2025屆湖南省洞口縣第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓心在x軸負半軸上，半徑為4，且與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.2．設(shè)函數(shù)是定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，有，若，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.3．下列命題中，一定正確的是（）A.若且，則a>0，b<0B.若a>b，b≠0，則>1C.若a>b且a＋c>b＋d，則c>dD.若a>b且ac>bd，則c>d4．雙曲線實軸長為（）A.1 B.C.2 D.5．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A. B.C.1 D.6．已知，表示兩條不同的直線，表示平面.下列說法正確的是A.若，，則B.若，，則C.若，，則D.若，，則7．設(shè)為數(shù)列的前n項和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.58．德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出最大視角問題，這一問題一般的描述是：已知點A、B是的ON邊上的兩個定點，C是OM邊上的一個動點，當(dāng)C在何處時，最大？問題的答案是：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊OM相切于點C時，最大．人們稱這一命題為米勒定理．已知點P、Q的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，0），R是y軸正半軸上的一動點，當(dāng)最大時，點R的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.C. D.29．已知命題若直線與拋物線有且僅有一個公共點，則直線與拋物線相切，命題若，則方程表示橢圓.下列命題是真命題的是A. B.C. D.10．在直三棱柱中，側(cè)面是邊長為的正方形，，，且，則異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.11．設(shè)是等差數(shù)列，是其公差，是其前n項的和．若，，則下列結(jié)論不正確的是（）A. B.C. D.與均為的最大值12．傾斜角為45°，在軸上的截距是的直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．將由2，5，8，11，14，…組成的等差數(shù)列，按順序?qū)懺诰毩?xí)本上，已知每行寫13個，每頁有21行，則5555在第______頁第______行．（用數(shù)字作答）14．已知點，為拋物線：上不同于原點的兩點，且，則的面積的最小值為__________.15．已知雙曲線M的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸.從以下三個條件中任選兩個條件，并根據(jù)所選條件求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程.①一個焦點坐標(biāo)為；②經(jīng)過點；③離心率為.你選擇的兩個條件是___________，得到的雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程是___________.16．若正數(shù)x、y滿足，則的最小值等于________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當(dāng)a為何值時，直線l與圓C相切；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點，且|AB|=時，求直線l的方程.18．（12分）2021年10月16日，搭載“神舟十三號”的火箭發(fā)射升空，有很多民眾通過手機、電視等方式觀看有關(guān)新聞．某機構(gòu)將關(guān)注這件事的時間在2小時以上的人稱為“天文愛好者”，否則稱為“非天文愛好者”，該機構(gòu)通過調(diào)查，從參與調(diào)查的人群中隨機抽取100人進行分析，得到下表（單位：人）：天文愛好者非天文愛好者合計女203050男351550合計5545100（1）能否有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從抽取的女性人群中，按“天文愛好者”和“非天文愛好者”這兩種類型進行分層抽樣抽取5人，然后再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望附：，其中n=a+b+c+d0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82819．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，證明：存在唯一的零點；（2）若，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知等差數(shù)列滿足，，的前項和為.（1）求及；（2）令，求數(shù)列的前項和.21．（12分）已知的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大小；（2）若，，，求的長.22．（10分）已知等差數(shù)列滿足：成等差數(shù)列，成等比數(shù)列.（1）求的通項公式：（2）在數(shù)列的每相鄰兩項與間插入個，使它們和原數(shù)列的項構(gòu)成一個新數(shù)列，數(shù)列的前項和記為，求及.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線的距離，解得的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設(shè)圓心為坐標(biāo)為，，圓的半徑為4，且與直線相切，則圓心到直線的距離，解得：或13（舍，則圓的坐標(biāo)為，故所求圓的方程為，故選：A2、C【解析】設(shè)，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，又，，，即可得出答案【詳解】解：設(shè)，則，又因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，又，，，因為，所以，所以.故選：C3、A【解析】結(jié)合不等式的性質(zhì)確定正確答案.【詳解】A選項，若且，則，所以A選項正確.B選項，若，則，所以B選項錯誤.C選項，如，但，所以C選項錯誤.D選項，如，但，所以D選項錯誤.故選：A4、B【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出，即可求雙曲線的實軸長.【詳解】由可得：，，即，實軸長，故選：B5、B【解析】直接求導(dǎo)，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當(dāng)時，，解得，所以，.故選：B6、B【解析】A．運用線面平行的性質(zhì)，結(jié)合線線的位置關(guān)系，即可判斷；B．運用線面垂直的性質(zhì)，即可判斷；C．運用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合線線垂直和線面平行的位置即可判斷；D．運用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的判定，即可判斷【詳解】A．若m∥α，n∥α，則m，n相交或平行或異面，故A錯；B．若m⊥α，，由線面垂直的性質(zhì)定理可知，故B正確；C．若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n?α，故C錯；D．若m∥α，m⊥n，則n∥α或n?α或n⊥α，故D錯故選B【點睛】本題考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查直線與平面的平行、垂直的判斷與性質(zhì)，記熟定理是解題的關(guān)鍵，注意觀察空間的直線與平面的模型7、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，因為，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B8、C【解析】由題意，借助米勒定理，可設(shè)出坐標(biāo)，表示出的外接圓方程，然后在求解點R的縱坐標(biāo).