專題22.7相似三角形的八大經典模型【滬科版】TOC\o"13"\h\u【題型1A字型】 2【題型2“8”字形】 6【題型3AX字型】 9【題型4子母型】 16【題型5雙垂直型】 23【題型6一線三等角型】 31【題型7手拉手型】 40【題型8三角形內接矩形型】 52【基本模型1A字型】①如圖，在中，點D在上，點E在上，，則，．②模型拓展1：斜交A字型條件：，圖2結論：；③模型拓展2：如圖，∠ACD＝∠B?△ADC∽△ACB?．【題型1A字型】【例1】（2023·安徽滁州·?？家荒＃┤鐖D，已知AB⊥BC、DC⊥BC，AC與BD相交于點O，作OM⊥BC于點M，點E是BD的中點，EF⊥BC于點G，交AC于點F，若AB=4

A．75 B．125 C．35【答案】A【分析】證明△COM∽△CAB，△BOM∽△BDC，OMAB=CMBC，【詳解】解：∵AB⊥BC、DC∴OM∥∴△COM∽△CAB∴OMAB=CM∴OM4=CM∴OM=∵EF∴EG∥∵點E是BD的中點，∴BE∴BG∴CF∴EG=12∴EF=∴OM-故選：A．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，平行線的判定，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定，求出OM=【變式11】（2023春·四川成都·九年級校考開學考試）如圖，在△ABC中，AD=DE=EB，AF=FG

【答案】5【分析】根據題意可得：AGAC=AEAB=23，AF【詳解】解：∵AD=DE∴AGAC=又∵∠∴△∴S∴S∴S故答案為：5【點睛】此題考查了相似三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識，正確求得S△【變式12】（2023·安徽滁州·校考一模）在等邊三角形ABC中，AB=6，D、E是BC上的動點，F是AB上的動點，且BF=BD=EC=2【答案】1【分析】證明△BDF【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，AB∴AB=BC∵BD=BF∴△BDE是等邊三角形，∠∴∠BDF∴DF∴△BDF∴S∵BD=EC∴BD∴S∴S故答案為：19【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，相似三角形的性質與判定，掌握等邊三角形的性質是解題的關鍵．【變式13】（2023春·江蘇蘇州·九年級?？茧A段練習）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=2，AC=4，若正方形DEFC的頂點D在AB上，頂點F、G都在AC上，射線AF交BC邊于點H

【答案】4【分析】證明△ADG∽△ABC，△AEF∽△AHC，由相似三角形的性質得出DGBC=AGAC，EFCH【詳解】解：∵四邊形DGFE為正方形，∠ACB∴DG∥EF∥BC∴△ADG∽△ABC，∴DGBC=AGAC，設DG=EF∴x2=AG4∴AG=2x∴xCH=∴CH=4故答案為43【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質，正方形的性質，勾股定理，證明△ADG∽△ABC【基本模型2“8”字形】①如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?；②如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?．③模型拓展：如圖，∠A＝∠C?△AJB∽△CJD?．【題型2“8”字形】【例2】（2023·安徽·九年級專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是AD上一點，AE=2ED，連接BE交AC于點G，延長BE交CD的延長線于點F，則A．23 B．12 C．13 D【答案】A【分析】先根據平行四邊形的性質得到AB∥CD，則可判斷△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根據相似三角形的性質和AE＝2ED即可得結果．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴BGGF＝∵△ABE∽△DFE，∴AEDE＝AB∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴ABCF＝2∴BGGF＝2故選：A．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質，相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質進行解題．【變式21】（2023春·廣東深圳·九年級?？奸_學考試）如圖，已知BD與CE相交于點A，DE∥BC，若AD=2，AB=3，AC

【答案】4【分析】證明△ABC∽△【詳解】解：∵DE∥∴△ABC∴ABAD即32∴AE=4故答案為：4．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，熟記性質是解題的關鍵．【變式22】（2023春·陜西寶雞·九年級?？计谀┤鐖D，正方形ABCD的邊長為4，點E在邊AD上，AE=3，連接BE交AC于點F，過點F作FG∥BC，交CD于點G

【答案】16【分析】利用正方形性質，找到△CBF【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥∴∠CBF=∠AEF∴△CBF∴CFAF∴CFCA∵FG∥BC，∴FG∥∴FGAD∴FG=【點睛】本題主要考查了正方形的性質，相似三角形的性質與判定等，靈活運用所學知識是解題的關鍵．【變式23】（2023春·安徽·九年級專題練習）如圖，E，F為矩形ABCD內兩點，AE⊥EF，CF垂直EF，垂足分別為E、F，若AE=1，CF=2，EF=4A．103 B．5 C．53 D【答案】B【分析】連接AC，交EF于點M，BD于O，根據相似三角形的判定和性質和勾股定理解答．【詳解】解：連接AC，交EF于點M，BD于O，

