第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年寶雞一中高新校區九年級（上）第一次月考數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列方程中：①(x+1)(x?1)?x2=0；②x2+1=0；③A.1個 B.2個 C.3個 D.4個2.根據表格對應值：x1.11.21.31.4a?0.590.842.293.76判斷關于x的方程ax2+bx+c=3的一個解xA.1.1<x<1.2 B.1.2<x<1.3 C.1.3<x<1.4 D.無法判定3.順次連接四邊形ABCD四邊的中點所得的四邊形為矩形，則四邊形ABCD一定滿足(

)A.AC=BDB.AC⊥BDC.AC=BD，AC⊥BDD.AB⊥BC4.一元二次方程x2?6x+5=0配方后可化為(

)A.(x+3)2=14 B.(x?3)2=?45.關于x的一元二次方程ax2?x+1=0有實數根，則a的取值范圍是A.a≤14且a≠0 B.a≤14 C.a≥16.參加足球聯賽的每兩隊之間都進行兩場比賽，共要比賽90場，設共有x個隊參加比賽，則下列方程符合題意的是(

)A.12x(x+1)=90 B.x(x+1)=90 C.127.電影《長津湖》上映以來，全國票房連創佳績．據不完全統計，某市第一天票房約2億元，以后每天票房按相同的增長率增長，三天后累計票房收入達18億元，將增長率記作x，則方程可以列為(

)A.2+2x+2x2=18 B.2(1+x)2=188.如圖，一根長5米的梯子AB斜靠在與地面OC垂直的墻上，點P為AB的中點，當梯子的一端A沿墻面AO向下移動，另一端B沿OC向右移動時，OP的長(

)A.逐漸增大B.逐漸減小

C.不變D.先增大，后減小9.如圖，將矩形ABCD對折，使AB與CD邊重合，得到折痕MN，再將點A沿過點D的直線折疊到MN上，對應點為A′，折痕為DE，AB=10，BC=6，則A′N的長度為(

)A.10?33 B.4 C.10?210.如圖，矩形ABCD中，CD=5，BC=12，點P為對角線BD上一動點，PE⊥BC于點E，PF⊥CD于點F，則線段EF長的最小值為(

)A.5

B.6013

C.132

D.二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.方程2x2?3x+4=012.如圖，某單位準備在院內一塊長30m、寬20m的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的部分種植花草.如圖，要使種植花草的面積為532m2，設小道進出口的寬度為x?m，則可列方程為______．13.閱讀材料：如果a，b分別是一元二次方程x2+x?1=0的兩個實數根，則有a2+a?1=0，b2+b?1=0；創新應用：如果m，n是兩個不相等的實數，且滿足m2?m=314.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足分別為E、F.求PE+PF=______．15.如圖，在△ABC中，AB=AC，E是邊AB上一點，連接CE，在BC的右側作BF//AC，且BF=AE，連接CF.若AC=13，BC=10，則四邊形EBFC的面積為

．

三、解答題：本題共11小題，共88分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題8分)

解下列方程：

(1)x2?2x?3=0

(2)217.(本小題8分)

已知關于x的方程x2+5x+3m=0的一個根為?2，求m的值及另一根．18.(本小題8分)

如圖，已知BD是矩形ABCD的對角線，E在線段BC上，F在線段AD上，求作菱形BEDF．19.(本小題8分)

已知關于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不等實數根x1，x2．

(1)求k的取值范圍；

20.(本小題8分)

暑假期間，某商場購進一批價格為40元的文化衫，根據市場預測，每件文化衫售價為60元時，每周可售出150件，售價每上漲10元，銷售量將減少5件，為了維護消費者的利益，物件部門規定，該文化衫的售價不能超過進價的2倍．該商場為了確保這批文化衫每周的銷售利潤為5600元，每件文化衫應定價多少元？21.(本小題8分)

如圖，把一塊長為40cm，寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同小正方形，然后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好，即可做成一個無蓋紙盒．若該無蓋紙盒的底面積為600cm2，求剪去小正方形的邊長．22.(本小題8分)

如圖，在矩形ABCD中，AD=6，對角線AC與BD相交于點O，AE⊥BD，垂足為E，ED=3BE，則AE的長為______．23.(本小題8分)

如圖，利用一面墻(墻長25米)，用總長度52米的柵欄(圖中實線部分)圍成一個矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個1米的小門，設柵欄BC長為x米．

(1)AB=______米(用含x的代數式表示)；

(2)若矩形圍欄ABCD面積為240平方米，求柵欄BC的長．24.(本小題8分)

如圖所示，在△ABC中，AC=BC，D為AB的中點，四邊形ACED為平行四邊形，DE，BC相交于F，連接DC，BE．

(1)試確定四邊形BDCE的形狀，并說明理由．

(2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形BDCE為正方形？請給予證明．25.(本小題8分)

如圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠ABC=60°，點M、N分別是邊BC、CD上的兩個動點，∠MAN=60°，連接MN．

(1)△AMN是等邊三角形嗎？如是，請證明；如不是，請說明理由．

(2)在M、N運動的過程中，四邊形CMAN的面積是否發生變化？若不變化，求出面積的值；若變化，說明理由．26.(本小題8分)

[問題再現]如圖(1)，正方形ABCD的對角線相交于點O，正方形A′B′C′O與正方形ABCD的邊長相等.在正方形A′B′C′O繞點O旋轉的過程中，兩個正方形重疊部分的面積(即四邊形OEBF的面積)始終等于正方形ABCD面積的14．

