動點面積問題

1、如圖①所示，直角梯形OABC的頂點A、C分別在y軸正半軸與x軸負半軸上.過點B、C作

直線/.將直線/平移，平移后的直線/與x軸交于點D,與>軸交于點E.

（1）將直線/向右平移，設平移距離CD為「（包0）,直角梯形OABC被直線/掃過的面積（圖

中陰影部份）為s,s關于t的函數圖象如圖②所示，0M為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射

線，且NQ平行于x軸，N點橫坐標為4,求梯形上底AB的長及直角梯形OABC的面積.

（2）當2<r<4時，求S關于f的函數解析式.

【思路分析】本題雖然不難，但是非常考驗考生對于函數圖像的理解。很多考生看到圖二的函

數圖像沒有數學感覺，反應不上來那個M點是何含義，于是無從下手。其實M點就表示當平移距

離為2的時候整個陰影部分面積為8,相對的，N點表示移動距離超過4之后陰影部分面積就不動

了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當D移動過了0點的時候.所以根據這么幾種情況去作

答就可以了。第二問建立函數式則需要看出當2<"4時，陰影部分面積就是整個梯形面積減去4

ODE的面積，于是根據這個構造函數式即可。動態幾何連帶函數的問題往往需要找出圖形的移動與

函數的變化之間的對應關系，然后利用對應關系去分段求解。

【解】（1）由圖（2）知，/點的坐標是（2,8）.?.由此判斷：AB=2,OA=4.

點的橫坐標是4,NQ是平行于x軸的射線，。。=4

.??直角梯形OABC的面積為：1（AB+OC）-CM=1（2+4）x4=12..…（3分）

（2）當2<f<4時，

陰影部分的面積=直角梯形0ABe的面積-AODE的面積（基本上實際考試中碰到這種求怪異

圖形面積的都要先想是不是和題中所給特殊圖形有割補關系）

：.S=n--ODOE?：-=-,OD=4-t.-2（4-。

2OE2''

1

/.S=12--x2（4-z）-（4-r）=12-（4-r）9

S=-t2+8Z-4.

2、已知：等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在△ABC的邊A8上沿A8方

向以1厘米/秒的速度向8點運動(運動開始時，點"與點A重合，點N到達點B時運動終止)，過

點M、N分別作AB邊的垂線，與△ABC的其它邊交于P、。兩點，線段MN運動的時間為/秒.

(1)線段MN在運動的過程中，,為何值時，四邊形MNQP恰為矩形？并求出該矩形的面積；

(2)線段MN在運動的過程中，四邊形MNQP的面積為S,運動的時間為/.求四邊形MNQP

的面積S隨運動時間/變化的函數關系式，并寫出自變量/的取值范圍.

26.(10分)

(1)過點垂足為。.則AD=2,

當MN運動到被CO垂直平分時，四邊形MNQP是矩形,

3

即AM=5時，四邊形MNQ尸是矩形，

3

.一=5秒時，四邊形肱M2尸是矩形.PM=AMDNB

?*,S四邊形MNQP=30

(2)1。當0<，<1時，/

S四邊形MN。=g(尸河+QNYMNp/

=51也/+G(/+1)]=+AMLNBAAMNB

2。當1WK2時SmMNQP=^PM+QN)-MN

3°當2<r<3時，

c

S四邊形MW>=：(PM+QN)?MN

=g[6(3T)+G(4—/)]=—技+|■退

AAMNB

3、如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4cm,ZA=60°,BD,AD.一動點P從A出發，以每秒1cm的

速度沿A-B-C的路線勻速運動，過點P作直線PM,使PMLAD.

1.當點P運動2秒時，設直線PM與AD相交于點E,求4APE的面積；

2.當點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發沿A-B的路線運動，且在AB上以每秒1cm的

速度勻速運動，（當P、Q中的某一點到達終點，則兩點都停止運動.）過Q作直線QN,使QN〃PM,

設點Q運動的時間為t秒（0WtW8）,直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S（cm2）.

