1.2一元二次方程的解法（四）【推本溯源】1.用配方法解一元二次方程配方法：公式法：2.那還有其他方法解嗎？我們可以對進行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x1=0，所以解出來x=0或x=1.因此，當一個一元二次方程的一邊為0，另一邊能分解成為兩個一次因式的乘積時，就可以把解這樣的一元二次方程轉化為解兩個一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。3.常見的因式分解法的類型方法常見類型因式分解的形式方程的解提公因式法x2±bx=0x（x±b）=0X1=0，x2=±b平方差法x2a2=0（x+a）（xa）=0X1=a，x2=a完全平方法x2±2ax+a2=0（x±a）2=0X1=x2=±a十字相乘法x2±（a+b）x+ab=0（x±a）（x±b）=0X1=±a，x2=±b4.因式分解法的步驟（1）移項：將方程的右邊化為0；（2）化積：將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積；（3）轉化：令兩個一次因式分別為0，轉化為兩個一元一次方程；（4）求解：分別解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。5.用對應的因式分解法解下列方程（1）（2）（3）（4）【解惑】例1：方程的根是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】變形后利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：移項，得，因式分解，得，則或，解得．故選：D【點睛】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法是解題的關鍵．例2：方程的根是______．【答案】，，【分析】利用因式分解法求方程的解即可．【詳解】解：因式分解得：，∴，，，∴原方程的解為，，．【點睛】本題主要考查因式分解的解高次方程，進行因式分解是解方程的關鍵．例3：如果一個三角形兩邊的長分別等于一元二次方程的兩個實數根，那么這個三角形的第三邊的長可能是20嗎？__________．（填“可能”或“不可能”）【答案】不可能【分析】先求出方程的解，再根據三角形三邊關系定理判斷即可得到答案．【詳解】解：，，或，即三邊為6、11、20，，不符合三角形三邊關系定理，這個三角形的第三邊的長不可能是20，故答案為：不可能．【點睛】本題考查了解一元二次方程，三角形三邊關系定理的應用，能求出一元二次方程的解是解此題的關鍵．例4：若規定符號的意義：．（1）計算：__________．（2）若，則，的值為__________．【答案】58或15【分析】（1）原式利用題中的新定義計算即可得到結果；（2）由題意求得或，根據新定義化簡所求式子后整體代入即可得解．【詳解】解∶（1）根據題中的新定義得∶原式；（2）∵，∴，得，∴或，當時，，當時．故答案為∶（1）5；（1）8或15．【點睛】此題考查了整式的混合運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．例5：用適當的方法解下列各一元二次方程：(1)；(2)（用配方法）；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比較簡便；（2）先把常數項移到等號的另一邊，把二次項系數化為1，配方，利用直接開平方法求解；（3）把看成一個整體，利用因式分解的十字相乘法求解比較簡便；（5）先整理方程，用公式法比較簡便．【詳解】（1）解：，整理，得，．或．，；（2）（用配方法），移項，得，二次項系數化為1，得，配方，得，．．，；（3），，即．或．，；（4），，或，，；（5），方程整理，得，．，．【點睛】本題考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接開平方法、配方法、因式分解法、公式法是解決本題的關鍵．【摩拳擦掌】1．（2023·全國·九年級假期作業）方程的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個三角形是周長是()A． B． C．或 D．或或【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分類討論腰與底，利用三角形邊角關系判斷即可確定出周長．【詳解】解：，，，，，，有兩種情況：①三角形的三邊為，，，此時不符合三角形三邊關系定理，②三角形的三邊為，，，此時符合三角形三邊關系定理，此時三角形的周長為，故選：B．【點睛】此題考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定義，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關鍵．2．（2023·江蘇·九年級假期作業）方程：的較小的根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用因式分解法求出兩個根，再從中找出較小的根即可．【詳解】解：提公因式，得：，整理得：，∴，∵，∴較小的根是，故選：D．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是通過提取公因式將等號左邊的式子進行因式分解．3．（2023春·上海徐匯·八年級上海市園南中學校考階段練習）方程的根是（

