2025屆安徽省巢湖市高二上數學期末學業水平測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．下列命題正確的是（）A.經過三點確定一個平面B.經過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面2．設拋物線的焦點為F，過點F且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A，B兩點，若，則（）A1 B.2C.4 D.83．連續拋擲一枚均勻硬幣3次，事件“至少2次出現正面”的對立事件是（）A.只有2次出現反面 B.至少2次出現正面C.有2次或3次出現正面 D.有2次或3次出現反面4．已知雙曲線的兩個焦點為，，是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（）A. B.C. D.5．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.6．據有關文獻記載：我國古代一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數比上一層燈數都多為常數盞，底層的燈數是頂層的倍，則塔的底層共有燈（）A.盞 B.盞C.盞 D.盞7．兩個圓和的位置是關系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內含8．曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標系中，已知，，則MN的中點P到坐標原點О的距離為（）A. B.C.2 D.310．已知橢圓，則它的短軸長為（）A.2 B.4C.6 D.811．已知橢圓經過點，當該橢圓的四個頂點構成的四邊形的周長最小時，其標準方程為（）A. B.C. D.12．點M在圓上，點N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，若有兩個零點，則的范圍是______14．若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是__________15．函數y＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極值10，則a＝________.16．在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則下列說法中，正確的有_________（請填入所有正確說法的序號）①當時，的周長為定值②當時，三棱錐的體積為定值③當時，有且僅有一個點P，使得④當時，有且僅有一個點P，使得平面三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知（1）求的最小正周期及單調遞增區間；（2）已知鈍角內角A，B，C的對邊長分別a，b，c，若，，．求a的值18．（12分）設p：；q：關于x的方程無實根.（1）若q為真命題，求實數k的取值范圍；（2）若是假命題，且是真命題，求實數k的取值范圍.19．（12分）城南公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨立的，成活率為p，設為成活棕櫚樹的株數，數學期望.（1）求p的值并寫出的分布列；（2）若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補種，求需要補種棕櫚樹的概率.20．（12分）某種機械設備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統計數據如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數據可知，可用線性回歸模型擬合與的關系．請用相關系數加以說明；（精確到0.01）（2）求出關于的線性回歸方程，并估算該種機械設備使用8年的失效費參考公式：相關系數線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數據：，，21．（12分）已知數列滿足，，，.從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題.（1）寫出、，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.22．（10分）如圖1，在四邊形ABCD中，，，E是AD的中點，將沿BF折起至的位置，使得二面角的大小為120°（如圖2），M，N分別是，的中點.（1）證明：平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由平面的基本性質結合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D2、C【解析】根據焦點弦的性質即可求出【詳解】依題可知，，所以故選：C3、D【解析】根據對立事件的定義選擇【詳解】對立事件是指事件A和事件B必有一件發生，連續拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現正面”即有2次或3次出現正面，對立事件為“有2次或3次出現反面”故選：D4、A【解析】由，可得進一步求出，由此得到，則該雙曲線的方程可求【詳解】，即，則．即，則該雙曲線的方程是：故選：A【點睛】方法點睛：求圓錐曲線的方程，常用待定系數法，先定式（根據已知確定焦點所在的坐標軸，設出曲線的方程），再定式（根據已知建立方程組解方程組得解）.5、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因為直線在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B6、C【解析】根據給定條件利用等差數列前n項和公式列式計算即可作答.【詳解】依題意，層塔從上層到下層掛燈盞數依次排成一列可得等差數列，，于是得，解得，，所以塔的底層共有燈盞.故選：C7、C【解析】根據圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關系，可得選項.【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以兩圓的位置是關系是相交，故選：C.