《分類加法計數原理》講義同學們好，咱們今天開始學習高中湘教版（2019）選擇性必修第一冊第4章計數原理中的4.1.1分類加法計數原理。這部分內容就像是一把神奇的鑰匙，能幫我們輕松解決很多有趣的計數問題呢。一、生活中的計數問題咱們先來說說生活中的計數。比如說，我早上出門去上班，要從家到學校。我可以選擇坐公交車，也可以選擇騎自行車。這就像兩種不同的選擇方式。有一次啊，我特別著急去學校參加一個重要的會議。我站在門口就想，我到底該怎么去呢？如果坐公交車，我知道有三路車都能到學校附近，這就是三種不同的坐公交的選擇。要是騎自行車呢，那就只有一種方式，就是騎我自己的那輛自行車。這時候我就在心里默默算了一下，我總共有多少種去學校的方式呢？其實很簡單，就是坐公交的三種方式加上騎自行車的這一種方式，總共是四種方式。這就是一個很簡單的計數的例子。二、分類加法計數原理的概念那什么是分類加法計數原理呢？簡單來說，如果完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，在第二類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法。就像我去學校的例子，坐公交是一類方案，有3種方法，騎自行車是另一類方案，有1種方法，所以總共就有3＋1＝4種方法。這個原理的關鍵就在于“分類”。每一類方案都要能獨立地完成這件事。比如說，還是去學校這個事兒，如果我把坐公交的每一路車都當成一類，那就不對了，因為單獨坐某一路車并不能構成一類完整的去學校的方案，而是坐公交這個大方案下的不同方法。再舉個例子，咱們學校要組織一場文藝演出，要選一個節目參加區里的比賽。節目可以是唱歌或者跳舞。如果唱歌有5個不同的歌曲可以選擇，跳舞有3個不同的舞蹈可以選擇，那么總共有多少種選擇節目的方式呢？對啦，就是5＋3＝8種。這里，唱歌和跳舞就是兩類不同的方案，每類方案下的歌曲數量和舞蹈數量就是各自的方法數。三、分類加法計數原理的推廣這個原理可不止能用于兩類方案哦。如果完成一件事有n類不同的方案，在第一類方案中有m1種不同的方法，在第二類方案中有m2種不同的方法，以此類推，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法。我給大家講個我朋友開餐館的事兒。他的餐館要推出新的套餐。套餐可以分為三類，第一類是主食加飲品，主食有米飯、面條、餃子這3種選擇，飲品有可樂、果汁這2種選擇，那這一類套餐就有3×2＝6種搭配方式。第二類是主食加小吃，主食還是那3種，小吃有薯條、雞米花這2種，這一類就有3×2＝6種搭配方式。第三類是主食加甜品，主食不變，甜品有冰淇淋、布丁這2種，這一類也有3×2＝6種搭配方式。那總共的套餐搭配方式就是6＋6＋6＝18種。這里雖然看起來像是分步乘法計數原理，但其實從大的分類來看，這是三類不同的套餐方案，用的就是分類加法計數原理。四、分類加法計數原理的應用1、數字組合問題比如說，我們要用09這10個數字組成一個三位數，要求百位數字不能為0。那我們可以這樣分類來計算。第一類，百位數字是19中的任意一個，有9種選擇。十位數字可以是09中的任意一個，有10種選擇。個位數字同樣有10種選擇。根據分步乘法計數原理，這一類組成的三位數有9×10×10＝900個。第二類，百位數字是0，這不符合要求，所以這一類的數量是0。最后根據分類加法計數原理，能組成的符合要求的三位數共有900＋0＝900個。2、人員分組問題學校要組織一個志愿者活動，有男生和女生參加。男生有20人，女生有30人。要從這些學生中選一個代表，那可以分為兩類，從男生中選有20種方法，從女生中選有30種方法，所以總共有20＋30＝50種選法。3、旅游路線問題假設你想去旅游，有三個不同的旅游目的地可以選擇，A地有4條不同的旅游路線，B地有3條不同的旅游路線，C地有2條不同的旅游路線。那么你總共有多少種選擇旅游路線的方式呢？對，就是4＋3＋2＝9種。五、分類加法計數原理的注意事項1、不重不漏這是分類加法計數原理最重要的一點。在分類的時候，一定要保證每一種情況都被包含在某一類中，而且任何一種情況不能同時屬于兩類。比如說，我們統計學校里學生的愛好，不能把既喜歡音樂又喜歡繪畫的同學分成兩類，這樣就重復計算了。我記得有一次學校做調查，統計同學們喜歡的運動項目。有的同學既喜歡籃球又喜歡足球，但是在分類的時候，如果把喜歡籃球的同學歸為一類，喜歡足球的同學歸為另一類，又單獨把既喜歡籃球又喜歡足球的同學再歸為一類，那就錯了，這樣就重復計算了人數。所以一定要明確分類的標準，做到不重不漏。2、分類標準要明確分類的標準要清晰，這樣才能準確地計算每一類的方法數。比如說，還是統計學生的愛好，如果一會兒按照運動項目分類，一會兒按照是否是團隊運動分類，那就亂套了。就像我們整理書架上的書，如果一會兒按照書的顏色分類，一會兒按照書的厚度分類，最后肯定會一團糟，而且也沒辦法準確統計每一類的數量。六、課程重點和難點1、重點（1）理解分類加法計數原理的概念，這是基礎中的基礎。要清楚知道什么是完成一件事的不同類方案，以及每類方案下的不同方法。（2）能夠準確地進行分類，并且正確計算每類方案中的方法數。這需要大家有清晰的邏輯思維，能夠區分不同的情況。（3）熟練運用分類加法計數原理解決各種實際問題，像我們前面舉的那些例子，無論是數字組合、人員分組還是旅游路線等問題，都要能靈活運用這個原理。2、難點（1）如何準確分類。在一些復雜的問題中，可能會有多種分類的方法，但是要找到最合理、最不容易出錯的分類方法并不容易。比如在一些幾何圖形的計數問題中，可能可以按照圖形的形狀分類，也可以按照圖形的大小分類，這時候就要根據具體的問題和已知條件，選擇最合適的分類方法。（2）在實際問題中識別分類加法計數原理的應用場景。有些問題可能看起來很復雜，表面上像是其他的數學原理，但是仔細分析后會發現其實是可以用分類加法計數原理來解決的。比如我們前面說的餐館套餐的例子，很容易混淆成分步乘法計數原理，但實