）A．0， B．， C．0， D．，0，【答案】D【分析】把方程進行因式分解得到，據此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得或，故選D．【點睛】本題主要考查了利用因式分解法解高次方程，正確對方程進行因式分解是解題的關鍵．4．（2023春·安徽合肥·八年級統考期中）已知某三角形的兩邊長恰是一元二次方程的兩根，則該三角形第三邊長可能是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】先求出方程的解，設第三邊為，根據三角形的三邊關系定理得出，求出，再逐個判斷即可．【詳解】解：，，或，解得：，，即三角形的兩邊為2和4，設第三邊為，5．（2023·江蘇蘇州·統考三模）關于的一元二次方程有一個大于的非正數根，那么實數的取值范圍是_________________．【答案】/【分析】先計算，再利用因式分解法解方程得，，再根據題意得到，然后解不等式組即可．【詳解】解：根據題意，，解方程得，，∵該方程有一個大于的非正數根，，∴，解得，故答案為：．【點睛】本題考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式組，理解一元二次方程的解，正確得到關于a的不等式組是解答的關鍵．6．（2023秋·廣東茂名·九年級統考期末）已知一元二次方程，則它的兩個根是，______．【答案】4【分析】根據因式分解法直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵，∴或，解得：，，故答案為：4；【點睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握因式分解法．7．（2023·全國·九年級假期作業）方程的解為________．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：分解因式得：，∴或，解得：，，故答案為：，．【點睛】本題主要考查的知識點是解一元二次方程，解題的關鍵是熟練的掌握因式分解法解一元二次方程．8．（2023·全國·九年級假期作業）某天，張老師帶領同學們利用棋子構圖研究數字規律．將一些棋子按如圖所示的規律擺放，若第個圖中共有個棋子，則的值是__________．【答案】【分析】根據給定的圖找出其中的規律，列一元二次方程，求解即可．【詳解】解：第1個圖有7個棋子，第2個圖有11個棋子，第3個圖有17個棋子，第個圖有個棋子，第個圖有個棋子，第個圖有個棋子，依題意，，解得：（舍去），故答案為：．【點睛】本題考查了圖形類規律，解一元二次方程，找到規律，列出方程是解題的關鍵．9．（2023春·湖南懷化·八年級校考期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用直接開平方法求解即可．【詳解】（1）解：，，∴或，∴，；（2）解∶，，∴，∴，．【點睛】此題考查利用因式分解法和直接開平方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法．10．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級校考期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移項得到，然后利用因式分解法解方程．【詳解】（1）∴或∴解得，；（2）∴或∴解得，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．11．（2023·全國·九年級假期作業）用適當方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)(6)，【分析】利用直接開平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【詳解】（1）解：直接開平方可得：，或∴原方程的解為：，；（2）解：因式分解得：，∴原方程的解為：，；（3）解：，平方差因式分解得：，整理得：，∴原方程的解為：，；（4），提取公因式可得：，整理得：，∴原方程的解為：，；（5）解：∵方程，，∴原方程的解為：；（6），，因式分解得：，∴原方程的解為：，【點睛】本題主要考查利用恰當的方法求解一元二次方程，解題時注意對方法的合理選擇．【知不足】1．（2023·四川涼山·統考中考真題）分式的值為0，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】A【分析】根據分式值為0的條件進行求解即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選A．【點睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關鍵．2．（2023·全國·九年級假期作業）若關于的一元二次方程的一個根是，則另一個根是(

