1.2一元二次方程的解法（四）【推本溯源】1.用配方法解一元二次方程配方法：公式法：2.那還有其他方法解嗎？我們可以對(duì)進(jìn)行因式分解，，所以只需要即可，所以要么x=0，要么x1=0，所以解出來(lái)x=0或x=1.因此，當(dāng)一個(gè)一元二次方程的一邊為0，另一邊能分解成為兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，就可以把解這樣的一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。3.常見(jiàn)的因式分解法的類型方法常見(jiàn)類型因式分解的形式方程的解提公因式法x2±bx=0x（x±b）=0X1=0，x2=±b平方差法x2a2=0（x+a）（xa）=0X1=a，x2=a完全平方法x2±2ax+a2=0（x±a）2=0X1=x2=±a十字相乘法x2±（a+b）x+ab=0（x±a）（x±b）=0X1=±a，x2=±b4.因式分解法的步驟（1）移項(xiàng)：將方程的右邊化為0；（2）化積：將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；（3）轉(zhuǎn)化：令兩個(gè)一次因式分別為0，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程；（4）求解：分別解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就是原方程的解。5.用對(duì)應(yīng)的因式分解法解下列方程（1）（2）（3）（4）【解惑】例1：方程的根是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】變形后利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：移項(xiàng)，得，因式分解，得，則或，解得．故選：D【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的解法，熟練掌握因式分解法是解題的關(guān)鍵．例2：方程的根是______．【答案】，，【分析】利用因式分解法求方程的解即可．【詳解】解：因式分解得：，∴，，，∴原方程的解為，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的解高次方程，進(jìn)行因式分解是解方程的關(guān)鍵．例3：如果一個(gè)三角形兩邊的長(zhǎng)分別等于一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)可能是20嗎？__________．（填“可能”或“不可能”）【答案】不可能【分析】先求出方程的解，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理判斷即可得到答案．【詳解】解：，，或，即三邊為6、11、20，，不符合三角形三邊關(guān)系定理，這個(gè)三角形的第三邊的長(zhǎng)不可能是20，故答案為：不可能．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，能求出一元二次方程的解是解此題的關(guān)鍵．例4：若規(guī)定符號(hào)的意義：．（1）計(jì)算：__________．（2）若，則，的值為_(kāi)_________．【答案】58或15【分析】（1）原式利用題中的新定義計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）由題意求得或，根據(jù)新定義化簡(jiǎn)所求式子后整體代入即可得解．【詳解】解∶（1）根據(jù)題中的新定義得∶原式；（2）∵，∴，得，∴或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)．故答案為∶（1）5；（1）8或15．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．例5：用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝懈饕辉畏匠蹋?1)；(2)（用配方法）；(3)；(4)；(5)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)，【分析】（1）（4）用因式分解的十字相乘法求解比較簡(jiǎn)便；（2）先把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的另一邊，把二次項(xiàng)系數(shù)化為1，配方，利用直接開(kāi)平方法求解；（3）把看成一個(gè)整體，利用因式分解的十字相乘法求解比較簡(jiǎn)便；（5）先整理方程，用公式法比較簡(jiǎn)便．【詳解】（1）解：，整理，得，．或．，；（2）（用配方法），移項(xiàng)，得，二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得，配方，得，．．，；（3），，即．或．，；（4），，或，，；（5），方程整理，得，．，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，掌握一元二次方程的直接開(kāi)平方法、配方法、因式分解法、公式法是解決本題的關(guān)鍵．【摩拳擦掌】1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）方程的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形是周長(zhǎng)是()A． B． C．或 D．或或【答案】B【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分類討論腰與底，利用三角形邊角關(guān)系判斷即可確定出周長(zhǎng)．【詳解】解：，，，，，，有兩種情況：①三角形的三邊為，，，此時(shí)不符合三角形三邊關(guān)系定理，②三角形的三邊為，，，此時(shí)符合三角形三邊關(guān)系定理，此時(shí)三角形的周長(zhǎng)為，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解法解一元二次方程，等腰三角形的定義，熟練掌握分解因式的方法是解本題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）方程：的較小的根是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用因式分解法求出兩個(gè)根，再?gòu)闹姓页鲚^小的根即可．【詳解】解：提公因式，得：，整理得：，∴，∵，∴較小的根是，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是通過(guò)提取公因式將等號(hào)左邊的式子進(jìn)行因式分解．3．（2023春·上海徐匯·八年級(jí)上海市園南中學(xué)校考階段練習(xí)）方程的根是（