∵AE⊥EF，∴∠AEM∵∠AMF∴△AEM∴AECF=∵AE=1，CF=2，∴EM=43在Rt△AEM中，在Rt△CFM中，∴AC=AM∵四邊形ABCD是矩形，∴BD=AC故選：B．【點睛】本題主要考查矩形的性質及相似三角形的判定和性質，構造三角形相似利用相似三角形的對應邊成比例求得AC的長是解題的關鍵，注意勾股定理的應用．【基本模型3AX字型】A字型及X字型兩者相結合，通過線段比進行轉化.【題型3AX字型】【例3】（2023春·山東煙臺·九年級統考期末）如圖，M是平行四邊形ABCD的對角線AC上的一點，射線BM與AD交于點F，與CD的延長線交于點H．

(1)圖中相似三角形有______對；(2)若AD2=【答案】(1)6(2)∠【分析】（1）先根據平行四邊形的性質可得AB∥（2）先根據相似三角形的判定證出△BCM∽△ACB，再根據相似三角形的性質可得∠【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∴△ABM∽△CHM，△ABF∽△∴△ABF又∵AB∴∠ACB∴△ACB綜上，圖中相似三角形有6對，故答案為：6．（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，∵AD∴BC∴BCCA∵∠BCM∴△BCM∴∠BMC又∵AB∥∴∠ABC∴∠BMC又∵∠BMA+∠BMC∴∠BCD【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、相似三角形的判定與性質等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．【變式31】（2023春·河南許昌·九年級統考期末）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，DE∥

【答案】4:25【分析】根據S△BDE:S△CDE=2:3可得BECE=【詳解】解：∵S△∴BE∴BE∵DE∥∴△BDE∴BE∵DE∥∴△ODE∴S即S△故答案為：4:25．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質，兩個相似三角形的面積比關于相似比的平方，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．【變式32】（2023春·重慶巴南·九年級統考期中）如圖，在矩形ABCD中，過C作CE⊥BD于E點，交AB于F點，連接AE.若F是AB中點，且BC=8，則

【答案】8【分析】根據矩形的性質和相似三角形的判定和性質，可以求得AM和EM的長，再根據勾股定理，即可得到AE的長．【詳解】解：過點E作MN⊥AB，交AB于點M，交CD于點

∵CE∴∠CEB∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°，BA=又∵∠EBC∴△CBE∴BC∴B∵F是AB中點，BF∴△BEF∴BE∴ME設BE=x，則DE=2∵BC=8，∴82=3解得x=∴BE∴BM∵EM∴BM∴AM∵∠EMA∴AE故答案為：8．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質、矩形的性質、勾股定理，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答．【變式33】（2023春·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D，在?ABCD中，點E在AB上，AE=13AB，ED和AC相交于點F，過點F作FG