【點睛】本題考查兩圓的位置關系，關鍵在于運用判定兩圓的位置關系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關系，屬于基礎題.8、C【解析】由曲線方程直接求離心率即可.【詳解】由題設，，，∴離心率.故選：C.9、A【解析】利用中點坐標公式及空間中兩點之間的距離公式可得解.【詳解】，，由中點坐標公式，得，所以.故選：A10、B【解析】根據橢圓短軸長的定義進行求解即可.【詳解】由橢圓的標準方程可知：，所以該橢圓的短軸長為，故選：B11、A【解析】把點代入橢圓方程得，寫出橢圓頂點坐標，計算四邊形周長討論它取最小值時的條件即得解.【詳解】依題意得，橢圓的四個頂點為，順次連接這四個點所得四邊形為菱形，其周長為，，當且僅當，即時取“=”，由得a2=12，b2=4，所求標準方程為.故選：A【點睛】給定兩個正數和(兩個正數倒數和)為定值，求這兩個正數倒數和(兩個正數和)的最值問題，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.12、C【解析】根據題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用導數求出函數的最小值，結合函數的圖象列式可求出結果.【詳解】,當時，，在上為增函數，最多只有一個零點，不符合題意；當時，令，得，令，得，所以在上為減函數，在上為增函數，所以在時取得極小值為，也是最小值，因為當趨近于正負無窮時，都是趨近于正無窮，所以要使有兩個零點，只要，即就可以了.所以的范圍是故答案為：.14、1【解析】根據三視圖可得如圖所示的幾何體，從而可求其體積.【詳解】據三視圖分析知，該幾何體為直三棱柱，且底面為直角邊為1的等腰直角三角形，高為2，所以其體積故答案為：115、4【解析】∵y′＝3x2＋2ax＋b，∴或當a＝－3，b＝3時，y′＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立，故舍去．所以a＝416、②④【解析】①結合得到P在線段上，結合圖形可知不同位置下周長不同；②由線面平行得到點到平面距離不變，故體積為定值；③結合圖形得到不同位置下有，判斷出③錯誤；④結合圖形得到有唯一的點P，使得線面垂直.【詳解】由題意得：，，，所以P為正方形內一點，①，當時，，即，，所以P在線段上，所以周長為，如圖1所示，當點P在處時，，故①錯誤；②，如圖2，當時，即，即，，所以P在上，，因為∥BC，平面，平面，所以點P到平面距離不變，即h不變，故②正確；③，當時，即，如圖3，M為中點，N為BC的中點，P是MN上一動點，易知當時，點P與點N重合時，由于△ABC為等邊三角形，N為BC中點，所以AN⊥BC，又⊥BC，，所以BN⊥平面，因為平面，則，當時，點P與點M重合時，可證明出⊥平面，而平面，則，即，故③錯誤；④，當時，即，如圖4所示，D為的中點，E為的中點，則P為DE上一動點，易知，若平面，只需即可，取的中點F，連接，又因為平面，所以，若，只需平面，即即可，如圖5，易知當且僅當點P與點E重合時，故只有一個點P符合要求，使得平面，故④正確.故選：②④【點睛】立體幾何的壓軸題，通常情況下要畫出圖形，利用線面平行，線面垂直及特殊點，特殊值進行排除選項，或者用等體積法進行轉化等思路進行解決.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）2.【解析】(1)利用三角恒等變換公式化簡函數，再利用三角函數性質計算作答.(2)由(1)的結論及已知求出角C，再利用余弦定理計算判斷作答.【小問1詳解】依題意，，則的最小正周期，由，解得，則在上單調遞增，所以的最小正周期為，遞增區間為.【小問2詳解】由(1)知，，即，在中，，，則，即，，于是得，解得，在中，由余弦定理得：，即，解得或，當時，，為直角三角形，與是鈍角三角形矛盾，當時，，，此時，是鈍角三角形，則，所以a的值是2.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據命題的真假，結合一元二次方程無實根，列出的不等式，即可求得結果；（2）求得命題為真對應的的范圍，結合命題一個為真命題一個為假命題，即可列出的不等式組，求解即可.【小問1詳解】若q為真命題，則，解得，即實數k的取值范圍為.【小問2詳解】若p為真，，解得，由是假命題，且是真命題，得：p、q兩命題一真一假，當p真q假時，或，得，當p假q真時，，此時無解.綜上的取值范圍為.19、（1），分布列見解析；（2）.【解析】（1）根據二項分布知識即可求解；（2）將補種棕櫚樹的概率轉化為成活的概率，結合概率加法公式即可求解.【小問1詳解】由題意知，，又，所以，故未成活率為，由于所有可能的取值為0,1,2,3,4，所以，，，，，則的分布列為01234【小問2詳解】記“需要補種棕櫚樹”為事件A，由（1）得，，所以需要補種棕櫚樹的概率為.20、（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元【解析】（1）根據相關系數公式計算出相關系數可得結果；（2）根據公式求出和可得關于的線性回歸方程，再代入可求出結果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結合參考數據知：因為與的相關系數近似為0.99，所以與的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系（2）∵，∴∴關于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機械設備使用8年的失效費為6.3萬元21、（1）條件選擇見解析，，，（2）【解析】（1）選①，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，并可求得、；選②，推導出數列是等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數、奇數兩種情況討論，結合并項求和法以及等比數列求和公式可求得.【小問1詳解】解：若選①，，且，故數列是首項為，公比為的等比數列，，故；若選②，，所以，，且，故數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，，故，所以，，故，.【小問2詳解】解：由（1）可知，則，所以，.當為偶數時，；當為奇數時，.綜上所述，.22、（1）證明見解析（2）【解析】（1）構造中位線，利用面面平行，可以證明;（2）建立空間直角坐標系，用空間向量的方法即可.【小問1詳解】證明：如圖，取ED的中點P，連接MP，NP.在