）A．0， B．， C．0， D．，0，【答案】D【分析】把方程進(jìn)行因式分解得到，據(jù)此求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，解得或，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用因式分解法解高次方程，正確對(duì)方程進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知某三角形的兩邊長(zhǎng)恰是一元二次方程的兩根，則該三角形第三邊長(zhǎng)可能是（）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【分析】先求出方程的解，設(shè)第三邊為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出，求出，再逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：，，或，解得：，，即三角形的兩邊為2和4，設(shè)第三邊為，5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考三模）關(guān)于的一元二次方程有一個(gè)大于的非正數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_________________．【答案】/【分析】先計(jì)算，再利用因式分解法解方程得，，再根據(jù)題意得到，然后解不等式組即可．【詳解】解：根據(jù)題意，，解方程得，，∵該方程有一個(gè)大于的非正數(shù)根，，∴，解得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解、解一元二次方程、解一元一次不等式組，理解一元二次方程的解，正確得到關(guān)于a的不等式組是解答的關(guān)鍵．6．（2023秋·廣東茂名·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知一元二次方程，則它的兩個(gè)根是，______．【答案】4【分析】根據(jù)因式分解法直接求解即可得到答案；【詳解】解：∵，∴或，解得：，，故答案為：4；【點(diǎn)睛】本題考查因式分解法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解法．7．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）方程的解為_(kāi)_______．【答案】，【分析】利用因式分解法求解即可．【詳解】解：分解因式得：，∴或，解得：，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握因式分解法解一元二次方程．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）某天，張老師帶領(lǐng)同學(xué)們利用棋子構(gòu)圖研究數(shù)字規(guī)律．將一些棋子按如圖所示的規(guī)律擺放，若第個(gè)圖中共有個(gè)棋子，則的值是__________．【答案】【分析】根據(jù)給定的圖找出其中的規(guī)律，列一元二次方程，求解即可．【詳解】解：第1個(gè)圖有7個(gè)棋子，第2個(gè)圖有11個(gè)棋子，第3個(gè)圖有17個(gè)棋子，第個(gè)圖有個(gè)棋子，第個(gè)圖有個(gè)棋子，第個(gè)圖有個(gè)棋子，依題意，，解得：（舍去），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律，列出方程是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·湖南懷化·八年級(jí)校考期中）解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)．【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）利用直接開(kāi)平方法求解即可．【詳解】（1）解：，，∴或，∴，；（2）解∶，，∴，∴，．【點(diǎn)睛】此題考查利用因式分解法和直接開(kāi)平方法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次方程的方法．10．（2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)校考期中）解下列方程：(1)(2)【答案】(1)，(2)，【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）先移項(xiàng)得到，然后利用因式分解法解方程．【詳解】（1）∴或∴解得，；（2）∴或∴解得，．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．11．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）用適當(dāng)方法解下列方程：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，(5)(6)，【分析】利用直接開(kāi)平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解．【詳解】（1）解：直接開(kāi)平方可得：，或∴原方程的解為：，；（2）解：因式分解得：，∴原方程的解為：，；（3）解：，平方差因式分解得：，整理得：，∴原方程的解為：，；（4），提取公因式可得：，整理得：，∴原方程的解為：，；（5）解：∵方程，，∴原方程的解為：；（6），，因式分解得：，∴原方程的解為：，【點(diǎn)睛】本題主要考查利用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼庖辉畏匠蹋忸}時(shí)注意對(duì)方法的合理選擇．【知不足】1．（2023·四川涼山·統(tǒng)考中考真題）分式的值為0，則的值是（