【詳解】因為點P、Q的坐標(biāo)分別是（2，0），（4，0）是x軸正半軸上的兩個定點，點R是y軸正半軸上的一動點，根據(jù)米勒定理，當(dāng)?shù)耐饨訄A與y軸相切時，最大，由垂徑定理可知，弦的垂直平分線必經(jīng)過的外接圓圓心，所以弦的中點為（3，0），故弦中點的橫坐標(biāo)即為的外接圓半徑，即，由垂徑定理可得，圓心坐標(biāo)為，故的外接圓的方程為，所以點R的縱坐標(biāo)為.故選：C.9、B【解析】若直線與拋物線的對稱軸平行，滿足條件，此時直線與拋物線相交，可判斷命題為假；當(dāng)時，，命題為真，根據(jù)復(fù)合命題的真假關(guān)系，即可得出結(jié)論.【詳解】若直線與拋物線的對稱軸平行，直線與拋物線只有一個交點，直線與拋物不相切，可得命題是假命題，當(dāng)時，，方程表示橢圓命題是真命題，則是真命題.故選:B.【點睛】本題考查復(fù)合命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】分析得出，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得異面直線與所成的角.【詳解】由題意可知，，因為，，則，，因為平面，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則點、、、，，，，因此，異面直線與所成的角為.故選：C.11、C【解析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)以及前n項的和的性質(zhì)可判斷每個選項的正誤，進而可得正確選項.【詳解】由可得，由可得，故選項B正確；由可得，因為公差，故選項A正確，，所以，故選項C不正確；由于是等差數(shù)列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項D正確；所以選項C不正確，故選：C12、B【解析】先由傾斜角為45°，可得其斜率為1，再由軸上的截距是，可求出直線方程【詳解】解：因為直線的傾斜角為45°，所以直線的斜率為，因為直線在軸上的截距是，所以所求的直線方程為，即，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.7②.17【解析】首先求出等差數(shù)列的通項公式，即可得到為第項，再根據(jù)每行每頁的項數(shù)計算可得；【詳解】解：由2，5，8，11，14，…組成的等差數(shù)列的通項公式為，令，解得又，，．所以555在第7頁第17行故答案為：；14、【解析】設(shè)，，利用可得即可求得，利用兩點間距離公式求出、，面積，利用基本不等式即可求最值.【詳解】設(shè)，，由可得，解得：，，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的面積的最小值為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵點是設(shè)，坐標(biāo)，采用設(shè)而不求的方法，將轉(zhuǎn)化為，求出參數(shù)之間的關(guān)系，再利用基本不等式求的最值.15、①.①②或①③或②③②.或或【解析】選①②，根據(jù)焦點坐標(biāo)及頂點坐標(biāo)直接求解，選①③，根據(jù)焦點坐標(biāo)及離心率求出即可得解，選②③，可由頂點坐標(biāo)及離心率得出，即可求解.【詳解】選①②，由題意則，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故答案為：①②；，選①③，由題意，，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，選②③，由題意知，，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：①②；或①③；或②③；.16、9【解析】把要求的式子變形為，利用基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故答案為.【點睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點線距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線方程.【小問1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.【小問2詳解】由（1）知：圓心到直線的距離，因為，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，則直線為或.18、（1）有（2）分布列見解析，【解析】（1）依題意由列聯(lián)表計算出卡方，與參考數(shù)值比較，即可判斷；（2）按照分層抽樣得到有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”，記“天文愛好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，即可求出所對應(yīng)的概率，從而得到分布列與數(shù)學(xué)期望；【小問1詳解】解：由題意，所以有99%的把握認為“天文愛好者”或“非天文愛好者”與性別有關(guān).【小問2詳解】解：抽取的100人中女性人群有50人，其中“天文愛好者”有20人，“非天文愛好者”有30人，所以按分層抽樣在50個女性人群中抽取5人，則有2人為“天文愛好者”，有3人為“非天文愛好者”再從這5人中隨機選出3人，記其中“天文愛好者”的人數(shù)為X，則X的可能值為0，1，2，∴，，，X的分布列如下表：X012P19、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）當(dāng)時，求導(dǎo)得到，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，可證得命題成立；（2）當(dāng)且時，不滿足題意，故，又定義域為，講不等式化簡，參變分離后構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性并求出最值，可得實數(shù)的取值范圍【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，由，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；.且，故存在唯一的零點；（2）當(dāng)時，不滿足恒成立，故由定義域為，可得，令，則，則當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)時，函數(shù)取得最大值（1），故實數(shù)的取值范圍是【點睛】方法點睛：本題考查函數(shù)零點的問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查不等式的恒成立問題，關(guān)于恒成立問題的幾種常見解法總結(jié)如下：

參變分離法，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化函數(shù)求最值問題；

主元變換法，把已知取值范圍的變量作為主元，把求取值范圍的變量看作參數(shù)；

分類討論，利用函數(shù)的性質(zhì)討論參數(shù)，分別判斷單調(diào)性求出最值；

數(shù)形結(jié)合法，將不等式兩端的式子分別看成兩個函數(shù)，作出函數(shù)圖象，列出參數(shù)的不等式求解20、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件，，解方程組可得，，進而可得等差數(shù)列的通項公式，再利用等差數(shù)列的前項和公式可得；（2）將數(shù)列的通項公式代入可得的通項公式，利用錯位相減法求和可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因為，所以，故，，兩式相減得，所以.【點睛】本題的核心是考查錯位相減求和.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解.21、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