1第3章離散傅里葉變換（DFT）3.5連續信號的DFT分析3.3離散傅里葉變換的性質3.2有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）3.1周期序列的離散傅里葉級數（DFS）3.4用DFT實現線性卷積3.6用MATLAB實現離散信號的DFT23.1周期序列的離散傅里葉級數（DFS）3.1.1

四種形式的傅里葉變換

時域

頻域非周期

連續

FT

連續非周期

周期

連續

FS

離散非周期

非周期離散DTFT連續周期

周期離散DFS離散周期

33.1周期序列的離散傅里葉級數（DFS）非周期連續時間信號的傅里葉變換返回

43.1周期序列的離散傅里葉級數（DFS）2.非連續時間信號的傅里葉級數返回

53.1周期序列的離散傅里葉級數（DFS）返回

3.非周期離散時間信號的傅里葉變換63.1周期序列的離散傅里葉級數（DFS）4.周期離散時間信號的傅里葉變換73.1周期序列的離散傅里葉級數（DFS）3.1.2離散傅里葉級數與周期連續時間信號一樣，可以用傅里葉級數來表示周期序列。設具有諧波性質的序列ek[n]，稱為第

次諧波,式中

為整數，共個獨立諧波分量。的離散傅里葉數則可展開成如下形式8式中，

是常系數，

是k次諧波的系數。在式(3.1-10)兩邊均乘以e

j(2

/N)rn，再求和，可得利用復指數的正交性：3.1.2離散傅里葉級數93.1.2離散傅里葉級數求得傅里葉級數的系數也是一個以N為周期的周期序列，即利用符號

來表示復數，離散傅里葉級數對可以表示為10例3.1-1求周期脈沖串

的離散傅里葉級數。解：上式表明對于所有的k值，

均相同，將求解出的離散傅里葉級數系數代入式(3.1-18)，可得3.1.2離散傅里葉級數11例3.1-2求周期矩形脈沖序列

的DFS，

如下圖所示，由

以10為周期進行周期延拓得到。解：該周期序列的周期是3.1.2離散傅里葉級數12例3.1-2的周期序列

的DFS：(a)幅度譜，(b)相位譜3.1.2離散傅里葉級數13求

在一個周期即

內的序列x[n]的傅里葉變換X(ej

)將X(ej

)和

的幅度和相位疊加畫在一起，如下圖所示3.1.2離散傅里葉級數14

例3.1-2和X(ej

)的關系k

1012345678910（a）

5

2

0

10（b）k

2

5

510

2

比較X(ej

)和

，可得3.1.2離散傅里葉級數15考慮周期序列和有限長序列之間的聯系：x[n]的傅里葉變換為的離散傅里葉級數為比較兩式，可得3.1.2離散傅里葉級數16結論：

的DFS系數

，可以看成是對上的一個周期部分序列x[n]，0

n

N

1，的傅里葉變換進行等間隔采樣，頻率采樣間隔為

。3.1.2離散傅里葉級數173.1周期序列的離散傅里葉級數（DFS）3.1.3

離散傅里葉級數的性質都是周期為N的周期序列，它們的DFS分別為線性式中，

和為任意常數，線性組合得到的離散傅里葉級數也是周期為N的序列。183.1.3離散傅里葉級數的性質2.

序列的移位證：因為

和都是以N為周期的周期函數，則從而同理193.1.3離散傅里葉級數的性質3.共軛對稱性復序列

，其共軛序列

的DFS滿足證：同理203.1.3離散傅里葉級數的性質依據線性性質，可得，稱為

的共軛對稱分量；同理，稱為

的共軛反對稱分量。213.1.3離散傅里葉級數的性質4.周期卷積若則證：223.1.3離散傅里葉級數的性質例3.1-3求下圖所示兩周期序列的周期卷積。解：和都是以

為周期的周期序列，根據周期卷積和公式，首先將兩個序列的自變量n改為m，然后四步驟1、反褶2、時移由于周期性，n取值3、相乘4、求和

對乘積項中的

求和，得到。23243.2有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）同樣3.2有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）3.2.1

