3.32、3、5的倍數特征第一部分第一部分學問清單個位上是5或0的數是5的倍數；個位上是2，4，6，8或0的數都是2的倍數。各位上數的和是3的倍數的數都是3的倍數。6的因數有1,2,3,6,這幾個因數之間的關系是：1+2+3=6。像6這樣的數叫做完全數（也叫做完善數）。整數中，是2的倍數的數叫作偶數，不是2的倍數叫作奇（jī）數。其次部分其次部分典型例題例1：一個三位數41，當里填（

）時，它既是3的倍數又是2的倍數。A．6 B．4 C．2答案：B分析：3的倍數特征：一個數的各個數位上的數相加之和是3的倍數，則這個數是3的倍數。2的倍數特征：個位上是0、2、4、6、8的數能被2整除。已知這個三位數的百位是4，十位是1，依據2、3倍數定義就算可得出答案。詳解：這個三位數是2的倍數，則它的個位上的數可能是0、2、4、6、8；它又是3的倍數，則這幾個數分別與4、1的和，只有，能被3整除，即這個三位數是414。故答案為：B例2：依據要求填一填。15

30

28

45

201

48

90093

76

57

120

92

36

720(1)3的倍數有()。(2)既是3的倍數又是2的倍數的數有()。(3)同時是2、3和5的倍數的數有()。答案：(1)15、30、45、201、48、900、93、57、120、36、720(2)30、48、900、120、36、720(3)30、900、120、720分析：2的倍數特征：個位上是0、2、4、6、8的數。5的倍數特征：個位上是0或5的數。2、5的倍數特征：個位上是0的數。3的倍數特征：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。詳解：（1）3的倍數有15、30、45、201、48、900、93、57、120、36、720。（2）既是3的倍數又是2的倍數的數有30、48、900、120、36、720。（3）同時是2、3和5的倍數的數有30、900、120、720。例3：既是2的倍數又是5的倍數的數，個位上必定是1。()答案：×分析：2的倍數特征：個位是0、2、4、6、8的數是2的倍數，5的倍數特征：個位是0、5的數是5的倍數，據此即可知道既是2的倍數，又是5的倍數，它的個位是0，據此即可推斷。詳解：由分析可知：既是2的倍數又是5的倍數的數，個位上必定是0，原說法錯誤。故答案為：×點睛：本題主要考查2和5的倍數特征，嫻熟把握它們的特征并機敏運用。例4：63個小伴侶參與表演，假如每5個小伴侶分成一組，那么至少再來幾個小伴侶才能正好分完？假如既能平均分成五組又能平均分成兩組，那么至少要去掉幾個小伴侶？答案：2個；3個分析：5個小伴侶分成一組，要求正好分完，則小伴侶的個數是5的倍數，即個位上是0或者5，比63大的個位上是5的數最小是65，所以至少再來65－63＝2（個）小伴侶。既能平均分成五組又能平均分成兩組，則小伴侶的個數是2和5的倍數，即個位上是0，比63小的個位上是0的數最大是60，所以至少要去掉63－60＝3（個）小伴侶。據此解答。詳解：(個）（組）（個）(個)（個）答：假如每5個小伴侶分成一組，那么至少再來2個小伴侶才能正好分完；假如既能平均分成五組又能平均分成兩組，那么至少要去掉2個小伴侶。：基礎過關練一、選擇題1．下面四個數中，N是任意自然數，S是0，因數中肯定有2和3的是（

）。A．NSSNS B．NSNSS C．NSSNN D．NNSNS2．一個四位數“1□3□”，既是3的倍數，又有因數5，這樣的四位數共有（

）個。A．7 B．6 C．8 D．53．小青用2、3、5、8四張數字卡片擺出的全部四位數（

）。A．肯定是2的倍數 B．肯定是3的倍數 C．肯定是5的倍數4．一個四位數35，它是2和5的倍數，也是3的倍數，這個數最大是（

）。A．3950 B．3959 C．3850 D．37505．100以內既是3的倍數，又是5的倍數，還有因數2的最大的數是（

）。A．95 B．90 C．75 D．996．五（1）班第一小組20名同學圍成一圈玩“3的倍數和尾數”這個玩耍，玩耍規章是：從1開頭一個一個往后數，遇到3的倍數或個位上是3的數時要說“過”。每人說1次，一圈下來，一共要說（