（1）求S關于t的函數關系式；

（2）求S的最大值.

1.分析：此題為點動題，因此，1）搞清動點所走的路線及速度，這

°樣就能求出相應線段的長；2）分析在運動中點的幾種特殊位置.

/由題意知，點P為動點，所走的路線為：A-B-C速度為lcm/s。而

APBt=2s,故可求出AP的值，進而求出4APE的面積.

略解：由AP=2,ZA=60°得AE=1,EP=V^.因此

2.分析：兩點同時運動，點P在前，點Q在后，速度相等，因此兩點距出發點A的距離相差總

是2cm.P在AB邊上運動后，又到BC邊上運動.因此PM、QN截平行四邊形ABCD所得圖形不同.故分

兩種情況：

（1）①當P、Q都在AB上運動時，PM、QN截平行四邊形ABCD所得的圖形永遠為直角梯形.止匕

時0WtW6.

②當P在BC上運動，而Q在AB邊上運動時，畫出相應圖形，所成圖形為六邊形DFQBPG.不規

則圖形面積用割補法.此時6<tW8.

\P\BAB

(0WtW6)(6<tW8)

⑴略解：①當P、Q同時在AB邊上運動時，0WtW6.

AQ=t,AP=t+2,AF=2t,QF=2t,AG=2(t+2),由三角函數PG=2(t+2),

l_￡￡L且且追且

FG=AG-AF=2(t+2)-2t=l.S=2?(QF+PG)?FG=2[Tt+T(t+2)]?1=Tt+T.

②當6VtW8時,

=

SS平行四邊形ABCD-S^AQF-SAGCP.

1

易求S平行四邊形ABCD=16返,SAAQF=2AF?QF=3t2.

1PC__PG_CG10-f_PG_CG

而SAC^^PC?PG,PC=4-BP=4-(t+2-8)=10-t.由比例式記一詬一五'可得44、百%

2

/.PG=^(10-t)..,.SACGP=2PC?PG=2(10-t)?幣(10-th~(10-t).

打包，也+6-^3

.*.S=16酒-8t2-2(10-t)2=8(6<tW8

⑵分析:求面積的最大值時,應用函數的增減性求.若題中分多種情況,那么每一種情況都要分

別求出最大值，然后綜合起來得出一個結論.此題分兩種情況,那么就分別求出0WtW6和6<tW8

時的最大值.0WtW6時,是一次函數,應用一次函數的性質，由于一次項系數是正數,面積S隨t的

增大而增大.當6<tW8時,是二次函數,應用配方法或公式法求最值.

A7

略解：由于2'人”所以t=6時，S最大=2"；

由于S='(6<tW8,所以t=8時，S最大=6〃3.

=6E.

綜上所述，當t=8時，S最大:

4、如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，點C的坐標為(4,0),ZA0C=60°,垂直于x

軸的直線1從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，設直線1與菱形0ABC的

兩邊分別交于點M、N(點M在點N的上方).

1.求A、B兩點的坐標；

2.設AOMN的面積為S,直線/運動時間為t秒(0WtW6),試求S與t的函數表達式;

3.在題⑵的條件下，t為何值時，S的面積最大？最大面積是多少？

1.分析：由菱形的性質、三角函數易求A、B兩點的坐標.

解：?.?四邊形OABC為菱形，點C的坐標為(4,0),

，0A=AB=BC=C0=4.如圖①,過點A作ADLOC于D.：NA0C=60°,/.0D=2,AD=2扉.

AA(2,2g),B(6,2g).

2.分析：直線/在運動過程中，隨時間t的變化，^MON的形狀也不斷變化，因此，首先要把

所有情況畫出相應的圖形，每一種圖形都要相應寫出自變量的取值范圍。這是解決動點題關鍵之一.

直線,從y軸出發，沿x軸正方向運動與菱形OABC的兩邊相交有三種情況：

圖③①0WtW2時，直線,與0A、

0C兩邊相交(如圖①).②2<tW4時，直線,與AB、0C兩邊相交(如圖②).

