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文檔簡介

§1.7赫姆霍茲定理1、函數定義性質(1)δ函數是偶函數(2)δ函數具有抽樣性例1-7

試證明是δ函數。證明:對于

，當時，有當時，，δ函數的第1個性質被滿足。以為圓心作半徑為的球面S，

限定體積為V。

則符合δ函數定義，故為δ函數。2、矢量場的類型無旋場、無散場、調和場和一般矢量場（1）無旋場的旋度恒為零，即

無旋場在其定義域內沿任意閉合路徑l的環量恒為零，無旋場就是保守場。

無旋場環量為零的特性也可陳述為：無旋場的線積分與積分起點和終點的位置有關，而與積分路徑無關。證明：即PQmn兩點間的任意兩條積分路徑由可以定義一個標量場這種形式的二階偏微分方程稱為泊松方程。令

2

=

b得的微分方程

負號意指某點的方向為該處取得最大減小率的方向可得無散場的二階偏微分方程由上式可定義一個矢量位函數

A(r)（2）無散場的散度恒為零，即令泊松方程。（3）調和場在定義域內的旋度與散度均為零

調和場可簡單看成是無旋場的散度也為零的特例，因此亦可引入標量位函數，

2

=0調和場的二階偏微分方程稱為拉普拉斯方程令

b=0

得（4）一般矢量場的旋度和散度均不為零3、赫姆霍茲定理

在閉面S

所包圍的有限區域(單連域或多連域)V

內，若給定了矢量場的旋度和散度，同時還給定了該矢量場在邊界S

上的法向分量Fn

或切向分量

Ft，則V內是唯一確定的。（1）唯一性定理：

用反證法證明，假定滿足給定條件的矢量場有兩個和，然后再論證這兩個矢量場是相同的，即。令在V內，有在邊界S上，則有或

由可引入標量函數

(r)

且有

2

=0

(在V

內）

①②或對于條件①，可知對于條件②，因

對矢量函數

應用格林第一公式，并考慮到在V內有

2

=0，故同樣得到由于的非負性，意味著

=0，即赫姆霍茲定理：在有限區域內，矢量場由它的散度、旋度及邊界條件唯一地確定。已知在電磁場中電荷密度

電流密度

J場域邊界條件矢量F

的通量源密度矢量F

的旋度源密度場域邊界條件（矢量F唯一地確定）例：判斷矢量場的性質=0=0=0

0

0=0（2）分解定理：任意一個滿足唯一性定理的一般矢量F(r)

，可以分解為無旋的Fi(r)和無散或管形的

Fs(r)兩個部分，即

F(r)=Fi(r)+Fs(r)設矢量場F(r)的旋度和散度分別為

可得引入和，分別滿足和因此，一般矢量場可用和表示為1.平行平面場：如果在經過某一軸線(設為Z

軸)的一族平行平面上，場F的分布都相同，即F(r)=F(x,y)，則稱這個場為平行平面場。2.軸對稱場：如果在經過某一軸線(設為Z軸)的一族子午面上,場F的分布都相同，即F(r)=

F(

,z)，則稱這個場為軸對稱場。3、三種特殊形式的場

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