【初步探究】小明在證明上述問題時，發現題目中正方形A′B′C′O，這一條件主要用到的信息是∠A′OC′=90°，圖中一些線段之間也有特殊的關系.深入思考后他為大家編了如下題目：如圖(2)，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，O是邊AC的中點.以O為頂點作∠A′OC′=90°，OA′交線段AB于點E，OC′交線段BC于點F.請完成以下問題：

問題(1)：四邊形OEBF的面積是△ABC面積的______．

問題(2)：猜想線段BE、BF、AB之間的等量關系，并說明理由．

【延伸探究】愛動腦的小軍在小明問題的基礎上進行了延伸，讓∠A′OC′繞點O旋轉，OA′交直線AB于點E，OC′交直線BC于點F，連接EF.若AB=4，BE=1，請直接寫出△OEF的面積．

參考答案1.B

2.C

3.B

4.D

5.A

6.D

7.D

8.C

9.A

10.B

11.?3

12.x213.2020

14.12515.60

16.解：(1)原方程可化為(x?3)(x+1)=0，

x?3=0或x+1=0，

∴x1=3，x2=?1；

(2)2x2+3x?3=0，

∵a=2，b=3，c=?3，

∴Δ=b2?4ac=32?4×2×(?3)=33>0，

∴x=?3±332×2，

∴x1=?3+33417.解：設另一根為t，

由根與系數的關系可得，?2+t=?5?2t=3m，

解得t=?3m=2．

故方程的另一根為?3，m的值為218.解：分別以B、D為圓心，大于12BD的長為半徑畫弧，兩弧交于G、H兩點，連接GH，交AD于點E，交BC于點F，交BD于點O，連接BE，DF，如圖：

由作圖可知，GH垂直平分BD，

∴BO=DO，BE=DE，BF=DF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD//BC，

∴∠ODF=∠OBE，

在△ODE和△OBF中，

∠ODE=∠OBFDO=BO∠DOE=∠BOF，

∴△ODE≌△OBF(ASA)，

∴DE=BF，

∴BE=DE=DF=BF，

∴四邊形BEDF是菱形，

則菱形19.解：(1)∵關于x的一元二次方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有兩個不等實數根x1，x2，

∴Δ=(2k+1)2?4(k2+1)=4k?3>0，

∴k>34；

(2)根據根與系數的關系，可得x1+x2=?2k?1，x1x2=20.解：設每件文化衫的定價為x元，則每周的銷售量為(150?5×x?6010)件，

依題意，得：(x?40)(150?5×x?6010)=5600，

解得：x1=80，x2=320．

∵售價不能超過進價的2倍，

21.解：設剪去小正方形的邊長是xcm，則紙盒底面的長為(40?2x)cm，寬為(30?2x)cm，

根據題意得：(30?2x)(40?2x)=600．

整理得：(x?5)(x?30)=0．

解得：x1=30(舍去)，x2=5，

22.解：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OB=OD，OA=OC，AC=BD，

∴OA=OB，

∵BE：ED=1：3，

∴BE：OB=1：2，

∵AE⊥BD，

∴AB=OA，

∴OA=AB=OB，

即△OAB是等邊三角形，

∴∠ABD=60°，

∴∠ADE=90°?∠ABD=30°，

∵AE⊥BD，AD=6，

∴AE=12AD=3，

23.(1)(54?3x)．

(2)依題意得：x(54?3x)=240，

整理得：x2?18x+80=0，

解得：x1=8，x2=10．

當x=8時，54?3x=54?3×8=30>25，不合題意，舍去；

當x=10時，54?3x=54?3×10=24<25，符合題意．

答：柵欄BC的長為10米．

(1)根據柵欄的總長度及留的小門的寬度，即可用含x的代數式表示出AB的長；

24.解：(1)四邊形BDCE是矩形

理由如下，

∵AC=BC，D為AB的中點，

∴AD=BD，CD⊥AB，

∴∠BDC=90°，

∵四邊形ADEC為平行四邊形，

.∴AD//CE，AD=CE，

BD//CE，BD=CE，

∴四邊形BDCE是平行四邊形，

又∵∠BDC=90°，

∴?BDCE是矩形；

(2)當∠ACB=90°時，四邊形BDCE為正方形，

證明：∵四邊形ADEC為平行四邊形，

∴DE//AC，

∴∠BFD=∠ACB，

∵∠ACB=90°，

∴∠BFD=90°，25.解：(1)△AMN是等邊三角形，

證明：如圖，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D=60°，AB=BC=CD=AD，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴AB=AC，∠B=∠BAC=∠ACD=∠MAN=60°，

∴∠BAM=∠CAN，

在△BAM和△CAN中，

∠B=∠ACN=60°AB=AC∠BAM=∠CAN，

∴△BAM≌△CAN(ASA)，

∴AM=AN，

∵∠MAN=60°，

∴△AMN是等邊三角形；

(2)四邊形CMAN的面積不發生變化，理由如下：

∵△BAM≌△CAN，

∴S△BAM=S△CAN，

∴四邊形AMCN的面積=S26.【初步探究】(1)12；

(2)BE+BF=AB，

理由如下：連接OB，

∵∠ABC=90°，BA=BC，O是邊AC的中點，

∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，

∴∠BOF+∠COF=90°，

∵∠EOF=90°，

∴∠BOF+∠BOE=90°，

∴∠BOE=∠COF，

在△BOE和△COF中，

∠BOE=∠COFOB=OC∠BOE=∠OCF，

∴△BOE≌△COF(ASA)，

∴BE=CF，

∴BE+BF=CF+BF=BC=AB．

【延伸探究】①如圖，連接OB，過O作OH⊥AB于點H，

∴∠AHO=∠OHE=90°，

由(1)知在等腰直角△AOB中，OH