高中數學精選資源3/3《離散型隨機變量及其分布列》教學設計一、內容和內容解析1.內容隨機變量，離散型隨機變量及其分布列.2.內容解析研究隨機現象的規律性，首先需要建立試驗的樣本空間，用樣本空間的子集表示隨機事件.進而根據樣本空間的特征建立概率模型，計算事件的概率.接著建立一系列概率運算法則（公式），求復雜事件的概率，在此基礎上，引入隨機變量，使我們可以量化地描述各種隨機現象；利用數學工具和方法，系統、全面地研究隨機現象的規律；建立概率模型，解決實際問題；研究隨機變量的數字特征，為決策提供依據.離散型隨機變量的取值可以一一列出，包括取值是有限的或可列無限的兩種情形，因此包括能夠取無窮多個不同值的離散型隨機變量.對一個離散型隨機變量，我們不僅關心它的可能取值，更重要的是要知道取每個值的概率.分布列是描述離散型隨機變量取值概率規律的工具.離散型隨機變量的概率分布規律完全由它的分布列所決定，分布列的性質有助于我們深入了解隨機變量.兩點分布、二項分布等典型的分布列，為我們理解分布列并運用分布列了解隨機現象提供了范例.隨機變量和普通變量有著很大的不同.通過具體實例，有助于更好地理解用隨機變量刻畫隨機現象，感悟隨機變量與隨機事件的關系，深入體會隨機思想在解決實際問題中的作用.基于以上的分析，確定本節課的教學重點：隨機變量的概念與離散型隨機變量的分布列.二、目標和目標解析1.目標通過具體實例，了解離散型隨機變量的概念，理解離散型隨機變量的分布列.2.目標解析達成以上目標的標志是：學生能通過建立樣本點與實數之間的關系，知道隨機試驗樣本空間中的每一個樣本點都有唯一的實數與之對應.會根據概率的性質獲得離散型隨機變量分布列的性質，會求簡單的離散型隨機變量的分布列.在此過程中提升數學抽象、邏輯推理、數學運算等素養.三、教學問題診斷分析隨機變量概念的形成過程是具體問題數學化的過程，對學生的抽象思維能力有較高的要求由于學生對于隨機問題的學習經驗不足，可能對隨機變量的概念存在理解上的困難；由于離散型隨機變量的分布列描述的是隨機變量的概率分布，用于研究隨機事件的概率，學生也可能存在應用上的困難因此需要在關聯的情境中，通過具體實例幫助學生抽象出一般的數學概念和性質將隨機現象抽象為數學問題，用概率的語言表征隨機現象，提升數學抽象等素養.本節課的教學難點是隨機變量和離散型隨機變量分布列含義的理解.四、教學過程設計1.情境創設引導語1：我們知道，在求隨機事件的概率時，往往需要為隨機試驗建立樣本空間，樣本空間的確定是研究概率的基礎.引例：請為以下隨機試驗建立樣本空間：（1）擲一枚骰子，觀察出現的點數.（2）擲兩枚骰子，觀察兩個點數之和.（3）擲一枚硬幣，觀察出現正、反面的情況.（4）從裝有5個紅球、3個白球的袋中依次摸出兩球，觀察球的顏色.師生活動：讓學生獨立完成以上隨機試驗的樣本空間的建立.通過師生互動平臺，呈現學生的學習結果.預計學生建立的樣本空間會有多種表現形式，如果學生中有將（3）（4）兩個隨機試驗的樣本空間以數量形式表示，則可以讓學生講述想法，以利于引入課題.設計意圖：引例中的4個問題都來自學生的生活經驗，前兩個問題學生一般會建立數集表示的樣本空間，而后兩個問題，學生一般會根據具體問題用文字符號表示樣本空間.通過情境創設引入課題.2.形成概念引導語2：從前面的問題我們可以知道，如果我們在隨機試驗的樣本空間與實數集之間建立某種對應，不僅可能為一些隨機事件的表示帶來方便，還可能更好地利用數學工具研究隨機試驗.問題1：如果有些隨機試驗的樣本點與數值沒有關系，我們如何將這個試驗的樣本點與實數建立聯系？例如，隨機抽一件產品，有“抽到次品”和“抽到正品”兩種可能的結果，那么如何建立樣本點和實數之間的對應？師生活動：通過追問引發學生思考，提示學生聯想函數表示中的分段函數的表示方法.如果“抽到次品”用1表示，“抽到正品”用0表示，即定義那么這個試驗的樣本點與實數就建立了對應關系.