)A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】將代入方程得：，解得：，再把代入原方程求解．【詳解】解：將代入方程得：，解得：，∴原方程為：，則，解得：或，∴另一個根為1．故選：A．【點睛】本題考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，屬于基礎題．3．（2023·遼寧沈陽·沈陽市第一二六中學校考三模）方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，可得：或，解得：，．故選：D．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵．4．（2023·全國·九年級假期作業）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】原方程可轉化為，再化為兩個一次方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴或，解得．故答案為：．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，熟練的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本題的關鍵．5．（2023·全國·九年級假期作業）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】先移項，再提取公因式分解因式，把原方程化為兩個一次方程，再解一次方程即可．【詳解】∵，∴．∴．∴或，解得．故答案為：．【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，熟練的利用因式分解的方法解方程是解本題的關鍵．6．（2023·江蘇·九年級假期作業）若代數式的值與的值相等，則x的值為___________．【答案】，【分析】先列方程，再把方程化為一般式，然后利用公式法解方程．【詳解】解：根據題意得，整理得，，，，．故答案為：，．【點睛】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7．（2023春·上海浦東新·八年級上海市進才中學校考階段練習）在直角梯形中，（），，，是上一點，且，，，那么直角梯形的面積是______．

【答案】27【分析】過作，交延長線于，延長至，使，連接，證得四邊形為正方形，證明，得到，，，從而證明，則有，進一步推出，即可求得的長，設，在中，由勾股定理，可得方程，解方程即可求得的長，繼而求得直角梯形的面積．【詳解】解：過作，交延長線于，延長至，使，連接．

在直角梯形中，，，又，，四邊形為正方形．，，∴，∴，，，，∴，即，即，∴，又，，∴，∴，∴，∴，，即，設，則，，在中，，即，解得：或（舍去），，．故答案為：27．【點睛】此題考查了正方形的性質與判定、全等三角形的判定與性質、直角梯形的性質以及勾股定理等知識，注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵．8．（2023·山西陽泉·統考一模）閱讀與思考：閱讀下列材料并完成相應的任務．鄰根方程如果關于的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根比另一個根大，那么稱這樣的方程是“鄰根方程”，例如：一元二次方程的兩個根是，，則方程是“鄰根方程”．任務：(1)判斷：方程______“鄰根方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知關于的一元二次方程是常數是“鄰根方程”，求的值．【答案】(1)是(2)或【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根據“鄰根方程”的定義進行判斷；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根據“鄰根方程”的定義得到或，然后解關于的方程即可．【詳解】（1）解方程得，，比大，方程是“鄰根方程”；（2），，或，，，方程是常數是“鄰根方程”，或，或．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．9．（2023·江蘇·九年級假期作業）用適當的方法解下列方程：(1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）先移項，再配方，開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；（3）移項后求出的值，再代入公式求出方程的解即可；（4）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．【詳解】（1）解：，，配方，得，，開方，得，，；（2），，，，或，解得，；（3），，∵，∴方程有兩個不相等的實數根，解得，；（4），，或，解得，．【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，能選擇適當的方法解一元二次方程是解此題的關鍵，注意，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．10．（2023·江蘇·九年級假期作業）我們已探索過二元一次方程組、分式方程及一元二次方程方程的解法，在學習過程中感受到轉化數學思想及檢驗反思的數學方法．(1)你能否用這些數學思想方法來探索方程的解？(2)在求解的過程中，你有何疑惑，請嘗試解決這些疑惑？【答案】(1)是原方程的解(2)見解析【分析】（1）根據兩邊分別平方，把無理方程轉化為有理方程，結果一定要檢驗；（2）根據解題過程解答．【詳解】（1）解：移項，得，方程兩邊平方，得，即，解方程，得或，經檢驗：是原方程的解；（2）疑惑是：如何把無理方程化為有理方程，通過兩邊平方解決．【點睛】本題主要考查了無理方程以及解一元二次方程，利用轉化思想分析問題是解題的關鍵．【一覽眾山小】1.（2023·云南楚雄·統考二模）已知，則代數式（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由可得，則有，即，然后問題可求解．【詳解】解：∵，∴，解得：，∵，∴，∴；故選B．【點睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關鍵．2．（2023·全國·九年級假期作業）在正數范圍內定義運算“”，其規則為，則方程的解是（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】根據規則可得：，再解此方程，即可求解．【詳解】解：根據題意得：，得，得，故或，解得（舍去），，所以，原方程的解為，故選：D．【點睛】本題考查了新定義，一元二次方程的解法，理解題意，得到方程并求解是解決本題的關鍵．3．（2022秋·廣東茂名·八年級校聯考期末）如圖，直線交x軸于點A，交y軸于點，點在直線上，已知M是x軸上的動點，當以A，P，M為頂點的三角形是直角三角形時，點M的坐標為（