）A．0 B． C．1 D．0或1【答案】A【分析】根據(jù)分式值為0的條件進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵分式的值為0，∴，解得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式值為0的條件，熟知分式值為0的條件是分子為0，分母不為0是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是，則另一個(gè)根是(

)A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】將代入方程得：，解得：，再把代入原方程求解．【詳解】解：將代入方程得：，解得：，∴原方程為：，則，解得：或，∴另一個(gè)根為1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，因式分解法解一元二次方程，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023·遼寧沈陽(yáng)·沈陽(yáng)市第一二六中學(xué)校考三模）方程的解是（

）A． B． C．， D．，【答案】D【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】解：，可得：或，解得：，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．4．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】原方程可轉(zhuǎn)化為，再化為兩個(gè)一次方程即可．【詳解】解：∵，∴，∴或，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，熟練的掌握因式分解的方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵．5．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）一元二次方程的解是________．【答案】【分析】先移項(xiàng)，再提取公因式分解因式，把原方程化為兩個(gè)一次方程，再解一次方程即可．【詳解】∵，∴．∴．∴或，解得．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解法，熟練的利用因式分解的方法解方程是解本題的關(guān)鍵．6．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）若代數(shù)式的值與的值相等，則x的值為_(kāi)__________．【答案】，【分析】先列方程，再把方程化為一般式，然后利用公式法解方程．【詳解】解：根據(jù)題意得，整理得，，，，．故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．7．（2023春·上海浦東新·八年級(jí)上海市進(jìn)才中學(xué)校考階段練習(xí)）在直角梯形中，（），，，是上一點(diǎn)，且，，，那么直角梯形的面積是______．

【答案】27【分析】過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)至，使，連接，證得四邊形為正方形，證明，得到，，，從而證明，則有，進(jìn)一步推出，即可求得的長(zhǎng)，設(shè)，在中，由勾股定理，可得方程，解方程即可求得的長(zhǎng)，繼而求得直角梯形的面積．【詳解】解：過(guò)作，交延長(zhǎng)線于，延長(zhǎng)至，使，連接．

在直角梯形中，，，又，，四邊形為正方形．，，∴，∴，，，，∴，即，即，∴，又，，∴，∴，∴，∴，，即，設(shè)，則，，在中，，即，解得：或（舍去），，．故答案為：27．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)與判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．8．（2023·山西陽(yáng)泉·統(tǒng)考一模）閱讀與思考：閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù)．鄰根方程如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根比另一個(gè)根大，那么稱這樣的方程是“鄰根方程”，例如：一元二次方程的兩個(gè)根是，，則方程是“鄰根方程”．任務(wù)：(1)判斷：方程______“鄰根方程”（填“是”或“不是”）；(2)已知關(guān)于的一元二次方程是常數(shù)是“鄰根方程”，求的值．【答案】(1)是(2)或【分析】（1）先利用因式分解法解一元二次方程，然后根據(jù)“鄰根方程”的定義進(jìn)行判斷；（2）先利用因式分解法解一元二次方程得到，，再根據(jù)“鄰根方程”的定義得到或，然后解關(guān)于的方程即可．【詳解】（1）解方程得，，比大，方程是“鄰根方程”；（2），，或，，，方程是常數(shù)是“鄰根方程”，或，或．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)．(2)．(3)．(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）先移項(xiàng)，再配方，開(kāi)方，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；（2）移項(xiàng)后分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可；（3）移項(xiàng)后求出的值，再代入公式求出方程的解即可；（4）先把方程的左邊分解因式，即可得出兩個(gè)一元一次方程，再求出方程的解即可．【詳解】（1）解：，，配方，得，，開(kāi)方，得，，；（2），，，，或，解得，；（3），，∵，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，解得，；（4），，或，解得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，注意，解一元二次方程常用的方法有：直接開(kāi)平方法，公式法，配方法，因式分解法等．10．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）我們已探索過(guò)二元一次方程組、分式方程及一元二次方程方程的解法，在學(xué)習(xí)過(guò)程中感受到轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想及檢驗(yàn)反思的數(shù)學(xué)方法．(1)你能否用這些數(shù)學(xué)思想方法來(lái)探索方程的解？(2)在求解的過(guò)程中，你有何疑惑，請(qǐng)嘗試解決這些疑惑？【答案】(1)是原方程的解(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)兩邊分別平方，把無(wú)理方程轉(zhuǎn)化為有理方程，結(jié)果一定要檢驗(yàn)；（2）根據(jù)解題過(guò)程解答．【詳解】（1）解：移項(xiàng)，得，方程兩邊平方，得，即，解方程，得或，經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；（2）疑惑是：如何把無(wú)理方程化為有理方程，通過(guò)兩邊平方解決．【點(diǎn)睛】本題主要考查了無(wú)理方程以及解一元二次方程，利用轉(zhuǎn)化思想分析問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【一覽眾山小】1.（2023·云南楚雄·統(tǒng)考二模）已知，則代數(shù)式（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】由可得，則有，即，然后問(wèn)題可求解．【詳解】解：∵，∴，解得：，∵，∴，∴；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解法，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)假期作業(yè)）在正數(shù)范圍內(nèi)定義運(yùn)算“”，其規(guī)則為，則方程的解是（）A．或 B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)規(guī)則可得：，再解此方程，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，得，得，故或，解得（舍去），，所以，原方程的解為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，一元二次方程的解法，理解題意，得到方程并求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·廣東茂名·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，已知M是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（