教師進一步指出：仿照這種辦法，我們可以把一些隨機試驗的樣本點與實數建立對應關系并總結：對于任何一個隨機試驗，總可以把它的每一個樣本點與一個實數對應，即通過引入一個取值依賴于樣本點的變量X，來刻畫樣本點和實數的對應關系，實現樣本點的數量化.因為在隨機試驗中樣本點的出現具有隨機性，所以變量X的取值也具有隨機性.最后，讓學生建立引例（3）（4）中樣本空間與實數的對應關系.設計意圖：通過具體實例，了解一個隨機現象可以通過一個變量來刻畫，隨機試驗結果不論是否與數量直接有關，都可以數量化.問題2：考察下列隨機試驗及其引入的變量：試驗1：從100個電子元件（至少含3個以上次品）中隨機抽取三個進行檢驗，變量X表示三個元件中的次品數.試驗2：拋擲一枚硬幣直到出現正面為止，變量Y表示需要的拋擲次數.這兩個隨機試驗的樣本空間各是什么?各個樣本點與變量的值是如何對應的?變量有哪些共同的特征?師生活動:對于試驗1,如果用0表示“元件為合格品”,1表示“元件為次品”,用0和1構成的長度為3的字符串表示樣本點,要求學生寫出樣本空間,以及各樣本點與變量的值的對應關系.樣本空間,各樣本點與變量的值的對應關系如表1所示.表1對于試驗2,如果用表示“正面向上”,表示“反面向上”,要求學生寫出樣本空間,以及各樣本點與變量的值的對應關系.樣本空間,這個樣本包含無窮多個樣本點,各樣本點與變量的值的對應關系如表2所示.表2追問（1）：觀察兩個隨機試驗,請你歸納試驗1和試驗2的樣本空間中樣本點與對應變量有什么共同點?師生活動:師生共同歸納,在上面兩個隨機試驗中,每個樣本點都有唯一的一個實數與之對應.變量有如下共同點:（1）取值依賴于樣本點.（2）所有可能取值是明確的.追問（2）：根據對問題2的分析和歸納,你能類比函數中的對應關系,將樣本空間中的樣本點與實數的對應關系用一般化的數學語言表示嗎?師生活動:類比函數的定義,先由學生歸納、抽象、表達,利用師生交互平臺進行交流、討論,然后教師規范地表達隨機變量的概念:一般地,對于隨機試驗樣本空問中的每個樣本點,都有唯一的實數與之對應,我們稱為隨機變量.給出隨機變量的概念后,教師進一步指出:試驗1中隨機變量的可能取值為,共有4個值;試驗2中隨機變量的可能取值為有無限個取值,但可以一一列出.進而給出離散型隨機變量的概念:像這樣,可能取值為有限個或可以一一列出的隨機變量,我們稱為離散型隨機變量.通常用大寫英文字母表示隨機變量,例如;用小寫英文字母表示隨機變量的取值,例如.教師進一步指出：隨機變量的定義與函數的定義類似,這里樣本點相當于函數定義中的自變量,而樣本空間相當于函數的定義域,不同之處在于不一定是數集.隨機變量的取值隨著試驗結果的變化而變化.使得我們可以利用數學工具研究隨機事件.隨機變量的概念是俄國數學家切比雪夫(Chebyshev,)在19世紀中葉建立和提倡使用的.追問(3)：你能舉出一些離散型隨機變量和不是離散型的隨機變量的例子嗎?師生活動：先由學生自由發言,通過師生互動平臺進行交流,教師進行補充和點評.如果學生因為學習經驗的不足,無法舉出準確的例子,教師可以直接舉例.例如,某射擊運動員射擊一次可能命中的環數,它的可能取值為;在一個裝有8個紅球,4個白球的袋子中,隨機摸出4個球,這4個球中白球的個數,它的可能取值為.這些都是離散型隨機變量的例子.而像種子含水量的測量誤差;某品牌電視機的使用壽命;某一個零件長度的測量誤差等.這些都是可能取值充滿了某個區間、不能一一列出的隨機變量,稱為連續型隨機變量.設計意圖：通過從特殊到一般地歸納形成隨機變量和離散型隨機變量的概念，用類比函數定義的方法給出隨機變量的定義.通過舉例的方式，加深學生對隨機變量概念的內涵和外延的認識,這是數學概念學習的重要方法,通過上述過程中提升學生的數學抽象素養.3.隨機變量的分布列問題3:根據問題引入合適的隨機變量,有利于我們簡潔地表示所關心的隨機事件,以及隨機試驗中的概率問題.你能嘗試著舉一個具體例子嗎?師生活動:可以舉以下實例.