高中數學精選資源3/3《拋物線的標準方程》教學設計二教學設計一、創設情境，激發興趣視頻講述有關阿基米德的故事，引出拋物線.傳說公元前215年，古羅馬帝國派強大的海軍，乘戰艦攻打古希臘名城敘拉古.小小的敘拉古難敵來勢洶洶的古羅馬大軍，人們就把希望寄托在居住在這里的阿基米德身上.當時年過古稀的阿基米德，雖然沒有絕世的武功，卻有聰明的頭腦.他挺身而出，發動全城的婦女拿著自己的銅鏡來到海岸邊，在阿基米德的指揮下，大家站成一條完美的曲線，讓手中的銅鏡反射的太陽光恰好集中照射到敵艦的船帆上.頓時，敵艦起火，不可一世的古羅馬海軍大敗而歸.究竟是怎樣的曲線才能有如此強大的威力呢？設計意圖：通過視頻故事激發學生學習興趣，引出本節課的主要研究對象，同時設置伏筆，為拋物線的應用做好鋪墊，培養學生的直觀想象能力.二、探究新知1.師生探究，抽象定義.結合信息技術，動態作圖.作圖步驟：點F是定點；l是不經過點F的定直線；H是l上任意一點；過點H作直線l的垂線n;作線段FH的垂直平分線m交n于點M;拖動點H，觀察點M的軌跡.問題1：過點H的直線n與直線l垂直，說明了什么？教學預設：點M到直線l的距離恰好為線段MH的長.問題2：點M在線段FH的垂直平分線上，有什么特點？教學預設：線段MF的長等于線段MH的長，進而點M到定點F的距離與到定直線l的距離相等.設計意圖：通過這些問題的設計，讓學生體會隨著點H的移動，點M到定點F的距離與到定直線l的距離始終相等，進而引導學生抽象出拋物線的定義，提升學生的數學抽象核心素養.問題3：為什么要強調定直線l不經過定點F呢？（動態演示當直線l經過點F時點M的軌跡形狀）定義：一般地，設F是平面內的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線.設計意圖：通過問題的方式，引起學生的注意，強化對“定直線不過定點”這個限制條件的認識，完善拋物線的定義.2.利用定義，繪制曲線.問題4：通過拋物線的定義，能不能在下圖所給的圖形中描出一條拋物線呢?設計意圖：圓上的點到圓心的距離都相等，平行線上的點到定直線的距離都相等，所以可以借助此圖形找到些到定點和到定直線距離都相等的點，進而描出一條拋物線，通過這個練習，讓學生進一步熟悉拋物線的定義，掌握定義的本質.3.建坐標系，求其方程問題5：對于確定的拋物線，如何選擇坐標系能使所求的方程更簡單呢？引導學生試著建立坐標系，同學之間互相借鑒對照，最后形成三個比較常見的方案（如圖所示）.設計意圖：引導學生自主提出問題，并從數學的角度分析問題，避免直接將結論強加給學生，注重知識的發生和發展過程，充分暴露結論的形成過程，引導學生學會處理類似數學問題的思路和方法，提升學生的數學運算核心素養.在學生充分嘗試的基礎上，教師和學生一起研究其中一個方案在板演的過程中，注重運算技巧的指導，同時強調引入p的意義是焦點與準線的距離，并以此說明為何p是大于零的.在得出其中一種方案后，啟發學生有沒有更簡單的方法得到其他幾種情況的方程，引導學生從曲線的平移這個角度得到曲線方程，進而簡化運算過程.對比分析三種方案，最終選擇形式較簡單的方案二的結果作為拋物線的標準方程，同時寫出其焦點坐標和準線方程.接著給出一個鞏固性練習：若拋物線的標準方程是，你能說出它的焦點坐標和準線方程嗎？設計意圖：以此練習加強學生對拋物線標準方程的認識，初步熟悉方程中一次項的系數與焦點坐標和準線方程的關系.思考：如果建立的平面直角坐標系分別如下圖的（1）（2）（3）所示，其他條件不變，則拋物線的焦點坐標和準線方程有變化嗎？此時能否通過得到拋物線的標準方程具有的形式呢？學生小組合作完成得出這三種情況下的拋物線的標準方程.設計意圖：以此思考問題加強學生對拋物線標準方程的認識，使學生初步熟悉在各種情況下建立平面直角坐標系后的拋物線的標準方程.4.類比分析，對比記憶.總結常見的四種拋物線類型，分別寫出其對應的標準方程、焦點坐標、準線方程.通過表格的形式，類比得出其他結論.