）

A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據題意求出A、P坐標，然后根據等腰直角三角形的性質進行分類討論求解即可．【詳解】解：由題意，將代入直線，得：，∴直線，令，得：，則A點坐標為，將代入，得：，∴P點坐標為，∵，，∴，設，①若，則為等腰直角三角形，，∵，，∴，解得：，∴M點的坐標為；

②若，則為等腰直角三角形，，此時，點和點關于點所在直線對稱，∴，解得：，∴M點的坐標為；

③∵M是x軸上的動點，∴或，不存在的情況，綜上，滿足條件的點M的坐標為或，故選：C．【點睛】本題考查一次函數的解析式，以及直角三角形的存在性問題，準確求解一次函數的解析式，以及熟練運用等腰三角形的性質求解是解題關鍵．4．（2023·湖南懷化·統考中考真題）如圖，反比例函數的圖象與過點的直線相交于、兩點．已知點的坐標為，點為軸上任意一點．如果，那么點的坐標為（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】反比例函數的圖象過點，可得，進而求得直線的解析式為，得出點的坐標，設，根據，解方程即可求解．【詳解】解：∵反比例函數的圖象過點∴∴設直線的解析式為，∴，解得：,∴直線的解析式為，聯立，解得：或，∴，設，∵，解得：或，∴的坐標為或，故選：D．【點睛】本題考查了一次函數與反比例數交點問題，待定系數法求解析式，求得點的坐標是解題的關鍵．5．（2023·湖南·統考中考真題）如圖，矩形的頂點和正方形的頂點都在反比例函數的圖像上，點的坐標為，則點的坐為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據經過確定解析式為，設正方形的邊長為x，則點，代入解析式計算即可．【詳解】∵經過，∴解析式為，設正方形的邊長為x，則點，∴，解得（舍去），故點，故選D．【點睛】本題考查了反比例函數的解析式，正方形的性質，解方程，熟練掌握反比例函數的性質是解題的關鍵．6．（2023春·江蘇·八年級期末）當______時，函數是反比例函數．【答案】1【分析】根據反比例函數定義列出代數式求解即可得到答案．【詳解】解：∵是反比例函數，∴，解得，故答案為：1．【點睛】本題考查反比例函數定義、解方程及不等式，熟練掌握反比例函數定義，掌握因式分解解方程及不等式是解決問題的關鍵．7．（2023·河北石家莊·統考二模）如圖，A，B是雙曲線上的兩點，過點A作軸，交于點D，垂足為C，連接，過點B作軸，垂足為E．若的面積為1，D為的中點．

（1）四邊形的面積為___________；（2）k的值為___________；（3）若A，B兩點的橫坐標恰好是方程的兩個不同實根，則點E到直線的距離為___________．【答案】1//【分析】（1）根據反比例函數k的幾何意義得到與面積相等，進而得到四邊形面積與面積相等，即可得到結果；（2）證明，根據D為中點，得到面積之比為，求出面積，得到面積，即可確定出k的值；（3）先根據因式分解法解一元二次方程，確定點A的坐標，根據勾股定理可得的長，最后根據三角形面積公式可得結論．【詳解】解：（1）∵A、B是雙曲線y=上的兩點，軸，軸，∴，即，∵，∴，故答案為：1；（2）∵軸，軸，∴，∴，∵D為中點，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：；（3）∵，∴，∴，∴點A的橫坐標為1，點B的橫坐標為2，當時，，∴，∴，連接AE，設點E到的距離為h，