離散傅里葉變換的定義設為有限長序列，長度為N，可以看成是周期為N的周期序列在一個周期

上的取值，這個周期

稱為主值區間。253.2.1

離散傅里葉變換的定義和關系還可以描述為式中，<n>N是模運算關系，表示如果n=mN+n1，其中m和n1都是整數，且0

n1

N

1，則有下式成立，而n1稱為<n>N模運算的余。例3.2-1設是周期N=5的周期序列，求n=-14和n=26時對N的余數解，即序列的值。解：，因而

，所以263.2.1

離散傅里葉變換的定義故和可以表示為與此類似，離散傅里葉級數

也是周期為N的周期序列，定義主值區間0

k

N

1，

為其主值序列。273.2.1

離散傅里葉變換的定義離散傅里葉級數（DFS）變換對：

這兩個公式的求和都只限于主值區間，即0到N-1，因而變換關系也適用于主值序列x(n)與X(k)，因而我們可得到一個新的定義——有限長序列離散傅里葉變換定義。(3.2-7)(3.2-8)283.2.1

離散傅里葉變換的定義(3.2-7)(3.2-8)式(3.2-7)稱為序列x[n]的N點離散傅里葉變換，式(3.2-8)稱為離散傅里葉逆變換。x[n]和X[k]構成離散傅里葉變換對，記著

對DFT來說，x[n]和X[k]都是有限長序列，但式(3.2-7)和式(3.2-8)是對DFS的改寫得到的，有限長序列都是以周期序列的一個周期來考慮的，因此x[n]和X[k]隱含著周期性。293.2.2

DFT和離散時間傅里葉變換的關系長度為N的序列x[n]，其DFT和

分別為比較兩式，N點離散傅里葉變換X[k]是以

為采樣間隔，對該序列的離散時間傅里葉變換

在一個周期內（）的等頻率間隔采樣，即3.2有限長序列的離散傅里葉變換（DFT）303.2.2

DFT和離散時間傅里葉變換的關系例3.2-2設有限長序列x[n]=R5[n]，如圖所示，n

1012345678910x[n]1求:（1）當N=5和N=10

時的離散傅里葉變換；

（2）離散時間傅里葉變換

。解：（1）當N=5時，利用離散傅里葉變換定義求解，313.2.2

DFT和離散時間傅里葉變換的關系當N=10時，在x[n]的后面補5個零值，

構成10點序列，其10點DFT為此結果可參照例3.1-2，與表達式完全一致，只不過這里的X[k]是的一個周期。32k

1012345678910X[k]5（b）5點DFTX[k]

10k

10012345678910（c）10點DFT的幅度|X[k]||X[k]|53.241.2411.243.24k

表示不確定的相位值（幅值=0）

0.4

0.2

0.2

0.4

10

10（d）10點DFT的相位333.2.2

DFT和離散時間傅里葉變換的關系（2）有限長序列x[n]=R5[n]，其

同例3.1-2完全一致，如下圖0（e）DTFTX(ej

)

