2025屆福建省三明市永安三中高二上數學期末質量跟蹤監視試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓柱的底面半徑是1，高是2，那么該圓柱的側面積是（）A.2 B.C. D.2．如圖，在直三棱柱中，D為棱的中點，，，，則異面直線CD與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.3．已知f(x)是定義在R上的偶函數，當時，，且f(-1)=0，則不等式的解集是（）A. B.C. D.4．如果，那么下列不等式成立的是（）A. B.C. D.5．若，，則有（）A. B.C. D.6．黃金矩形是寬（）與長（）的比值為黃金分割比的矩形，如圖所示，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形內任取一點，則該點取自正方形內的概率是A. B.C. D.7．已知經過兩點（5，m）和（m，8）的直線的斜率等于1，則m的值為（）A.5 B.8C. D.78．已知函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，且其外形上下對稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長為（）A. B.C. D.4510．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.11．等差數列的前項和，若，則A.8 B.10C.12 D.1412．數列2，0，2，0，…的通項公式可以為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數若存在，使得成立，則實數的取值范圍是_______________14．斐波那契數列，又稱“兔子數列”，由數學家斐波那契研究兔子繁殖問題時引入．已知斐波那契數列滿足，，，若記，，則________．（用，表示）15．已知從某班學生中任選兩人參加農場勞動，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為______16．已知數列滿足，則的最小值為__________．的前20項和為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C1圓心為坐標原點，且與直線相切（1）求圓C1的標準方程；（2）若直線l過點M（1，2），直線l被圓C1所截得的弦長為，求直線l的方程18．（12分）已知數列的前項和為，已知，且當，時，（1）證明數列是等比數列；（2）設，求數列的前項和19．（12分）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，.（1）求點P的坐標；（2）設M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值.20．（12分）已知數列的前項和為，且（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和.21．（12分）已知數列為等差數列，，數列滿足，且（1）求的通項公式；（2）設，記數列的前項和為，求證：22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面，底面為矩形，，，為的中點，.請用空間向量知識解答下列問題：（1）求線段的長；（2）若為線段上一點，且，求平面與平面夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由圓柱的側面積公式直接可得.【詳解】故選：D2、A【解析】以C為坐標原點，分別以，，方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.運用異面直線的空間向量求解方法，可求得答案.【詳解】解：以C為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知可得，，，，則，，所以.又因為異面直線所成的角的范圍為，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.3、D【解析】根據題意可知，當時，，即函數在上單調遞增，再結合函數f(x)的奇偶性得到函數的奇偶性，并根據奇偶性得到單調性，進而解得答案.【詳解】由題意，當時，，則函數在上單調遞增，而f(x)是定義在R上的偶函數，容易判斷是定義在上的奇函數，于是在上單調遞增，而f(-1)=0，則.于是當時，.故選：D.4、D【解析】利用不等式的性質分析判斷每個選項.【詳解】由不等式的性質可知，因為，所以，，故A錯誤，D正確；由，可得，，故B，C錯誤.故選：D5、D【解析】對待比較的代數式進行作差，利用不等式基本性質，即可判斷大小.【詳解】因為，又，，故，則，即；因為，又，，故，則；綜上所述：.故選：D.6、C【解析】設矩形的長，寬分別為,所以，把黃金矩形分割成一個正方形和一個黃金矩形,所以，設矩形的面積為,正方形的面積為,設在矩形內任取一點，則該點取自正方形內的概率是,則，故本題選C.【詳解】本題考查了幾何概型，考查了運算能力.7、C【解析】根據斜率的公式直接求解即可.【詳解】由題可知,,解得.