）次“過”字。A．4 B．5 C．77．在25的方框中填入一個數字，使它是3的倍數，中可以填（

）。A．4 B．5 C．6二、填空題8．請你用下面四張數字卡片按要求組成兩位數。0

7

4

5(1)組成的奇數有()，其中最大的是()，最小的是()。(2)組成的數中是2的倍數有()，5的倍數有()。(3)組成的既是2的倍數又是5的倍數的數中，最大的數是()，最小的數是()。9．484是()數（填“奇”或“偶”），至少加上()就是3的倍數，至少減去()就是5的倍數。10．要使601既是2的倍數，又是5的倍數，那么里應當填()。11．283至少減去()可以變為3的倍數，至少加上()可以變為2、3、5的公倍數。12．要使四位數286既是2的倍數又是3的倍數，里可以填()；要使三位數7同時是2、3、5的倍數，它的后兩位可以填()。13．同時是2、3、5的倍數的最大四位數是()，最小四位數是()。三、推斷題14．既是2和5的倍數，又有因數3的最大兩位數是90。()15．4AA0A5這個數肯定是3和5的倍數。()16．既是2的倍數又是5的倍數的數，它的個位上肯定是0。()17．27□既是2的倍數，又是3的倍數，□中最大可填8。()18．一個不為0的自然數的個位是0，這個數肯定既是2的倍數又是5的倍數。()。：培優提升練四、解答題19．有一個三位數，它百位上的數字與十位上的數字相同，已知這個三位數既是3的倍數，又有因數5，則這個三位數可能是多少？（列舉全部狀況）20．有三個連續的自然數，它們的和是三位數，且是2和5的倍數，這個三位數最小是多少？此時這三個連續的自然數分別是多少？想一想，三個連續的自然數的和是幾的倍數？21．擺一擺：從0、1、3、8這4個數字卡片中選出3個，按要求組成一個三位數，并說說你的想法。（1）組成的數是3的倍數。（2）組成的數是偶數，同時有因數3和5。22．甲、乙兩人做抽卡片玩耍，每人從卡片2、4、6、7中任意抽取一張。假如它們的和能被2整除，則甲獲勝；假如它們的和能被3整除，則乙獲勝。假如和既能被2整除又能被3整除，或者既不能被2整除又不能被3整除則重來。誰勝的可能性大？為什么？23．如圖是一張4×4的方格圖，它由16個小正方形組成，每個小正方形里都寫了一個數。（1）在這個方格圖上框出形，那么框出的4個數的和一共有多少種？其中和最大是多少？最小呢？（2）在這個方格圖上框出形，那么框出的5個數的和一共有多少種？每5個數的和肯定是15的倍數嗎？為什么？36912151821242730333639424548