在總結的過程中，從對稱變換的角度簡化運算，幫助學生記憶相關內容在推導開口向上的拋物線標準方程的過程中，學生可能會遇到困難，可以借助關于直線對稱的兩點的坐標關系來得出相應結論.設計意圖：類比拋物線的四種常見形態，從變換的角度分析問題并得出結論,避免重復運算,同時對比記憶,有助于形成良好的知識網絡.三、新知運用,鞏固提高例1分別根據下列條件,求拋物線的標準方程和準線方程:（1）拋物線的焦點到準線的距離是3,而且焦點在軸的正半軸上;（2）拋物線的焦點是.解（1）根據題意可知,拋物線的標準方程具有的形式,而且,因此所求標準方程為.準線方程為.（2）因為拋物線的焦點坐標是,所以拋物線的標準方程具有的形式,而且,因此,從而所求拋物線的標準方程是.準線方程為.設計意圖:鞏固通過拋物線的標準方程求焦點坐標和準線方程的方法,以此來對比記憶標準方程的一般形式、開ロ方向,并進一步明確的幾何意義.例2分別根據下列條件,求拋物線的焦點坐標和標準方程:（1）拋物線的焦點到軸的距離是2,而且焦點在,軸的正半軸上;（2）拋物線的焦點是雙曲線的焦點之一.解（1）由已知可得焦點坐標為,因此拋物線的標準方程具有的形式,且,從而所求拋物線的標準方程是.（2）因為雙曲線中,,又因為雙曲線的焦點在軸上,所以焦點坐標為或,5).如果拋物線的焦點坐標為,則拋物線的標準方程具有的形式,且,此時拋物線的標準方程是；如果拋物線的焦點坐標為,則拋物線的標準方程具有的形式,且,此時拋物線的標準方程是.設計意圖:對于沒有明確拋物線的開ロ方向的類型,要學會從不同的角度進行分類討論,進而增加思維的條理性和嚴密性.例3已知平面直角坐標系中,動點到的距離比到軸的距離大2,求的軌跡方程,并在平面直角坐標系中作出軌跡曲線.解設的坐標是,則根據題意可知，化簡得.當時,方程可變為,這表示的是端點在原點、方向為軸正方向的射線,且不包括端點,如圖所示;當時,方程可變為,這表示的是焦點為的拋物線,如圖所示.設計意圖：通過利用拋物線的定義，結合已有的坐標系得到非“標準”方程，在鞏固知識、熟練方法的同時，增強學生思維靈活性四、質疑反思，強化定義問題6：與初中學習的二次函數圖像相比較，今天學習的拋物線與二次函數圖像形式的拋物線是不是一回事呢？以為例，引導學生分析能否從標準方程和拋物線的定義角度出發得出結論能說明這一情況之后，再分析對于一般的二次函數是否會有相同的結論設計意圖：和已經學過的知識做比較，進一步加強對拋物線定義的理解，同時完成相關知識體系的建構，提升學生的邏輯推理和數學運算核心素養五、回歸應用，解決問題問題7：本節課最開始提到的問題，當光線從一定的方向射向拋物線時會被反射聚焦到焦點上，我們能從本節課所學的知識加以說明嗎？如圖所示，當光線入射到點M時，由物理學的知識可知，光線是按切線的方向進行反射的，只要能說明我們在開始作圖的過程中提到的垂直平分線m是拋物線的切線，即可說明這個問題所以，問題轉化為證明此直線是拋物線的切線而想要證明此直線是拋物線的切線，只需要用本課所學的拋物線標準方程與直線方程聯立，看方程組的解的個數即可.設計意圖：通過本節課所學的知識，解決課始提到的問題，提高學生的數學應用意識，同時培養學生從數學的角度發現和提出問題、分析和解決問題的能力.六、小結提升，布置作業1.小結：2.作業：（1）教材第153頁練習A第1，2，3題.（2）請查閱資料，看看拋物線在生活中還有哪些應用？設計意圖：鞏固本節所學的知識，掌握拋物線的標準方程與焦點坐標、準線方程，同時因材施教，引導學生自己發現生活中的拋物線，讓不同層次的學生均有收獲，增加學生的數學素養.板書設計2.7.1拋物線的標準方程1.拋物線的定義一般地，設F是平面內的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線2.拋物線的標準方程3.例題例1例2例3教學研討本節課的教學設計從故事中涉及的問題開始，到解決故事中的問題結束，整個環節較為完整，內容充實，學生的認知結構相對得到較為充分的補充.不過教學時有的地方還可以進行一些擴充，如可以增添一些有關軌跡的問題串：（1）平面內，到一個定點