA，∠DAC=∠EBA，∠EBA+∠BAF=60°.∵CF⊥BE，∠BFD=∠FBA+∠BAF，∴∠CFD=30°.在BF上取BM=AF，連接AM，

可證ΔBMA?ΔAFC，可得∠AMF=∠CFD=30°，又∠MAF=∠BAC?∠BAM?∠FAC=∠BAC?(∠ACF+∠FAC)=∠BAC?∠DFC，還可得∠MAF=30°，∴MF=AF=BM，∴AF:BF=1:2.【解析】【分析】由△ABE≌△CAD得∠ABE=∠CAD，則∠BAD=∠CBE，∠BFK=∠BAF+∠ABF=∠CBE+∠ABF=∠ABC=60°，由CF⊥BE可得∠FBK=30°，所以FK=1212．已知:在ΔABC中,AB=AC,D為AC的中點(diǎn),DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分別為點(diǎn)E,F