1．D分析：因數中肯定有2和3，說明這個數同時是2和3的倍數。2的倍數特征：個位上的數字是0、2、4、6、8的數是2的倍數。3的倍數的特征：一個數各個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。詳解：A．NSSNS，S是0，是2的倍數，N＋N＝2N，不肯定是3的倍數；B．NSNSS，S是0，是2的倍數，N＋N＝2N，不肯定是3的倍數；C．NSSNN，N是任意自然數，不肯定是2的倍數；D．NNSNS，S是0，是2的倍數，N＋N＋N＝3N，是3的倍數。因數中肯定有2和3的是NNSNS。故答案為：D2．A分析：5的倍數特征：個位數是0或5；3的倍數特征：各個數位上的數字和是3的倍數；據此解答。詳解：一個四位數“1□3□”，既是3的倍數，又有因數5，這個四位數的個位數是0或5。當個位數是0時，1＋3＋0＝4比4大的3的倍數有6、9、12…6－4＝29－4＝512－4＝8百位數可以是2、5、8，有3個；當個位數是5時，1＋3＋5＝99是3的倍數，比9大的3的倍數有12、15、18…9－9＝012－9＝315－9＝618－9＝9百位數可以是0、3、6、9，有4個。3＋4＝7（個）一個四位數“1□3□”，既是3的倍數，又有因數5，這樣的四位數共有7個。故答案為：A點睛：嫻熟把握2、3、5的倍數的特征是解決此題的關鍵。3．B分析：個位上是0、2、4、6、8的數是2的倍數，個位上是0或5的數是5的倍數。各位上數的和是3的倍數的數，是3的倍數。據此分析解題。詳解：用2、3、5、8四張數字卡片擺出的四位數個位上不肯定是2或8，也可能是3或5，那么擺成的全部四位數不肯定是2的倍數；同理，擺成的四位數個位不肯定是5，也可能是2、3、8，那么擺成的全部四位數不肯定是5的倍數；2＋3＋5＋8＝18，18是3的倍數，那么不論怎么擺，用2、3、5、8四張數字卡片擺出的全部四位數肯定是3的倍數。故答案為：B點睛：本題考查了2、3、5的倍數，把握2、3、5的倍數特征是解題的關鍵。4．D分析：3的倍數特征：各位數之和能被3整除；同時是2、3、5的倍數的數個位上是0，并且各個數位上數的和是3的倍數，據此寫出符合要求的數，據此解答即可。詳解：3□5□能被2、3、5整除，說明個位上的數是0當個位上的數是0時，那么百位上的數可以是1、4、7，即3150、3450、3750；這個數最大是3750。故答案為：D點睛：解決本題的關鍵是明確同時是2、3、5的倍數的數個位上是0，并且各個數位上數的和是3的倍數。5．B分析：3的倍數特征：各個數位上的數字之和是3的倍數；5的倍數特征：個位上是0、5的數是5的倍數；2的倍數特征：個位上是0、2、4、6、8的數是2的倍數，同時是2、3、5的倍數，個位上的數字肯定是0。由此求解。詳解：依據分析可知，100以內既是3的倍數，又是5的倍數，還有因數2的最大的數是90。故答案為：B點睛：嫻熟把握2、3、5的倍數特征是解答本題的關鍵。6．C分析：依據3的倍數的特征是：各個數位的數字之和是3的倍數答：3的倍數的特征是各個數位的數字之和是3的倍數；據此選擇。詳解：20以內是3的倍數和尾數是3的數有：3、6、9、12、13、15、18，所以每人說1次，一圈下來，一共要說7次“過”字。故答案為：C7．B分析：3的倍數特征：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。詳解：A．假如是4，則2＋4＋5＝11，11不是3的倍數，不符合題意；B．假如是5，則2＋5＋5＝12，12是3的倍數，符合題意；C．假如是6，則2＋6＋5＝13，13不是3的倍數，不符合題意。故答案為：B8．(1)47、45、57、757545(2)70、74、50、54、4040、45、50、70、75(3)7040分析：依據奇數與偶數、質數與合數的意義：在自然數中，是2的倍數的數叫做偶數，不是2的倍數的數叫做奇數；2的倍數的特征：個位上是0、2、4、6、8的數，都是2的倍數；能被5整除的數末尾是0或5是5的倍數；既是2的倍數又是5的倍數的數的特征：個位上是0；據此寫出符合條件的最小的數和最大的兩位數即可。詳解：（1）組成的奇數有47、45、57、75，其中最大的是75，最小的是45。（2）組成的數中是2的倍數有70、74、50、54、40，5的倍數有40、45、50、70、75。（3）組成的既是2的倍數又是5的倍數的數中，最大的數是70，最小的數是40。9．偶24分析：偶數是指能被2整除的數，奇數是指不能被2整除的數。3的倍數特征：一個數的每一個數位上的數相加的和是3的倍數，則這個數是3的倍數。5的倍數特征：一個數的個位上是0或5，則這個數是5的倍數。據此可計算得出答案。詳解：，即484能被2整除，是偶數。，即484至少加上2就是3的倍數。，即484至少減去4就是5的倍數。10．0分析：2的倍數特征：個位上是0、2、4、6、8的數。5的倍數特征：個位上是0或5的數。2、5的倍數特征：個位上是0的數。詳解：要使601既是2的倍數，又是5的倍數，那么里應當填0。11．117分析：3的倍數特征：各個位上數字相加的和是3的倍數；同時是2、3、5的倍數特征：個位數字是0，各個位上數字相加的和是3的倍數；據此解答。詳解：2＋8＋3＝1313－1＝12，12是3的倍數。所以283至少減去1可變為3的倍數。分析可知，個位數字為0，283＋7＝290，2＋9＝11，則290不是3的倍數；283＋17＝300，3＋0＋0＝3，則300是3的倍數。所以，283至少加上17可變為2、3、5的公倍數。12．2、820、50、80分析：2的倍數特征：個位上是0、2、4、6、8的數。