擲一枚質地均勻的骰子,表示擲出的點數,則事件“擲出點”可以表示為,事件“列出的點數不大于2點”可以表示為,等等.由擲出各種點數的等可能性,可得.這一規律也可以用表3表示.表3教師進一步指出,可以仿照隨機變量的定義,將上面的問題一般化.一般地,設隨機變量的可能取值為,我們稱取每一個值的概率為的概率分布列,簡稱分布列.離散變量的分布列也可以用表格表示,如表4所示.表4設計意圖：通過實例抽象概括出隨機變量的概念.問題4：你能根據概率的性質,研究離散型隨機變量分布列的性質嗎?寫出你的研究結果并與同學交流.師生活動:學生通過概率性質的學習,已具有探究離散型隨機變量分布列的性質的能力.在學生交流研究結果之后,教師總結出離散型隨機變量的分布列具有下述兩個性質:（1）（2）.并進一步指出:利用分布列和概率的性質,可以計算由離散型隨機變量表示的事件的概率.例如:P（擲出的點數不大于2,P（擲出偶數）.設計意圖：對于離散型隨機變量的分布列的概念學生容易理解，以教師講授的方式為主可以提高教學效率.而對于離散型隨機變量分布列的性質，由學生自主探究，有利于學生加深對性質的理解,為利用分布列的性質計算概率作準備.4.例題分析例1一批產品中次品率為,隨機抽取1件,定義求的分布列.師生活動：先由學生自主完成本例題的解答,隨后教師板書解答過程:根據的定義,“抽到次品”,“抽到正品”,的分布列為0.05.在此基礎上一般化:對于只有兩個可能結果的隨機試驗,用表示“成功”,表示“失敗”,定義如果，則，那么X的分布列如表5所示.表5我們稱服從兩點分布或分布.實際上,為在一次試驗中成功(事件)發生的次數或1).像購買的彩券是否中獎,新生嬰兒的性別,投籃是否命中等,都可以用兩點分布來描述.設計意圖：通過具體實例，學習兩點分布.兩點分布的概念由教師在例題評析時直接引入.在今后學習二項分布、超幾何分布等典型的離散型隨機變量的分布列時也宜采用這樣的學習方式.例2某學校高二年級有200名學生,他們的體育綜合測試成績分5個等級,每個等級對應的分數和人數如表6所示.表6從這200名學生中任意選取1人,求所選同學分數的分布列,以及.師生活動：教師先組織學生討論事件表示的意義,引導學生分析隨機試驗是否符合古典概型的條件,然后要求學生自主解決.通過師生交互平臺交流學生解題的結果.在分析學生解題的過程中,引導學生總結解題的一般步驟:（1）確定離散型隨機變量的取值集合：是一個離散型隨機變量,其可能取值為,4,5,且“不及格”,“及格”,“中等”,“優".（2）根據古典概型的知識,求隨機變量取每個值時的概率,如表7所示.表7（3）利用分布列求概率:.設計意圖：通過具體實例,學習求離散型隨機變量分布列的方法,學習如何根據離散型隨機變量的分布列求一些隨機事件的概率.例3一批筆記本電腦共有10臺,其中品牌3臺,品牌7臺.如果從中隨機挑選2臺,求這2臺筆記本電腦中品牌臺數的分布列.師生活動:由于有解決例1、例2的經驗,學生具備了自主解決本例題的能力,可能存在的問題是概率的計算.本例題宜采用學生自主完成,學生互評、教師點評的方式完成.師生共同給出具有一般性的解題步驟:（1）確定離散型隨機變量的取值集合：設挑選的2臺電腦中品牌的臺數為,則的可能取值為.（2）根據古典概型的知識,求隨機變量取每個值時的概率,即的分布列,.用表格表示的分布列,如表8所示.表8最后,教師總結求離散型隨機變量分布列的一般步驟：（1）根據問題設立一個隨機變量,并寫出隨機變量的所有可能取值.（2）利用古典概型,求隨機變量的每一個可能取值所對應的概率.(3)用解析式或表格表示的分布列.設計意圖：通過具體實例,歸納出求離散型隨機變量分步列的一般步驟.5.總結提升教師引導學生回顧本節課的學習過程，并讓學生回答以下幾個問題（1）通過類比函數定義引入隨機變量的概念，對你有什么啟示？（2）為什么要研究離散型隨機變量的分布列？離散型隨機變量的分布列有什么作用？（3）根據本節課所舉的例題，請你歸納求離散型隨機變量分布列的一般步驟.分布列的性質在