5

2

-

-2

343.2.3

頻域采樣其N點的IDFT為由于故

x[n]絕對可和，其DTFT為

，以進行頻域采樣，在得到N個頻率樣本

，可為序列Y[k]，其N點IDFT為y[n]，

，下面推導x[n]和y[n]的關系。353.2.3

頻域采樣

頻域采樣后，由Y[k]得到的有限長序列y[n]是原序列x[n]以頻域采樣點數N為周期進行周期延拓后的主值序列。x[n]的長度大于Nx[n]長度小于

或等于N363.2.3

頻域采樣頻域采樣定理：如果序列x[n]長度為M，若對其

在

進行等間隔采樣，采樣間隔為

，采樣點頻率為

，得到N點的Y[k]，僅當采樣點數時，才能由Y[k]恢復x[n]，即x[n]=IDFT

[Y[k]]，否則將產生時域的混疊失真，不能由Y[k]無失真的恢復原序列。373.2.3

頻域采樣DTFT采樣可恢復原信號周期延拓M<N0

n

M–10

k

N–1y[n]x[n]383.2.3

頻域采樣DTFT采樣發生混疊周期延拓M

N0

n

M–10

k

N–1y[n]x[n]393.2.4

頻域插值頻域插值就是由頻域采樣X[k]經過插值來表示

的過程。右邊求和部分記403.2.4

頻域插值即由N個加權系數為X[k]的函數疊加得到，在每個采樣點上，都有

。0

1

2

2

N=52

/N4

/N

4

/N

2

/N（a）插值函數的幅度

（c）恢復得到的DTFTX(ej

)X(ej

)0X(ej

)413.3離散傅里葉變換的性質3.3.1線性若則序列x3[n]的長度也為N，其N點DFT為若x1[n]的長度為N1，x2[n]的長度為N2，則序列x3[n]的最大長度為N3=max[N1,N2]。則DFT的長度

，即將x1[n]和x2[n]尾部補零值，使得其長度為N。423.3離散傅里葉變換的性質3.3.2循環移位定義又稱：圓周移位，這種移位可以看成是將有限長序列x

[n]以N為周期進行周期延拓，得到周期序列

，再對周期序列

做線性移位后，取主值區間得到。步驟1:周期延拓，周期為N步驟2:時移步驟3:取主值區間例：433.3.2

循環移位可見，序列x[n]從右邊移出m位，則從左邊就移入m位相同的序列值，所以稱之為圓周移位，也即序列值永遠在一個圓周上移位。44453.3離散傅里葉變換的性質序列x[n],其N點的離散傅里葉變換為X[k]若將X[k]中的k換成n，即求N點的時域序列X[n]的DFT，則上式與連續時間傅里葉變換中的對偶關系類似3.3.3對偶性463.3離散傅里葉變換的性質3.3.4圓周共軛對稱性N點的有限長序列x

[n]，DFT[x[n]]=X[k]，有X[k]為有限長序列，可分解為兩個長度為N的有限長序列，這兩個分量稱為圓周共軛對稱分量

和圓周共軛反對稱分量

。3.3.4

圓周共軛對稱性對于

，

，通常認為X[N]=X[0]，所以上式也表示為圓周共軛對稱分量具有圓周共軛對稱性，即圓周共軛反對稱分量具有圓周共軛反對稱性，即同樣的，可將序列x[n]分解為

和

。473.3.4

圓周共軛對稱性N點復序列N點DFT48483.3.4

圓周共軛對稱性

若x[n]為實序列，則分解的和稱為圓周偶對稱分量和圓周奇對稱分量。因x[n]為實序列，，其離散傅里葉變換具有圓周共軛稱對性，即。即49503.3離散傅里葉變換的性質3.3.5循環卷積（1）定義設兩個有限長序列x1[n]和x2[n]的N

點DFT分別為X1[k]

、X2[k]，若則Y

[k]的N

點IDFTy

[n]可利用DFT和DFS之間的關系得簡寫為稱為N點循環卷積或N點圓周卷積，記Ny

[n]=x1[n]

x2[n]

3.3.5

循環卷積Ny

[n]=x1[n]

x2[n]

循環卷積運算似于線性卷積運算，但略有不同。首先將兩個序列的自變量n改為m，然后按以下五步驟計算步驟1:

x2[m]周期延拓，周期為N

步驟2:反褶步驟3:移位

，

n取值步驟4:相乘

步驟5:求和

對乘積項中的

求和，得到y

[n]。513.3.5

循環卷積循環卷積具有交換律Nx1[n]

x2[n]

=x2[n]x1[n]

N即Ny

[n]=x2[n]x1[n]

例3.3-1設x1[n]={1,2,3,4}，x2[n]={2,1,3}

，求循環卷積4y

[n]=x1[n]

x2[n]。解：循環卷積公式為4y

[n]=x1[n]

x2[n]52533.3.5

循環卷積（2）循環卷積定理Nx1[n]

x2[n]