5的倍數特征：個位上是0或5的數。2、5的倍數特征：個位上是0的數。3的倍數特征：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。詳解：要使四位數286既是2的倍數又是3的倍數，先考慮是2的倍數，那么個位必需是0、2、4、6、8；其中2＋8＋6＋2＝18，是3的倍數；2＋8＋6＋8＝24，是3的倍數，所以里可以填2、8；要使三位數7同時是2、3、5的倍數，先考慮同時是2、5的倍數，那么個位肯定是0；還要滿足7＋＋0是3的倍數，由于7＋2＋0＝9，是3的倍數；7＋5＋0＝12，是3的倍數；7＋8＋0＝15，是3的倍數；所以它的后兩位可以填20、50、80。13．99901020分析：依據題意，這個四位數同時是2、3、5的倍數，由既是2的倍數又是5的倍數的數末尾是0，可知這個四位數的末尾是0；當這個四位數最大時，千位和百位上都是9，即99□0，要使99□0是3的倍數，□里最大取9；當這個四位數最小時，千位上是1，百位上是0，即10□0，要使10□0是3的倍數，□里最小取2。據此解答。2的倍數特征：個位上是0、2、4、6、8的數。5的倍數特征：個位上是0或5的數。2、5的倍數特征：個位上是0的數。3的倍數特征：一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。詳解：同時是2、3、5的倍數的最大四位數是9990，最小四位數是1020。14．√分析：2的倍數特征：末尾數字是0、2、4、6、8的數是2的倍數；3的倍數特征：各個數位上的數字之和是3的倍數，這個數字就是3的倍數；5的倍數特征：末尾數字是0或5的數是5的倍數，既是2和5的倍數，又有因數3，這個數的個位必需是0，據此解答。詳解：依據分析可知，既是2和5的倍數，又有因數3的最大兩位數是90。原題干說法正確。故答案為：√點睛：嫻熟把握2、3、5的倍數特征是解答本題的關鍵。15．√分析：依據3的倍數的特征：各個數位上的數字之和是3的倍數的數是3的倍數；依據5的倍數的特征：個位上是0，5的數是5的倍數，據此解答。詳解：4＋A＋A＋0＋A＋5＝4＋3A＋5＝9＋3A9＋3A為3的倍數，4AA0A5末位為5，是5的倍數，因此4AA0A5這個數肯定是3和5的倍數，原題說法正確。故答案為：√點睛：此題主要考查了3、5的倍數特征。16．√分析：由于5的倍數的特點是：個位上的數是0或5；2的倍數的特點是：個位上的數是0、2、4、6、8的數；所以既是2的倍數又是5的倍數，個位上肯定是0。詳解：由分析可知，既是2的倍數又是5的倍數的數，個位上肯定是0；原題說法正確。故答案為：√點睛：本題考查了2，5倍數的特點，要記住這些特點，并機敏運用。17．×分析：2的倍數特征：個位上的數字是0、2、4、6、8的數是2的倍數；3的倍數的特征：一個數各個數位上的數字的和是3的倍數，這個數就是3的倍數，據此解答即可。詳解：2＋7＝9，27□既是2的倍數，又是3的倍數，□中可填0、6，最大填6。故答案為：×點睛：關鍵是把握2和3的倍數的特征。18．√分析：2的倍數特征：個位是0、2、4、6、8的數；5的倍數特征：個位是0或5的數，兩個結合在一起，既是2又是5的倍數特征：個位是0的數。詳解：依據分析可知，假如這個不為0的自然數的個位是0，那么這個數肯定既是2的倍數又是5的倍數。故答案為：√點睛：此題主要考查同學對2和5的倍數特征的生疏與理解。19．225、330、555、660、990。分析：依據3、5的倍數的特征，一個數各位上的數字之和是3的倍數，這個數肯定是3的倍數；個位上是0或5的數都是5的倍數；同時是3和5的倍數的數，個位上是0或5且各位上的數字之和是3的倍數。據此解答。詳解：一個三位數，它百位上的數字與十位上的數字相同，已知這個三位數既是3的倍數，又有因數5，可使百位、十位上的數字為1，再令個位上的數分別是0、5，看哪一個數字是3的倍數，同理推導出全部符合條件的數字；則這個三位數可能是225、330、555、660、990。答：這個三位數可能是225、330、555、660、990。點睛：此題考查的目的是理解把握3、5的倍數的特征及應用。20．這個三位數最小是120，此時這三個連續的自然數分別是39、40、41；三個連續的自然數的和是3的倍數。分析：本題考查2、3和5的倍數的特征。設三個連續的自然數分別是a－1、a和a＋1，它們的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三個連續的自然數之和肯定是3的倍數。這個三位數同時是2，3和5的倍數，它的個位上是0，且各個數位上的數字之和是3的倍數，所以這個三位數最小是120，120÷3＝40，這三個連續的自然數分別是39、40、41。詳解：設三個連續的自然數分別是a－1、a和a＋1，它們的和是（a－1）＋a＋（a＋1）＝3a，所以任意三個連續的自然數之和肯定是3的倍數。它們的和又同時是2和5的倍數，即個位上的數只能是0，最小的數字組合為：，故同時是2、3和5的倍數的最小三位數是120。中間的數為：120÷3＝40，則前一個數為：40－1＝39，后一個數為：40＋1＝41。答：這個三位數最小是120，此時這三個連續的自然數分別是39、40、41，三個連續的自然數的和是3的倍數。21．（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；（2）810、180分析：（1）3的倍數特征：一個數各個數位上的數的和是3的倍數；（2）要求組成的數是偶數，同時有因數3和5，也就是組成的數同時是2、3、5的倍數，同時是2、