∴=AO?h，∴，即點E到直線OA的距離是．故答案為：．【點睛】此題考查了反比例函數系數k的幾何意義，反比例函數圖象上點的坐標特點，相似三角形的判定和性質，解一元二次方程，勾股定理等知識，熟練掌握反比例函數系數k的幾何意義是解本題的關鍵．8．（2023·上海·八年級假期作業）已知正比例函數，那么它的圖像經過____________象限．【答案】一、三【分析】根據正比例函數的定義及解一元二次方程確定，再由正比例函數的性質求解即可．【詳解】解：∵，∴或，又∵，∴．∴圖像過一、三象限．故答案為：一、三【點睛】本題主要考查正比例函數的概念及圖像的性質，解一元二次方程，熟練掌握正比例函數的性質是解題關鍵．9．（2023·江蘇揚州·統考中考真題）如圖，已知正方形的邊長為1，點E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點B恰好落在邊上的點處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長為________．

【答案】【分析】連接，過點作于點，設，則，則，根據已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，

∵正方形的邊長為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，∴，設，則，則∴即∴∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案為：．【點睛】本題考查了正方形的性質，折疊的性質，勾股定理，全等三角形的性質與判定，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．10．（2023·安徽六安·統考二模）如圖是用棋子擺成的圖案：

根據圖中棋子的排列規律解決下列問題：(1)第4個圖中有__________顆棋子，第5個圖中有__________顆棋子；(2)寫出你猜想的第n個圖中棋子的顆數（用含n的式子表示）是__________，(3)請求出第多少個圖形中棋子的個數是274個．【答案】(1)22，32(2)(3)第16個【分析】（1）觀察圖形發現圖形的規律，然后例用規律寫出第4和第5個圖中的棋子數即可；（2）根據發現的規律用含n的式子表示出來即可．（3）由題意得：，然后解方程求解即可．【詳解】（1）（1）觀察發現第1個圖形有顆棋子；第2個圖形有顆棋子；第3個圖形有顆棋子；∴第4個圖形有顆棋子；第5個圖形有顆棋子；故答案為：22，32；（2）由（1）得：第n個圖形中棋子的顆數為，（3）由題意得：解方程得：（舍去），答：第16個圖形中棋子的個數是274個．【點睛】本題考查了圖形的變化類問題，解一元二次方程，解題的關鍵是根據各個圖形中棋子的顆數發現規律，難度不大．11．（2023·河南駐馬店·統考三模）設是一個兩位數，其中a是十位上的數字（），例如：當時，表示的兩位數是45．(1)嘗試：①當時，；②當時，；③當時，；④當時，______．(2)歸納：與有怎樣的大小關系？試說明理由．(3)運用：若與的和為6325，求a的值．【答案】(1)；(2)相等，理由見解析；(3)7．【分析】（1）仔細觀察①②③，用含有相同規律的代數式表示即可解答；（2）由再計算即可解答；（3）由與的和為6325，列方程后整理可得，再解一元二次方程并結合a的意義即可解答．【詳解】（1）解：由①當時，；②當時，；③當時，；④當時，．故答案為．（2）解：相等，理由如下：．（3）解：與的和為6325，，整理得：，解得：或7，，．【點睛】本題主要考查的是數字的規律探究、完全平方公式的應用、單項式乘以多項式、利用平方根的含義解方程等知識點，理解題意、列出運算式或方程是解本題的關鍵．12．（2023·江蘇·九年級假期作業）按要求解方程：(1)直接開平方法：；(2)配方法：；(3)公式法：；(4)因式分解法：；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)先把方程兩邊開