證：循環卷積定理說明，兩個序列的N點循環卷積，可以通過頻域方法求解。具體實現步驟為：1、分別求

x1[n]、x2[n]的N

點DFT：X1[k]

、X2[k]；2、將求得的DFT相乘；3、對乘積求IDFT。543.3.5

循環卷積例3.3-2設x1[n]長度為5的序列，

，求5y

[n]=x1[n]x2[n]。解：可以認為x2[n]是長度為5的有限長序列x2[n]的5點DFT為x1[n]的5點DFT為，則利用循環移位定理，可知55563.3離散傅里葉變換的性質3.3.6帕斯瓦爾定理x

[n]和y

[n]的N

點DFT分別為X

[k]

、Y

[k]，

則有當x

[n]=y

[n]時，有同樣，若則y[n]的N點離散傅里葉變換為N573.4用DFT實現線性卷積3.4.1兩個有限長序列的線性卷積已知一個長度N1點的序列x1[n]，，另一個長度N2點的序列x2[n]，

，則兩序列的線性卷積為線性卷積

是長度為N1+N2-1點的序列。3.4.2循環卷積和線性卷積的關系考慮上述有限長序列x1[n]和x2[n]的N點循環卷積，其中

，兩個序列均補到N點，再進行循環卷積運算。58比較和，可得循環卷積和線性卷積的關系：兩個有限長序列的N點循環卷積，是這兩個有限長序列的線性卷積以N為周期進行周期延拓后的主值序列。3.4.2

循環卷積和線性卷積的關系3.4.2

循環卷積和線性卷積的關系例3.4-1若兩個有限長序列x1[n]=x2[n]=R6[n],求（2）y2[n]=x1[n]x2[n]。126（1）y1[n]=x1[n]x2[n]；解：59y2[n]=x1[n]x2[n]12y1[n]=x1[n]x2[n]6603.4.2

循環卷積和線性卷積的關系線性卷積

是長度為N1+N2-1點的序列,如果延拓的周期N,各延拓的周期沒有交疊，

；結論：兩個有限長序列的循環卷積和線性卷積相等的

前提條件是：,延拓周期小于線性卷積非零值得長度，故而延拓過程中發生混疊，

，且只有和對循環卷積的結果有貢獻。611、令

，對x

[n]、h[n]補零，至N點，即623.4用DFT實現線性卷積3.4.3用DFT實現線性時不變系統設一個線性時不變系統，輸入為x

[n]，，單位樣值響應為h[n]，

,系統的響應

,長度為N1+N2-1。現利用循環卷積來實現該類系統，過程如下：2、分別求x

[n]、h[n]的N點DFT，5、4、求

的N點IDFT，得到：3、求乘積：633.5連續信號的DFT分析3.5.1非周期連續時間信號的頻譜分析圖3.5-1利用DFT計算連續信號頻譜的分析框圖(3.5-2)(3.5-1)(3.5-3)3.5.1非周期連續時間信號的頻譜分析圖3.5-2利用DFT對DTFT近似的頻域分析過程64

連續時間信號進行采樣，其采樣序列的頻譜是被采信號頻譜的周期延拓。當采樣頻率不能滿足奈奎斯特采樣定理時，即fT<2fm，會發生頻譜混疊。

在實際應用中，解決混疊的方法通常是:用預濾波的方法濾除信號高頻分量，即在采樣前用模擬抗混疊濾波器，該濾波器的截止頻率為fc=fT/2。653.5連續信號的DFT分析3.5.2利用DFT對連續信號譜分析時應注意的幾個問題1.混疊662.頻譜泄漏

對信號截短xN[n]=x[n]RN[n]，相當于將信號乘以一個寬度為N的矩形窗函數，矩形窗譜的DTFT為圖3.5-3矩形窗及其頻譜3.5.2利用DFT對連續信號譜分析時應注意的幾個問題3.5.2利用DFT對連續信號譜分析時應注意的幾個問題