③4<tW6時，直線/與AB、BC兩邊相交(如圖③).

￡且

略解：（DVMNXOC,.\ON=t..\MN=0Ntan60°=V3i./.S=2ON.MN=~t2.

②S=，ON?MN=2t?273=73t.

③方法一：設直線,與x軸交于點H.?；MN=2后-石(t-4)=6后-后t,

￡￡拒

.\S=2MN?0H=2(eV3-V3t)t=--1+3后t.

L￡

，，

方法二：設直線/與X軸交于點H..S=SAOMH-SAONH,.\s=2t-2^3-2t?V3(t-4)=

且r

~t?+3J3t.方法三：設直線/與x軸交于點H.?.?$=$切。屈電0500吐$2地,

￡

S卷挎OABC=4X2石=8后,SACMA/=5?2也?(t-2)=也t-2也,

1_1后

2

方際=2?4?后(t-4)=2t-8^3,拒(6-t)(6-t)=18^3-6V3t+2t,

，S=80-(力t-2后)-(2^t-8后)-(18后-6^t+了t2)=--V+sV^t.

3.求最大面積的時候，求出每一種情況的最大面積值，然后再綜合每種情況，求出最大值.

包廠

略解：由2知，當0WtW2時，s^=~X22=2V3；

點9萬

當2VtW4時，還大=4^3；當4ctW6時，配方得S=-5"(tYV+T,

且氈

.?.當t=3時，函數S=-Tt2+3V3t的最大值是亍.

且逋

但t=3不在4VtW6內，.?.在4VtW6內，函數S=-〒召+353t的最大值不是亍.

且

而當t>3時，函數S=-5-t2+3#t隨t的增大而減小，，當4VtW6時，S<4V3.

綜上所述，當t=4秒時，大=4上.

5、如圖所示，在直角坐標系中，矩形ABCD的邊AD在x軸上，點A在原點，AB=3,AD=5.若矩

形以每秒2個單位長度沿x軸正方向作勻速運動.同時點P從A點出發以每秒1個單位長度沿A-B

—C—D的路線作勻速運動.當P點運動到D點時停止運動，矩形ABCD也隨之停止運動.

⑴求P點從A點運動到D點所需的時間；

⑵設P點運動時間為t（秒）.

當t=5時，求出點P的坐標；

若/OAP的面積為s,試求出s與t之間的函數關系式（并寫出相應的自變量t的取值范圍）.

B--------------------iC

0(A)Dx

解：(1)P點從A點運動到D點所需的時間=(3+5+3)4-1=11(秒).

(2)當t=5時,P點從A點運動到BC上,此時0A=10,AB+BP=5,/.BP=2.

過點P作PEXAD于點E,則PE=AB=3,AE=BP=2.

.?.0E=0A+AE=10+2=12..,.點P的坐標為(12,3).

分三種情況：

.當0<tW3時，點P在AB上運動，此時0A=2t,AP=t,/.s=2X2tXt=t2.

1

.當3<tW8時，點P在BC上運動,止匕時0A=2t,/.s=2X2tX3=3

t.

.當8<t<n時，點P在CD上運動，此時0A=2t,AB+BC+CP=t,

.\DP=(AB+BC+CD)-(AB+BC+CP)=11-t./.s=2X2tX(11-t)=-

t2+llt.

綜上所述，s與t之間的函數關系式是：當0VtW3時，s=t2；當3VtW8時，s=3t；當8

<t<ll時，s=-t2+llt.

6、如圖，已知△ABC中，A3=AC=10厘米，BC=8厘米，點。為AB的中點.

(1)如果點尸在線段3C上以3厘米/秒的速度由3點向。點運動，同時，點Q在線段C4上由C

點向A點運動.

