高斯是一個偉大的數學家，一生中的重要貢獻不勝枚舉.德國的10馬克紙幣上印有高斯的頭像和正態分布的曲線，這就傳達了一個信

息：在高斯的科學貢獻中，對人類文明影響最大的是正態分布.那么,什么是正態分布?正態分布的曲線有什么特征?新課導入學業標準學科素養1.通過誤差模型，了解正態曲線、正態分布的概念(重點).2.通過借助具體實例的頻率分布直方圖，

了解正態分布的特征及曲線表示的含義

(重點).1.通過正態分布相關概念的學習，

培養數學抽象等核心素養；2.通過運用正態曲線的性質求隨3.了解正態分布的均值、方差及其含義

(難點).機變量在某一區間的概率，提升數學運算、直觀想象等核心素養.4.會用正態分布解決實際問題學習目標X01knPX01knPX01P2、二項分布：X～B(n,p):3、超幾何分布：復習舊知1、兩點分布：生活中還有許多隨機變量不是離散型的隨機變量，例如：①小明上學途中等公交車的時間X;②實驗中測量某零件尺寸的誤差Y;③秦皇島5月份的降雨量Z;④某電器的使用壽命;●●你還能舉出幾個這樣的例子嗎?連續型隨機變量：如果隨機變量X的所有取值不可以逐個列舉出來，而是充滿某個

區間甚至整個實軸，但取一點的概率為0,我們稱這類變量為連續型隨

機變量。情境導學-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9問題1

自動流水線包裝的食鹽，每袋標準質量為400g.由于各種不可控

制的因素，任意抽取一袋食鹽，它的質量與標準質量之間或多或少會存

在一定的誤差(實際質量減去標準質量).用X

表示這種誤差，則X

是一

個連續型隨機變量.檢測人員在一次產品檢驗中，隨機抽取了100袋食鹽

,獲得誤差X(單位：g)的觀測值如下：情境導學-0.6-1.4-0.73.3-2.9-5.21.40.14.40.9-2.6-3.4-0.7-3.2-1.72.90.61.72.91.20.5-3.72.71.1-3.0-2.6-1.91.72.60.42.6-2.0-0.21.8-0.7-1.3-0.5-1.30.2-2.12.4-1.5-0.43.8-0.11.50.3-1.80.02.53.5-4.2-1.0-0.20.10.91.12.20.9-0.6-4.4-1.13.9-1.0-0.61.70.3-2.4-0.1-1.7-0.5-0.81.71.44.41.2-1.8-3.1-2.1-1.62.20.34.8-0.8-3.5-2.73.81.4-3.5-0.9-2.2-0.7-1.31.5-1.5-2.21.01.31.7-0.9探究1:

如何描述這100個樣本誤差數據的分布?如何構建適當的概率

模型刻畫誤差X的分布?新知探究區間頻數頻率頻率/組距探究1:

如何描述這100個樣本誤差數據的分布?如何構建適當的概率模型刻畫誤差X的分布?新知探究頻率/組距0.200.150.100.05-6-4-2

0

2

4

0

X追問1:觀察圖形，你能獲得什

么信息?追問2:若數據無限增多且組距無

限縮小，那么頻率分布直方圖會

有怎么樣的變化?根據已學的統計知識，可用頻率分布直方圖描述這組誤差數據的分布

,如下圖所示.頻率分布直方圖中每個小矩形的面積表示誤差落在相應

區間內的頻率，所有小矩形的面積之和為1.新知探究f(x)0.200.150.100.050-6-4-2

0

2

4

6

x正態密度曲線：若數據無限增多且組距無限縮小，那么頻率分布直方圖的的輪廓形成一條光滑的鐘形曲線，我們稱此曲線為正態密度曲線.特征：①“中間高，兩頭低，左右對稱”②曲線與x軸一起圍成的面積為1新知生成f(x)0.200.15其中μ∈R,

σ>0

為參數

.0.100.05新知生成正態密度函數：質量誤差的概率密度曲線就是或近似地是以下函數的圖象：0-6-4-2

0

2

4

6

X正態分布：如圖所示，若隨機變量X的概率分布密度函數為f(x),則稱隨機變量

X

服從正態分布，記為X~N(μ,σ2).特別地，當μ=0,σ=1時，稱隨機變量X服從標準正態分布.若X~N(u,σ2),

則X取值不超過x

的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X<b)

為區域B的面積.面積即為概率!新知生成在實際中許多隨機現象都服從或近似服從正態分布：在生產中，在正常生產條件下各種產品的質量指標；在測量中，測量結果；在生物學中，同一群體的某一特征，

.

.

.