截短后的信號頻譜是原信號頻譜與矩形窗譜卷積的結果，在卷積過程中使得信號的譜峰展寬，這種信號頻譜的擴展現象，稱為頻譜泄漏。例：余弦信號（a）采樣序列是無限長時，頻譜在主值區間內為沖激函數；（b）信號截短后，其頻譜與矩形窗的頻譜幅度卷積，譜線展寬，產生了頻譜泄漏。67683.5.2利用DFT對連續信號譜分析時應注意的幾個問題3.柵欄效應

減小柵欄效應，可以采用在原序列的末端補一些零值，使整個數據長度增加，從而增加了DFT的點數。相當于每一根“柵欄”變細，使得被漏掉的某些頻譜分量被檢測出來。

對xN[n]進行DFT，得到的X[k]，是傅里葉變換

在頻率軸上等間隔的采樣。我們只能知道這N點的采樣值，這就好像是通過一個柵欄的縫隙觀看景象一樣，只能在相隔一定間距的離散點上看到真實的頻譜，這種現象稱為柵欄效應。

但要注意的是，這時，時域信號xN[n]的有效數據沒有變化，因此頻率分辨率也沒有增加。693.5.2利用DFT對連續信號譜分析時應注意的幾個問題4.頻率分辨率注：這里的N指的是信號xN[n]的有效長度，而不是補零后的長度。

頻率分辨率指長度為N的信號所對應的連續頻譜

中能分辨的兩個頻率分量峰值的最小頻率間距F，F與數據有效長度T0成反比，即F=1/T0。由于，因此可得

F越小，頻率分辨率就越高，若想提高分辨率，只能增加有效數據長度T0，若采樣頻率

fT

不變，則采樣點數要增加，即增加信號x

[n]的截取長度N。703.5.2利用DFT對連續信號譜分析時應注意的幾個問題例3.5-1設模擬信號xa(t)的最高頻率fm=5Hz

，確定最低采樣頻率fT

，在這一采樣頻率下采樣得到256點數據，對其做DFT，求得到的最大頻率分辨率F。解：由采樣定理可知最低采樣頻率為10Hz，頻率分辨率為713.5.2利用DFT對連續信號譜分析時應注意的幾個問題用DFT進行頻譜分析時參數選擇一般原則：2、根據需要，選定頻率分辨率F，選定好后即可確定所需DFT的長度3、fT和N確定后，可以確定相應模擬信號的有效時間長度1、若已知信號的最高頻率fm，為防止混疊，選擇采樣頻率723.6用MATLAB實現離散信號的DFT

函數dftmtx(N)可以產生N

N的DFT矩陣DN；產生N

N的IDFT矩陣DN-1可用函數conj(dftmtx(N))/N來確定。有4個常用函數：fft(x)，fft(x,N)，ifft(X)，ifft(X,N)。例3.6-1一個周期矩形序列定義如下當L=6,N=10;L=6,N=20;L=6,N=40和L=8,N=40，畫出。解：由周期矩形序列

通過求DFS可以得到

，先編寫DFS函數，便于程序調用。function[Xk]=dfs(xn,N)%computesDiscreteFourierseriesCoefficientn=[0:1:N-1];k=[0:1:N-1];WN=exp(-1j*2*pi/N);nk=n'*k;WNnk=WN.^nk;Xk=xn*WNnk;end733.6用MATLAB實現離散信號的DFTL=6;N=10;k=[-N/2:N/2];xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];Xk=dfs(xn,N);magXk=abs([Xk(N/2+1:N)Xk(1:N/2+1)]);subplot(1,4,1);stem(k,magXk);ylabel('幅度');xlabel('k');title('DFS變換：L=6，N=10');N=20;k=[-N/2:N/2];xn=[ones(1,L),zeros(1,N-L)];Xk=dfs(xn,N);magXk=abs([Xk(N/2+1:N)Xk(1:N/2+1)]);subplot(1,4,2);stem(k,magXk);xlabel('k');title('DFS變換：L=6，N=20');N=40;k=[-N/2:N/2];xn=[ones(1,L),zeros