(1)求FG:(2)若AB:①求證：∠AEF②求證：DF【答案】(1)FG(2)①詳見解析；②詳見解析【分析】（1）結合題意，根據平行線的性質，通過證明△AFE∽△CFD，得FD=3EF（2）①AC=2a，根據題意計算得AB、AE；結合（1）的結論，得AF，從而推導得②根據（2）①的結論以及平行線的性質，證明△DFG【詳解】（1）解：∵?ABCD∴AB∥∴∠EAF∵∠AFE∴△AFE∴EFFD∵AE=13∴EFFD=AE∵FG∥∴∠AED∵∠ADE∴△ADE∴FGAE=FD（2）證明：①設AC=2∵AB:∴AB=∴AE=由（1）的結論，得：AECD∴AF=∴AE?即：AEAC∵∠EAF∴△EAF∴∠AEF②∵FG∥∴∠DFG∵△EAF∴∠AEF∵AD∥∴∠ACB∴∠DFG∵∠FDG∴△DFG∴DFDA∴DF【點睛】本題考查了平行四邊形、平行線、相似三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握平行線、相似三角形的性質，從而完成求解．【基本模型4子母型】如圖為斜“A”字型基本圖形．當時，，則有．．如圖所示，當E點與C點重合時，為其常見的一個變形，即子母型．當時，，則有．【題型4子母型】【例4】（2023春·安徽滁州·九年級統考期中）如圖，在△ABC中，D是BC上的點，E是AD上一點，且ABAC=ADCE，∠BAD（1）求證：AC2＝BC?CD；（2）若AD是△ABC的中線，求CEAC【答案】（1）證明見解析；（2）2【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出△BAD∽△ACE△，得∠（2）由△BAD∽△ACE可證∠CDE=∠CED，進而得出CD【詳解】（1）證明：∵ABAC=AD∴ΔBAD∴∠B∵∠ACB∴△ABC∴ACCD∴A（2）解：∵△BAD∴∠BDA∴∠CDE∴CD∵AD是△ABC的中線，∴BC∴AC2∴CEAC【點睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及重心的性質等知識，根據已知得出△BAD【變式41】（2023春·安徽蚌埠·九年級?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，D為BC邊上的一點，且AC=26，CD＝4，BD＝2，求證：△ACD∽△BCA【答案】證明見解析．【分析】根據AC=26，CD＝4，BD＝2，可得ACBC=CDAC，根據【詳解】解：∵AC=26，CD＝4，BD＝∴ACBC=∴AC∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，掌握知識點是解題關鍵．【變式42】（2023春·安徽合肥·九年級校考期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，點E為BD的中點，連接AE并延長交BC于點F，且有AF=CF（1）求證：△ADE（2）求證：AE=（3）若FH=3，求【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．【分析】（1）先根據垂直的定義可得∠ADE=∠CDB（2）先根據相似三角形的性質可得ADCD=DEDB=（3）先根據相似三角形的判定與性質可得DEFH=AEAF，從而可得DE,BD的長，再根據相似三角形的判定可得【詳解】證明：（1）∵BD∴∠ADE∵AF∴∠DAE在△ADE和△CDB中，∴△ADE（2）∵點E為BD的中點，∴DE由（1）已證：△ADE∴AD設AD=a(a>0)∵FH∴AH∴DH又∵BD∴AE即AE=2（3）由（2）已證：AE=2∴AE∵BD∴△ADE∴DEFH=解得DE=∴BD∵∠ABC∴∠BAC∴∠ABD在△ABD和△BCD中，∴△ABD∴AD由（2）可知，設AD=b(∴b解得b=263∴CD則在Rt△BCD中，【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的性質、勾股定理等知識點，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．【變式43】（2023·安徽合肥·統考一模）如圖1，AB=AC=2CD，DC∥AB，將△ACD繞點C逆時針旋轉得到△FCE，使點D落在AC的點E處，AB與CF相交于點O，(1)求證：△ABE(2)求證：AC∥(3)若點D，E，F在同一條直線上，如圖2，求ABBC的值．（【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）根據旋轉變換的性質得到旋轉前后兩個三角形全等，從而得到CE=CD，根據AC=2CD，就能得到（2）根據旋轉和第一小題的結論，可以得到BE=FE，然后用等角對等邊即可得到∠EFB=∠EBF，又可以從前面的兩個全等中得到∠EFC=∠EBA，∠OAC（3）根據D，E，F在同一條直線上，可以證明△AEG和△CED全等，即可得到AG=12AB，那么EG就是中位線，則EG∥CB，加上第二小題結論就能得到四邊形BCEF【詳解】（1）解：∵將△ACD繞點C逆時針旋轉得到△FCE∴△FCE∴CE∵AC∴AC∴AE∵∴∠DCA在△ABE和△∵AE∴△ABE（2）解：由（1）得BE=AD，∵△CEF∴FE=AD∴BE=FE∴∠EFB∵∠OFB=∠EFB∴∠OFB∵∠ECF∴∠OAC∵∠OCA+∠OAC又∠AOC∴∠OCA即2∠CAO∴∠∴（3）解：在△AEG和△∵∠∴△∴AG∵AE∴EG∵AC∴四邊形BCEF是平行四邊形，∴BC∵∠AEG∴∠ADE∵∠CAD∴△ACD∴EA即DA∴DA∵AB∴AB【點睛】本題考查了三角形全等的證明，平行線的判定以及利用相似三角形求線段長之比，解題時需要學會將多個小題的結論聯系起來，把前面小題的結論用到后面小題的思路中，熟練尋找證明三角形全等或相似所需要的條件是解題的關鍵．【基本模型5雙垂直型】①如圖，直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常見的結論有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.②拓展：（1）正方形、長方形中經常會出現射影定理模型，如圖，在和內均有射影定理模型．（2）如圖，在圓中也會出現射影定理模型．【題型5雙垂直型】【例5】（2023春·陜西西安·九年級?？茧A段練習）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點E在邊BC上，CE=2，若點P、Q分別為邊CD與AB上兩個動點，線段PQ始終滿足與AE垂直且垂足為F，則AP【答案】5【分析】過點Q作QH⊥CD于點H．利用相似三角形的性質求出PH=3，設BQ=x，則CH=x，PD=5-x，AP+QE=62+(5-x)2+x2+42【詳解】解：如圖，過點Q作QH⊥CD于點∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD=8，∵CE∴BE∵QH∴∠B∴四邊形BCHQ是矩形，∴BQ=CH，BC∴∠AQH∵AE∴∠QAF+∠AQP∴∠BAE∴△ABE∴ABQH∴86∴PH設BQ=x，則CH=∴AP欲求AP+QE的最小值，相當于在x軸上找一點M(x,0)，使得點M到J作點J關于x軸的對稱點J'，連接K∵K(5,6)，∴K∵MJ∴JM+MK∴AP+QE故答案為：55【點睛】本題考查矩形的性質，軸對稱最短問題，相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造相似三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題．【變式51】（2023春·福建莆田·九年級?？计谀締栴}