;在氣象中，某地每年七月份的平均氣溫、平均濕度以及降雨量等，水

文中的水位；服從正態分布的隨機變量叫做正態隨機變量，簡稱正態變量.新知生成特點：(1)非負性：對Vx∈R,f(x)>0,

圖象在x軸上方；(2)對稱性：曲線是單峰的，關于直線x=μ對稱；(3)最大值：曲線在x=μ處達到峰值(4)曲線與x軸之間的區域的面積為1;(5)當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸.探究2:觀察正態曲線及相應的密度函數，正態曲線有哪些特點?新知探究探究3:一個正態分布由參數μ和σ完全確定，這兩個參數對正態曲線

的形狀有何影響?它們反映正態分布的哪些特征?(1)當參數σ取定值時，觀察μ對正態分布曲線的影響.參數μ反映了正態分布的

集中位置，可以用均值來估

計，故有E(X)=μ

.值的變化而沿x軸平移，故μ

稱為位置參數；f(x)

μ=0μ=1取σ=1μ=-1若σ固定，函數圖像隨μ新知探究0

X若μ固定，σ大時，曲線“矮

胖”;σ小時，曲線“瘦

高”,

故

稱σ為形狀參數。σ反映了隨機變量分布相對于均值μ的離散程度，可以用標準

差來估計，故有D(X)=σ2.X探究3:一個正態分布由參數μ和σ完全確定，這兩個參數對正態曲線

的形狀有何影響?它們反映正態分布的哪些特征?(2)當參數μ取定值時，觀察σ對正態分布曲線的影響.f(x)

個σ=0.5σ=1O=2μ新知探究取μ=02、已知隨機變量服從正態分布，其正態曲線如圖所示，則總體的均值μ=

,方差σ2=

,μ,σ(σ>0)都是實數1、下列函數是正態密度函數的是(

)小試牛刀A●密度曲線如圖所示，下列說法中不正確的是(BCD)A.甲科總體的標準差最小B.丙科總體的平均數最小C.乙科總體的標準差及平均數都比甲小，

比丙大D.

甲、乙、丙總體的平均數不相同3、(多選)一次教學質量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態分布小試牛刀4、(多選)下面給出的關于正態曲線的4個敘述中，正確的有(

ABD

)A.曲線在x軸上方，且與x軸不相交B.當x>μ時，曲線下降，當x<μ時，曲線上升C.當μ一定時，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中D.曲線關于直線x=μ對稱，且當x=μ時，位于最高點小試牛刀例1:李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車

和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎自行車平均用時34

min,

樣本方差為4.假設坐公交車

用時X

和騎自行車用時Y都服從正態分布.(1)估計X,Y

的分布中的參數；解：(1)隨機變量X的樣本均值為30,樣本標準差為6;隨機變量Y的樣本均值為34,樣本標準差為2.用樣本均值估計參數μ,用樣本標準差估計參數σ,可以得到：X~N(30,62),Y~N(34,22)典例剖析例1:李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車

和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30

min,樣本方差為36;騎自行車平均用時34

min,

樣本方差為4.假設坐公交車

用時X

和騎自行車用時Y都服從正態分布.(2)根據(1)中的估計結果，利用信息技術工具畫出X和Y的分布密度yAY的密度曲線X的密度曲線0

26303438

t/min典例剖析曲線；例1:李明上學有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車

和騎自行車所花的時間，經數據分析得到：坐公交車平均用時30min,樣本方差為36;騎自行車平均用時34

min,

樣本方差為4.假設坐公交車

用時X和騎自行車用時Y都服從正態分布.(3)如果某天有38

min

可用，李明應選擇哪種交通工具?如果某天只

有34

min

可用，又應該選擇哪種交通工具?請說明理由.(3)Y的密度曲線X

的密度曲線

yA

P(X≤38)<P(Y≤38),P(X≤34)>P(Y≤34).所以，如果有38min可用，那么騎自行X

的密度曲線

Y的密度曲線車不遲到的概率大，應選擇騎自行車；如果只有34min可用，那么坐公交車不遲到的概率大，應選擇坐公交車.

26303438

t/min典例剖析探究4:正態曲線下的面積規律：(1)X

軸與正態曲線所夾面積恒等于1;(2)對稱區域面積相等，即概率相等.S(-X?

,-X?)

S(x?,X?)-X?-X?μ

X?X?新知探究μ-3σμ-2oμ-σμ

μ+o

μ+2σ

μ+3ok…68.27%

……

95.45%……

………

…99.73%……

…探究4:正態曲線下的面積規律：假設X～N(μ,σ2),可以證明：對給定的k∈N*,

P(μ-ko≤X≤μ+ko)是一個只與k有關的定值.特別地，(3)3σ原則：在實際應用中，服從于正態分布的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值.P(μ-o<X≤μ+σ)≈0.6827;P(μ-2o<X≤μ+2σ)≈0.9545;P(μ-3σ<X≤μ+3σ)≈0.9973.新知探究【例2】設s~N(1,4),試求：(1)P(-1<ξ≤3);(2)P(3<s≤5);(3)P(s≥5).解：(1)∵ξ~N(1,4),∴μ=1,σ=2,P(-1≤ξ≤3)=P(1-2≤ξ≤1+2)=P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)≈0.6827.典例剖析(2)∵P(3≤ξ≤5)=P(-3≤ξ≤

一1),【例2】設s~N(1,4),試求：(1)P(-1<s≤3);(2)P(3<s≤5);(3)P(s≥5).典例剖析【例2】設s~N(1,4),試求：(1)P(-1<s≤3);(2)P(3<s≤5);(3)P(s≥5).典例剖析利用正態分布求概率的兩個方法：(1)對稱法：由于正態曲線是關于直線x=μ對稱的，且概率的和為1,故關于直線x=μ對稱的區間概率相等.如：①P(X<a)=1-P(X≥a);②P(X<μ-a)=P(X>μ+a).(2)“3σ”法：利用