①若點。的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，與△CQP是否全等，請說明理

由；

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△5PD與

△CQP全等？

(2)若點。以②中的運動速度從點C出發，點尸以原來的運動速度從點3同時出發，都逆時針沿

△ABC三邊運動，求經過多長時間點P與點。第一次在△ABC的哪條邊上相遇？

解：（1）①..：=1秒，A

族=。。=3*1=3厘米，\

;AB=10厘米，點。為A8的中點，D/\

.?.30=5厘米./\

又，；PC=BC-BP,BC=8厘米，/\

PC=8—3=5厘米，3〉JC

PC=BD.

又：AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.4BPD咨ACQP.......................................................................................（4分）

②：埒j,/.BP^CQ,

又,：4BPD/XCOP,/B=NC,則3P=PC=4,CQ=BD=5,

點P,點。運動的時間/==g秒，

.??V=絲=?="厘米/秒....................................(7分)

2?44

3

(2)設經過大秒后點P與點。第一次相遇，

由題意，得"x=3x+2xl0,解得了=里秒.

43

.?.點P共運動了以x3=80厘米.

3

80=2x28+24,

???點P、點。在A3邊上相遇，

???經過三秒點P與點。第一次在邊上相遇...................(12分)

7、如圖1,在Rt^ABC中，ZC=90°,BC=8厘米，點D在AC上，CD=3厘米.點P、Q分

別由A、C兩點同時出發，點P沿AC方向向點C勻速移動，速度為每秒k厘米，行完AC全程

用時8秒;點Q沿CB方向向點B勻速移動，速度為每秒1厘米.設運動的時間為x秒（OVxV8）,

△DCQ的面積為yi平方厘米，4PCQ的面積為y2平方厘米.

⑴求yi與x的函數關系，并在圖2中畫出yi的圖象；

⑵如圖2,y2的圖象是拋物線的一部分，其頂點坐標是（4,12）,求點P的速度及AC的長;

⑶在圖2中，點G是x軸正半軸上一點（0<OGV6=,過G作EF垂直于x軸，分別交yi>y2

于點E、F.

①說出線段EF的長在圖1中所表示的實際意義；

②當0<x<6時，求線段EF長的最大值.

yM

C。一

圖1圖2

2、解：（DVSADCQ^—CQCD,CD=3,CQ=x,

.3

??丹=5%?

圖象如圖所示.

⑵方法一：S^CQ=^CQCP,CP=8k-xk,CQ=x,

2

/.^2=^X（8Z:-AX）-X=-^AX+4AX.

y

???拋物線頂點坐標是（4,12）,

1

.??一一%?492+4左-4=12?

2

解…3?

則點P的速度每秒”米，AC=12厘米?

方法二：觀察圖象知，當x=4時，APCQ面積為12.

止匕時PC=AC—AP=8k—4k=4k,CQ=4.02p46810x

14"x4a

.,.由S”儀=：CQ-CP,得吃—=12.解得左=：.

則點P的速度每秒士厘米，AC=12厘米.

2

方法三：設y2的圖象所在拋物線的解析式是y=af+bx+c.

:圖象過(0,0),(4,12),(8,0),

3

c=0,u——，

解得4

/.J16tz+4Z?+c=lZ<b=6,

64a+8b+c=Q.c=0.

3°

??%=——x2+6x.(J)

2

,?*=~CQCP,CP=8k-xk,CQ=x,/.y2=-^kx+4kx.②

比較①②得上==3.

2

則點P的速度每秒2厘米，AC=12厘米.

2

⑶①觀察圖象，知

線段的長EF=y2—yi,表示APCQ與4DCQ的面積差(或面積).

2

②由(2)得當=一3/+6x.(方法二，y9=—x|8x--—%=%+6%)

4-222J4

*.*EF=y2—yi,

；

?.?EEr_------3-x2+ox3x-_3x,H—9x9

4242

???二次項系數小于0,

27

???在OOV6范圍，當x=3時，跖=——最大.

3

【答案】分析：(1)直接根據三角形的面積公式可得yi=Ex；

1fc33

(2)先設y2=1x(12-kx)=-2X2+6X,把x=12時，y2=12代入解析式