）

A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)題意求出A、P坐標(biāo)，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論求解即可．【詳解】解：由題意，將代入直線，得：，∴直線，令，得：，則A點(diǎn)坐標(biāo)為，將代入，得：，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，，∴，設(shè)，①若，則為等腰直角三角形，，∵，，∴，解得：，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為；

②若，則為等腰直角三角形，，此時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)所在直線對(duì)稱，∴，解得：，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為；

③∵M(jìn)是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，∴或，不存在的情況，綜上，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為或，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的解析式，以及直角三角形的存在性問(wèn)題，準(zhǔn)確求解一次函數(shù)的解析式，以及熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)求解是解題關(guān)鍵．4．（2023·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）如圖，反比例函數(shù)的圖象與過(guò)點(diǎn)的直線相交于、兩點(diǎn)．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸上任意一點(diǎn)．如果，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可得，進(jìn)而求得直線的解析式為，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)，解方程即可求解．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)∴∴設(shè)直線的解析式為，∴，解得：,∴直線的解析式為，聯(lián)立，解得：或，∴，設(shè)，∵，解得：或，∴的坐標(biāo)為或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求解析式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·湖南·統(tǒng)考中考真題）如圖，矩形的頂點(diǎn)和正方形的頂點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖像上，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)經(jīng)過(guò)確定解析式為，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則點(diǎn)，代入解析式計(jì)算即可．【詳解】∵經(jīng)過(guò)，∴解析式為，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則點(diǎn)，∴，解得（舍去），故點(diǎn)，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，解方程，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）當(dāng)______時(shí)，函數(shù)是反比例函數(shù)．【答案】1【分析】根據(jù)反比例函數(shù)定義列出代數(shù)式求解即可得到答案．【詳解】解：∵是反比例函數(shù)，∴，解得，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)定義、解方程及不等式，熟練掌握反比例函數(shù)定義，掌握因式分解解方程及不等式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．7．（2023·河北石家莊·統(tǒng)考二模）如圖，A，B是雙曲線上的兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作軸，交于點(diǎn)D，垂足為C，連接，過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為E．若的面積為1，D為的中點(diǎn)．