故選：C【點睛】本題主要考查了兩點間斜率的計算公式,屬于基礎題.8、A【解析】由題意可知，對任意的恒成立，可得出對任意的恒成立，利用基本不等式可求得實數的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知，對任意的恒成立，所以，對任意的恒成立，由基本不等式可得，當且僅當時，等號成立，所以，.故選：A.9、C【解析】設雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點的坐標，把點的坐標代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長【詳解】設點是雙曲線與截面的一個交點，設雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長為故選：10、C【解析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C11、C【解析】假設公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數列的性質.12、D【解析】舉特例排除ABC，分和討論確定D.【詳解】A.當時，，不符；B.當時，，不符；C.當時，，不符；D.當時，，當時，，符合.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分離參數法得到能成立,構造函數，求出的最小值，即可求出實數a的取值范圍.【詳解】由得.設，則存在,使得成立，即能成立，所以能成立,所以.又令,由對勾函數的性質可得：在上，t(x)單調遞增,所以當x=2時,t有最小值，所以實數a的取值范圍是.故答案為：【點睛】導數的應用主要有：（1）利用導函數幾何意義求切線方程；（2）利用導數研究原函數的單調性，求極值（最值）；（3）利用導數求參數的取值范圍.14、【解析】由已知兩式相加求得，得，得到，從而得到，，利用可得答案.【詳解】因為，由，，得，所以，得，因為，所以，，所以，，所以，.故答案為：.15、【解析】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據為互斥事件，與為對立事件，從而可求出答案.【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對立事件，又，所以.故答案為：.16、①②.【解析】由題設可得，應用累加法求的通項公式，由基本不等式及確定的最小值，再應用裂項求和法求的前20和.【詳解】由題設，，∴，…，，又，∴將上式累加可得：，則，∴，當且僅當時等號成立，又，故最小，則或5，當時，；當時，；∴的最小值為.由上知：，∴前20項和為.故答案為：8，.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）由圓心到直線的距離求得半徑，可得圓C1的標準方程；（2）當直線的斜率不存在時，求得直線l被圓C1所截得的弦長為，符合題意；當直線l的斜率存在時，設出直線方程，由已知弦長可得圓心到直線的距離，再由點到直線的距離公式列式求k，則直線方程可求【小問1詳解】∵原點O到直線的距離為，∴圓C1的標準方程為；【小問2詳解】當直線l的斜率不存在時，直線方程為x＝1，代入，得，即直線l被圓C1所截得的弦長為，符合題意；當直線l的斜率存在時，設直線方程為，即∵直線l被圓C1所截得的弦長為，圓的半徑為2，則圓心到直線l的距離，解得∴直線l的方程為，即綜上，直線l的方程為或18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）消去，只保留數列的遞推關系，根據題干提示來證明，注意證明首項不是零；（2）利用裂項求和來解決.【小問1詳解】證明：由題意，當時，即，，整理，得，，，，數列是以2為首項，2為公比的等比數列【小問2詳解】解：由（1）知，，則，，，，，各項相加，可得，當n=1成立，故19、（1）(,).（2）【解析】（1）根據條件列關于P點坐標得方程組，解得結果，（2）先根據點到直線距離公式結合條件解得點M坐標，再建立的函數解析式，最后根據二次函數性質求最小值.【詳解】解:（1）由已知可得點A(－6,0),F(4,0)設點P(,),則={+6,},={－4,},由已知可得則2+9－18=0,解得=或=－6.由于>0,只能=,于是=.∴點P的坐標是(,).（2）直線AP的方程是－+6=0.設點M(,0),則M到直線AP的距離是.于是=,又－6≤≤6,解得=2.橢圓上的點(,)到點M的距離為,則,由于－6≤≤6,∴當=時,取得最小值.【點睛】本題考查直線與橢圓位置關系，考查基本分析求解能力，屬中檔題.20、（1）（2）【解析】（1）根據，再結合等比數列的定義，即可求出結果；（2）由（1）可知，再利用錯位相減法，即可求出結果.【小問1詳解】解：因為，當時，，解得當時，，所以，即.所以數列是首項為2，公比為2的等比數列.故.【小問2詳解】解：由（1）知，則，所以①②，①-②得.所以數列的前項和21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）求出的值，可求得等差數列的公差，進而可求得數列的通項公式，再由前項和與通項的關系可求得的表達式，可求得，然后對是否滿足在時的表達式進行檢驗，綜合可得出數列的通項公式；（2）求得，利用裂項求和法可求得的表達式，利用不等式的性質和數列的單調性可證得所證不等式成立.【小問1詳解】解：因為，，所以，因為，，所以，設數列公差為，則，所以，當時，由，可得，所以，所以，因為滿足，所以，對任意的，【小問2詳解】證明：因為，所以，因為，所以，因為，所以，故數