（1）四邊形的面積為_(kāi)__________；（2）k的值為_(kāi)__________；（3）若A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)恰好是方程的兩個(gè)不同實(shí)根，則點(diǎn)E到直線的距離為_(kāi)__________．【答案】1//【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義得到與面積相等，進(jìn)而得到四邊形面積與面積相等，即可得到結(jié)果；（2）證明，根據(jù)D為中點(diǎn)，得到面積之比為，求出面積，得到面積，即可確定出k的值；（3）先根據(jù)因式分解法解一元二次方程，確定點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理可得的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形面積公式可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵A、B是雙曲線y=上的兩點(diǎn)，軸，軸，∴，即，∵，∴，故答案為：1；（2）∵軸，軸，∴，∴，∵D為中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴，∴；故答案為：；（3）∵，∴，∴，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2，當(dāng)時(shí)，，∴，∴，連接AE，設(shè)點(diǎn)E到的距離為h，

∴=AO?h，∴，即點(diǎn)E到直線OA的距離是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）已知正比例函數(shù)，那么它的圖像經(jīng)過(guò)____________象限．【答案】一、三【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義及解一元二次方程確定，再由正比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵，∴或，又∵，∴．∴圖像過(guò)一、三象限．故答案為：一、三【點(diǎn)睛】本題主要考查正比例函數(shù)的概念及圖像的性質(zhì)，解一元二次方程，熟練掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．9．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E、F分別在邊上，將正方形沿著翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)處，如果四邊形與四邊形的面積比為3∶5，那么線段的長(zhǎng)為_(kāi)_______．

【答案】【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，則，根據(jù)已知條件，分別表示出，證明，得出，在中，，勾股定理建立方程，解方程即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵正方形的邊長(zhǎng)為1，四邊形與四邊形的面積比為3∶5，∴，設(shè)，則，則∴即∴∴，∴，∵折疊，∴，∴，∵，∴，又,∴，∴在中，即解得：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽六安·統(tǒng)考二模）如圖是用棋子擺成的圖案：

根據(jù)圖中棋子的排列規(guī)律解決下列問(wèn)題：(1)第4個(gè)圖中有__________顆棋子，第5個(gè)圖中有__________顆棋子；(2)寫出你猜想的第n個(gè)圖中棋子的顆數(shù)（用含n的式子表示）是__________，(3)請(qǐng)求出第多少個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)是274個(gè)．【答案】(1)22，32(2)(3)第16個(gè)【分析】（1）觀察圖形發(fā)現(xiàn)圖形的規(guī)律，然后例用規(guī)律寫出第4和第5個(gè)圖中的棋子數(shù)即可；（2）根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用含n的式子表示出來(lái)即可．（3）由題意得：，然后解方程求解即可．【詳解】（1）（1）觀察發(fā)現(xiàn)第1個(gè)圖形有顆棋子；第2個(gè)圖形有顆棋子；第3個(gè)圖形有顆棋子；∴第4個(gè)圖形有顆棋子；第5個(gè)圖形有顆棋子；故答案為：22，32；（2）由（1）得：第n個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)為，（3）由題意得：解方程得：（舍去），答：第16個(gè)圖形中棋子的個(gè)數(shù)是274個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的變化類問(wèn)題，解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)各個(gè)圖形中棋子的顆數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，難度不大．11．（2023·河南駐馬店·統(tǒng)考三模）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（），例如：當(dāng)時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．(1)嘗試：①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，______．(2)歸納：與有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．(3)運(yùn)用：若與的和為6325，求a的值．【答案】(1)；(2)相等，理由見(jiàn)解析；(3)7．【分析】（1）仔細(xì)觀察①②③，用含有相同規(guī)律的代數(shù)式表示即可解答；（2）由再計(jì)算即可解答；（3）由與的和為6325，列方程后整理可得，再解一元二次方程并結(jié)合a的意義即可解答．【詳解】（1）解：由①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)時(shí)，．故答案為．（2）解：相等，理由如下：．（3）解：與的和為6325，，整理得：，解得：或7，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是數(shù)字的規(guī)律探究、完全平方公式的應(yīng)用、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、利用平方根的含義解方程等知識(shí)點(diǎn)，理解題意、列出運(yùn)算式或方程是解本題的關(guān)鍵．12．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）按要求解方程：(1)直接開(kāi)平方法：；(2)配方法：；(3)公式法：；(4)因式分解法：；【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】(1)先把方程兩邊開(kāi)